ความซับซ้อนของการเปิดเครื่องเมทริกซ์


26

ให้เป็นเมทริกซ์จำนวนเต็มจตุรัสและให้เป็นจำนวนเต็มบวก ฉันสนใจความซับซ้อนของปัญหาการตัดสินใจดังต่อไปนี้:Mn

รายการบนขวาของเป็นบวกหรือไม่Mn

โปรดทราบว่าวิธีการที่ชัดเจนของการยกกำลังสองซ้ำ (หรือการคำนวณที่ชัดเจนอื่น ๆ ) ทำให้เราต้องจัดการกับจำนวนเต็มของกำลังขยายสองเท่าคือการมีบิตจำนวนมากแทน อย่างไรก็ตามปัญหาดังกล่าวพบได้ง่ายในคลาส "PosSLP" ของ Allender และคณะ ( "ความซับซ้อนของการวิเคราะห์เชิงตัวเลข", SIAM J. Comput. 38 (5) ) และดังนั้นในระดับที่สี่ของลำดับการนับ .

1) เป็นไปได้หรือไม่ที่จะวางปัญหาการจ่ายไฟเมทริกซ์นี้ในระดับความซับซ้อนที่ต่ำกว่า?

2) ถ้าไม่เป็นไปได้ไหมว่า PosSLP-hard น่าจะเป็นไปได้ไหม

3) ฉันสนใจโดยเฉพาะอย่างยิ่งในปัญหาการจ่ายไฟเมทริกซ์สำหรับเมทริกซ์ที่มีมิติต่ำเช่นมากถึงและรวมถึงเมทริกซ์ 6x6 ความซับซ้อนอาจลดลงสำหรับเมทริกซ์เช่นนี้หรือไม่?


4
ไม่ควรเปลี่ยนชื่อเรื่องเป็น "ความซับซ้อนของเมทริกซ์พลัง"? การยกกำลังแบบแมทริกซ์ (ดูตัวอย่างเช่นen.wikipedia.org/wiki/Matrix_exponential ) มักเข้าใจกันว่า "A = exp (B)" สำหรับเมทริกซ์ A, B
Martin Schwarz

ฉันจะแก้ไข เป็นจุดที่ดี @MartinSchwarz
Suresh Venkat

หากคุณแปลงเมทริกซ์เป็นรูปแบบ PDP-1 (ซึ่งสำหรับเมทริกซ์ขนาดเล็กและพลังงานที่สูงพอที่ n ถือว่าเป็นค่าคงที่) คุณสามารถรู้สัญญาณของแต่ละรายการในแนวทแยงได้เล็กน้อย จากนั้นก็ง่ายที่จะหาการคูณเมทริกซ์สองตัวที่เหลือ
Robert Mason

@ Robert Mason: ฉันไม่แน่ใจว่าสิ่งที่คุณกำลังแนะนำ ถ้า D เป็นรูปแบบบัญญัติของ Jordan M ดังนั้น M ^ n = P ^ (- 1) D ^ n P ดังนั้นรายการของ D จะเป็นตัวเลขเชิงพีชคณิตที่ซับซ้อนดังนั้นคุณหมายถึงอะไรโดย "เครื่องหมาย" ของพวกเขา? ฉันยอมรับคุณสามารถคำนวณ D และ P ในเวลาพหุนาม (สมมติว่าเป็นตัวแทนมาตรฐานของตัวเลขเกี่ยวกับพีชคณิต) แต่การแสดงออกที่คุณได้รับสำหรับรายการด้านบนขวาของ M ^ n = P ^ (- 1) D ^ n P จะเป็นนิพจน์ เกี่ยวข้องกับตัวเลขพีชคณิตต่าง ๆ ที่ยกกำลัง n และฉันไม่เห็นวิธีที่คุณสามารถกำหนดสัญลักษณ์ของนิพจน์นี้ได้อย่างมีประสิทธิภาพ
Joel

1
@ Robert Mason: ฉันยังไม่เข้าใจ - มันจะมีประสิทธิภาพสำหรับเมทริกซ์กลับหัวได้อย่างไร? (และโดยบังเอิญการฝึกอบรม "ส่วนใหญ่" จะกลับด้านได้แทนที่จะเป็นตรงกันข้าม)
Joel

คำตอบ:


โดยการใช้ไซต์ของเรา หมายความว่าคุณได้อ่านและทำความเข้าใจนโยบายคุกกี้และนโยบายความเป็นส่วนตัวของเราแล้ว
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.