พารามิเตอร์กราฟอาจเกี่ยวข้องกับความน่าเชื่อถือ

ฉันสนใจในกราฟ$n$จุดซึ่งสามารถผลิตได้ผ่านขั้นตอนดังต่อไปนี้

1. เริ่มต้นด้วยกราฟโดยพลการบนจุดยอด ป้ายจุดทั้งหมดที่อยู่ในเป็นที่ไม่ได้ใช้k ≤ n $G$$k\le n$$G$
2. ผลิตกราฟใหม่โดยการเพิ่มยอดใหม่ซึ่งมีการเชื่อมต่อหนึ่งหรือมากกว่าหนึ่ง ที่ไม่ได้ใช้จุดในและไม่ได้เชื่อมต่อใด ๆที่ใช้จุดในGป้ายเป็นที่ไม่ได้ใช้ v G G $G'$$v$$G$$G$$v$
3. หนึ่งในฉลากของจุดในที่มีการเชื่อมต่อเป็นสินค้า$G'$$v$
4. ตั้งค่าเป็นและทำซ้ำตั้งแต่ขั้นตอนที่ 2 จนกระทั่งมีจุดยอดG ′ G $G$$G'$$G$$n$

เรียกกราฟเช่นนี้ว่า "กราฟของความซับซ้อน " (ขอโทษสำหรับคำศัพท์ที่คลุมเครือ) ตัวอย่างเช่นถ้าเป็นกราฟของความซับซ้อน 1คือเส้นทางG $k$$G$$G$

ฉันอยากจะรู้ว่ากระบวนการนี้ได้รับการศึกษามาก่อนหรือไม่ โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับพล , มันเป็น NP-สมบูรณ์เพื่อตรวจสอบว่ามีความซับซ้อนกราฟ ?k$k$$k$

ปัญหานี้จะปรากฏค่อนข้างคล้ายกับคำถามที่ว่าเป็นบางส่วน -treeคือมีtreewidth kเป็นที่ทราบกันดีว่าการพิจารณาว่ามี treewidthเป็น NP-complete หรือไม่ อย่างไรก็ตามกราฟบางอย่าง (ดาวเป็นต้น) อาจมีความกังวลน้อยกว่าการวัดความซับซ้อนที่กล่าวถึงที่นี่k k G $G$$k$ $k$$G$$k$

4 ตุลาคม 2012: คำถามข้ามโพสต์ไปยัง MathOverflow หลังจากที่ไม่มีคำตอบอย่างแน่นอนหลังจากหนึ่งสัปดาห์ (แต่ขอบคุณสำหรับข้อมูลเกี่ยวกับสาเหตุกระแส)

แม้ว่าเราเคยพูดคุยเกี่ยวกับเรื่องนี้ด้วยตัวเองก่อนหน้านี้ฉันจะเพิ่มสิ่งนี้ด้วยความหวังว่าสิ่งนี้จะช่วยให้คนอื่นสามารถให้คำตอบที่สมบูรณ์

ในกระบวนการของการเพิ่มจุดกำหนดฟังก์ชั่นบางส่วนจากแต่ละจุดสุดยอดวีซึ่งได้รับใช้เพื่อจุดสุดยอดที่ถูกเพิ่มเมื่อโวลต์ได้ใช้ จากนั้นปรากฎว่าfคือฟังก์ชั่นการไหล (สาเหตุ) (หน้า 39) ซึ่งเป็นเวอร์ชั่นที่ จำกัด ของฝาครอบพา ธ อันที่จริงคำอธิบายของคุณของกราฟเหล่านี้ของ "ความซับซ้อนk " (ให้ชุดของจุดยอดที่จะเป็นจุดเริ่มต้นที่ไม่ได้ใช้และจุดยอดสุดท้ายที่ไม่ได้ใช้) คือการสลายตัวของดาวฤกษ์ "เรขาคณิต" อย่างแม่นยำ 46 ของบทความข้างต้น)$f:V(G) \rightharpoonup V(G)$$v$$v$$f$

แม้ว่า "กระแสเชิงสาเหตุ" เหล่านี้ได้รับการศึกษาส่วนใหญ่ในบริบทของการคำนวณควอนตัม (การวัดตาม) ซึ่งพวกเขาได้รับแรงบันดาลใจจากโครงสร้างบางอย่างของวงจรรวม - มีผลกราฟเชิงทฤษฎีเกี่ยวกับพวกเขาซึ่งถูกหย่าจากการคำนวณควอนตัมทั้งหมด:

