เราสามารถนับความลึกหรือไม่?

เราสามารถคำนวณเกตเกตเกตเกต bit ตามขนาดพหุนาม (วงจรแฟนอิน) ที่มีความลึกไหม? อีกวิธีหนึ่งเราสามารถนับจำนวน 1s ในบิตอินพุตโดยใช้วงจรเหล่านี้ได้หรือไม่?lg $n$$\frac{\lg n}{\lg \lg n}$

คือ ?$\mathsf{TC^0} \subseteq \mathsf{AltTime}(O(\frac{\lg n}{\lg \lg n}), O(\lg n))$

โปรดทราบว่าn)) ดังนั้นคำถามคือถามว่าถ้าเราสามารถบันทึกปัจจัยในระดับความลึกของวงจรเมื่อคำนวณประตูธรณีประตูlg lg $\mathsf{TC^0} \subseteq \mathsf{NC^1} = \mathsf{ALogTime} = \mathsf{AltTime}(O(\lg n), O(\lg n))$$\lg \lg n$

แก้ไข:

ดังที่ Kristoffer เขียนไว้ในคำตอบของเขาเราสามารถบันทึก factor แต่เราสามารถประหยัดอีกเล็กน้อยได้หรือไม่ เราสามารถแทนที่ด้วยหรือไม่O ( lg $\lg \lg n$o(lg$O(\frac{\lg n}{\lg \lg n})$$o(\frac{\lg n}{\lg \lg n})$

สำหรับฉันแล้วดูเหมือนว่าเลเยอร์แบบบังคับเดรัจฉานแบบบังคับนั้นใช้ไม่ได้กับการบันทึก (โดยทั่วไปฟังก์ชั่นใด ๆ ใน )lg lg n + ω ( 1 $2 \lg \lg n$$\lg \lg n + \omega(1)$

พิจารณา fanin 2 วงจรของลึกn) แบ่งเลเยอร์ของเป็นบล็อกแต่ละเลเยอร์ต่อเนื่อง ตอนนี้เราต้องการแทนที่แต่ละบล็อกด้วยวงจรความลึก 2 กล่าวคือประตูแต่ละบานในเลเยอร์สุดท้ายของบล็อกขึ้นอยู่กับมากที่สุดประตูของเลเยอร์สุดท้ายในบล็อกด้านล่าง เราสามารถแทนที่แต่ละเกทในเลเยอร์สุดท้ายด้วย DNF ขนาดพหุนามด้วยอินพุตเป็นเกทส์ในเลเยอร์สุดท้ายของบล็อกด้านล่าง การทำเช่นนี้สำหรับประตูทั้งหมดในเลเยอร์สุดท้ายสำหรับบล็อกทั้งหมดและการเชื่อมต่อเหล่านี้ควรให้วงจรที่ต้องการO ( log n ) C O ( log n / log log n ) ล็อกล็อกn 2 ล็อกล็อกn = ล็อก$C$$O(\log n)$$C$$O(\log n/\log\log n)$$\log\log n$$2^{\log\log n} = \log n$

ผมขอทราบว่านี่เป็นหลักที่ดีที่สุดที่จะได้รับ: แทรกสลับช่วยให้ขอบเขตที่ต่ำกว่าทุกทางเพื่อความลึกn$\log n/ \log\log n$