ความสามารถในการประมาณค่าของปัญหาสกุล

ปัจจุบันมีความรู้อะไรเกี่ยวกับความสามารถในการประมาณค่าของปัญหาสกุล? ค้นหาเบื้องต้นบอกว่าประมาณปัจจัยคงเป็นที่น่ารำคาญสำหรับกราฟหนาแน่นเพียงพอและ -approximation ขั้นตอนวิธีการได้รับการปกครองออก ข้อมูลนี้เป็นปัจจุบันหรือไม่$n^\epsilon$

ผลลัพธ์ที่ได้รับการตีพิมพ์ที่ดีที่สุดนั้นปรากฏในกระดาษ 1997โดย Jianer Chen, Saroja P. Kanchi และ Arkady Kanevsky

• สำหรับการใด ๆ คง , คอมพิวเตอร์ประเภทของกราฟที่มีสารเติมแต่งผิดพลาดO ( n ε )เป็น NP-ยาก$\varepsilon>0$$O(n^\varepsilon)$

• $n$$g$$\max\{4g, g+4n\}$

• มีอัลกอรึทึมเวลาพหุนาม - อัลกอริธึมการประมาณสำหรับกราฟระดับขอบเขต$O(\sqrt{n})$

มันเป็นคำถามเปิดว่ามีอัลกอริทึมการประมาณค่าคงที่ที่มีประสิทธิภาพหรือไม่

ฉันต้องการเพิ่มคำตอบที่ครอบคลุมของJɛ ff E เพื่อความรู้ที่ดีที่สุดของฉันไม่มีขอบเขตที่ต่ำกว่าสำหรับปัจจัยการประมาณสำหรับปัญหานี้ เท่าที่เรารู้ว่ามีอาจจะเป็นขั้นตอนวิธีการประมาณที่มักจะให้ประมาณปัจจัยคง (แม้ว่าสกุลที่มีขนาดเล็กมาก)

กระดาษเฉิน, Kanchi และ Kanevsky [CKK '97] เพียงบอกว่าการคำนวณประเภทที่มีข้อผิดพลาดเพิ่มเติมเป็น NP-hard นี่เป็นเค้าโครงที่ไม่เป็นทางการของการโต้แย้ง จะเห็นได้ชัดว่าอาร์กิวเมนต์นี้ไม่สามารถใช้เพื่อพิสูจน์ขอบเขตล่างของปัจจัยการประมาณ พิจารณากราฟเช่นว่ามันเป็น NP-hard เพื่อตรวจสอบว่าหรือ (สำหรับบาง ) ; กราฟนี้มีอยู่เนื่องจากปัญหาคือ NP-hard ให้เป็นหมายเลขของจุดในGให้เป็นค่าคงที่ที่มีขนาดใหญ่ เอาแยกเป็นส่วน ๆ ของกราฟ$O(n^{1-\varepsilon})$$G$$\mathrm{genus}(G) \leq g^*$$\mathrm{genus}(G) \geq g^*+1$$g^*$$n$$G$$k$$N = n^k$$G$และพิจารณาสหภาพของพวกเขา จากนั้นในกราฟได้รับมันเป็นเรื่องยากที่จะตรวจสอบว่าหรือ . นั่นคือมันเป็นเรื่องยากที่จะคำนวณด้วยข้อผิดพลาดเพิ่มเติมที่1) การก่อสร้างนี้ไม่ได้ให้ขอบเขตที่ต่ำกว่ากับปัจจัยการประมาณ อัตราส่วนของจะเท่ากับอัตราส่วนของเพื่อ *$G'$$\mathrm{genus}(G') \leq N g^*$$\mathrm{genus}(G') \geq N(g^*+1)$$\mathrm{genus}(G')$$N = (Nn)^{k/{k+1}} = |V(G')|^{k/{k+1}} = |V(G')|^{1-\varepsilon}$N ( g ∗ + 1 ) N g ∗ g ∗ + 1 g $\varepsilon = 1/(k+1)$$N(g^*+1)$$Ng^*$$g^*+1$$g^*$