แนวทางในการรับแรงบันดาลใจจากปัญหาปม

ปัญหาGIและปมทั้งคู่เป็นปัญหาในการตัดสินใจความสมดุลเชิงโครงสร้างของวัตถุทางคณิตศาสตร์ มีผลลัพธ์ใดที่สร้างความเชื่อมโยงระหว่างพวกเขาหรือไม่? การเชื่อมต่อที่ดีของปัญหาปมกับฟิสิกส์เชิงสถิติได้รับการสำรวจผ่านชื่อพหุนามโบว์ซึ่งมีผลลัพธ์ที่คล้ายกันสำหรับหรือไม่? $GI$

มันจะมีประโยชน์โดยเฉพาะอย่างยิ่งที่จะทราบว่ามีผลมาตรฐาน / คำเตือน / คำแนะนำ / ความคิดเห็นก่อนที่จะเริ่มมองหาแรงบันดาลใจจากปัญหาปม อันที่จริงฉันสงสัยว่ามันแนะนำให้สำรวจในทิศทางนี้สำหรับวิทยานิพนธ์ปริญญาโทของฉัน ฉันสนใจวิธีการควอนตัม / คลาสสิกสำหรับปัญหาและพีชคณิต ข้อเสนอแนะอื่น ๆ ยินดีต้อนรับ $GI$ $GI$

— DurgaDatta
แหล่งที่มา

จากmathworld isomorphic graphs : "n sense, กราฟ isomorphism นั้นง่ายในทางปฏิบัติยกเว้นชุดของกราฟที่ยากทางพยาธิวิทยาที่ดูเหมือนจะทำให้เกิดปัญหาทั้งหมดดังนั้นแตกต่างจากทฤษฎีปมที่ไม่เคยมีกราฟที่มีความหมายใด ๆ ไม่ได้รับการแก้ไข ... โชคไม่ดีที่แทบจะไม่มีการคำนวณกราฟสากลที่ง่าย ๆ ไม่ว่าจะอยู่บนพื้นฐานของสเปกตรัมกราฟหรือพารามิเตอร์อื่น ๆ ของกราฟ (Royle 2004) "

— vzn

เห็นได้ชัดว่าความเท่าเทียมกันเป็นปมก็ง่ายในทางปฏิบัติ

— Jeffε

ฉันมีคำถามที่คล้ายกันโปสเตอร์ที่นี่physics.stackexchange.com/questions/39328/…นอกจากนี้

— DurgaDatta

ตามความรู้ของฉันไม่มีเงื่อน "ยากทางพยาธิวิทยา" ที่ทำให้เกิดปัญหาทั้งหมด มันจะน่าสนใจมากในการค้นหาครอบครัวของผู้ไม่ทราบที่มีเวลาในการทำงานที่ไม่ดีในโปรแกรมการรับรู้ที่แตกต่างกันไม่ว่าจะเป็นการทดลองหรือการทดลอง

— Sam Nead

คำตอบ:

หนึ่งการเชื่อมต่อคือกราฟมอร์ฟอร์ฟิซึ่มส์และปมมอร์ฟิซึ่มส์เป็นทั้งสองกรณีพิเศษของ 3- มอนิมอร์ฟิซึ่มส์ ในกรณีที่ปมสองปม isomorphic ถ้าเติมเต็ม (manifolds ที่เกิดขึ้นจากการลบคะแนนของปมจากอวกาศ 3-) เป็น homeomorphic

และในกรณีกราฟก็เป็นไปได้ที่จะแปลงกราฟให้เป็นแมนิโฟลด์ในลักษณะที่กราฟนั้น isomorphic ถ้าหากแมนิโฟลด์เป็นโฮมมอร์ฟิค ฉันเขียนความคิดเห็นเกี่ยวกับสิ่งนี้ในโพสต์ Google+ เมื่อเดือนธันวาคมปีที่แล้ว แต่น่าเสียดายที่ฉันไม่สามารถแชร์ได้ การก่อสร้างจะเริ่มต้นด้วยนานาสำหรับแต่ละจุดสุดยอดวีในรูปแบบของส่วนประกอบใน 3 ทรงกลมของช่อองศา (v) ลูป (เชื่อมต่อกันที่จุดสุดยอดทั่วไป) สำหรับแต่ละขอบยูวีให้เชื่อมต่อท่อร่วมสำหรับ u และ v เข้าด้วยกันโดยการผ่าตัดและเชื่อมโยงห่วงหนึ่งจากคุณและห่วงหนึ่งจาก v ข้ามลูกผ่าตัด จากนั้นกราฟมอร์ฟิซึ่มของกราฟทุกอันยกให้มอร์ฟิซึ่มส์ของผลลัพธ์ที่เกิดขึ้น (นี่จะเป็นจริงแม้ว่าเราเพิ่งใช้การผ่าตัดบน 3 ทรงกลมที่ไม่มีช่อ) และช่อป้องกันไม่ให้มีความหลากหลายของ homeomorphism พิเศษที่ไม่ได้มาจากกราฟ .

— David Eppstein
แหล่งที่มา

คำถามทั่วไปคือความเชื่อมโยงระหว่างทฤษฎีปมกับทฤษฎีกราฟ เป็นสถานที่แห่งหนึ่งที่สามารถเริ่มต้นได้นั่นคือการเชื่อมต่อระหว่างพหุนามโจนส์ (ใช้ในการจำแนกนอต) และพหุนาม Tutteของกราฟระนาบ คือในทฤษฎีปม, พหุนาม Tutte ที่ปรากฏเป็นพหุนามโจนส์ของปมสลับ (ดังนั้นอาจมีการเชื่อมโยงของทฤษฎีปมกับ GI บนกราฟระนาบ)

ดู thms 7,8 ใน:

การคำนวณพหุนาม Tutte ของกราฟและพหุนามโจนส์ของลิงก์สำรองของ Sekine ขนาดปานกลาง , Imai, Tani

POLYNOMIAL POLYNOMIAL และ GRAPHS บน OLFER OLIVER ต. DASBACH, DAVID FUTER, EFSTRATIA KALFAGIANNI, XIAO-Song LIN และ NE W. STOLTZFUS

— vzn
แหล่งที่มา