จุดปลายแบบโมดูโลที่ไม่เหมือนใคร :กราฟที่มี "ความซับซ้อน  " เป็นสิ่งที่มีอยู่จริง (อาจเป็นจุดตัด) เซต S , T ⊆ V ( G ) , ขนาด kทั้งสองขนาดเช่น Gมีเส้นทางเดียวครอบคลุมขนาด kซึ่งเส้นทาง เริ่มต้นใน Sและสิ้นสุดในT$k$$S,T \subseteq V(G)$$k$$G$$k$$S$$T$

Extremal graphs :กราฟบนจุดยอดที่มี "complex k " มีค่าไม่เกิน k n - ( k + $n$$k$ขอบ$kn - \binom{k+1}{2}$

การใช้ผลลัพธ์เหล่านี้และให้ชุดคู่ที่มีตัวเลือกเพื่อพิจารณาว่าพวกเขา "subtend" เส้นทางที่เป็นเอกลักษณ์ในลักษณะนี้สามารถกำหนดได้ในเวลาO ( k 2 n )หรือไม่ แต่การค้นหาว่าชุดของจุดสิ้นสุดดังกล่าวมีอยู่หรือไม่นั่นคือความยากลำบากที่เห็นได้ชัดและผลลัพธ์ขั้นสูงสุด (ซึ่งเป็นเงื่อนไขที่จำเป็นเท่านั้น) ดูเหมือนว่าจะเป็นตัวแทนของสถานะของศิลปะในเกณฑ์ที่มีประสิทธิภาพเพื่อพิจารณาว่าชุดนั้นมีอยู่จริงหรือไม่$S,T$$O(k^2 n)$

กราฟทั้งหมดของความซับซ้อนมีเส้นทางที่มีความกว้างที่มากที่สุดk ในทุกขั้นตอนชุดของโหนดที่ไม่ได้ใช้จะเป็นตัวคั่นที่แยกโหนดที่ใช้แล้วจากโหนดที่สร้างขึ้นแล้ว ดังนั้นในทุกขั้นตอนเมื่อคุณเพิ่มจุดสุดยอดคุณสามารถสร้างถุงที่มีจุดสุดยอดบวกกับจุดยอดที่ไม่ได้ใช้ทั้งหมดและเชื่อมต่อถุงในตอนท้ายของการสลายตัวของเส้นทาง นี่จะเป็นการสลายเส้นทางที่ถูกต้อง$k$$k$

เพราะ "ซึ่งมีการเชื่อมต่อ" ในจุดที่ 3 และ 2 เส้นทางที่กว้างสามารถมากมีขนาดเล็กกว่าk ฉันไม่แน่ใจเกี่ยวกับการตัดสินใจว่าGเป็นความซับซ้อนkหรือไม่ แต่อย่างที่นีแอลบอกว่าต้องมีขนาดของเส้นทางที่ครอบคลุมขนาด k แต่ไม่เพียง แต่จะครอบคลุมเส้นทางเท่านั้นเส้นทางจะต้องมีการชักนำ และระหว่างเส้นทางเราสามารถมีรูปแบบซิกแซกนี้ได้ เราสามารถในF ( k ) ⋅ P o L Y ( n )เวลาคำนวณเส้นทางที่ดีที่สุดจากการสลายตัวแล้วเราสามารถใช้การสลายตัวนี้จะทำโปรแกรมแบบไดนามิกขณะที่การติดตามในกลุ่มที่แตกต่างกันของเหล่า$v$$k$$G$$k$$f(k) \cdot poly(n)$$k$เส้นทางซึ่งเป็นเส้นทางที่พวกเขาอยู่และคำสั่งของกลุ่มที่เป็นเส้นทางเดียวกัน และสำหรับแต่ละเซกเมนต์ที่เป็นของเส้นทางที่แตกต่างกันเราเพียงแค่ต้องรู้เส้นทางแรกและสุดท้ายของซิกแซก

ดังนั้นฉันคิดว่าเราสามารถตัดสินใจได้ว่ากราฟมีความซับซ้อนในf ( k ) ⋅ p o l y ( n )เวลา$k$$f(k) \cdot poly(n)$