วิธีการแสดงให้เห็นว่าประเภทในระบบที่มีชนิดที่ขึ้นต่อกันไม่ได้อาศัยอยู่ (เช่นสูตรไม่สามารถพิสูจน์ได้)

สำหรับระบบที่ไม่มีชนิดที่ขึ้นต่อกันเช่นระบบประเภท Hindley-Milner ประเภทนั้นจะสอดคล้องกับสูตรของตรรกะเชิงสัญชาตญาณ มีเรารู้ว่ารูปแบบที่มีความ Heyting จีบราส์และโดยเฉพาะอย่างยิ่งที่จะพิสูจน์สูตรเราสามารถ จำกัด เพื่อ Heyting พีชคณิตหนึ่งที่แต่ละสูตรมีตัวแทนเป็นเซตเปิดR$\mathbb{R}$

ตัวอย่างเช่นถ้าเราต้องการที่จะแสดงให้เห็นว่าไม่ได้อาศัยอยู่ที่เราสร้างแผนที่φจากสูตรย่อยเปิดRโดยกำหนด: φ ( α $\forall\alpha.\alpha\lor(\alpha\rightarrow\bot)$$\phi$$\mathbb{R}$ จากนั้น ϕ ( α → ⊥

$$\begin{align} \phi(\alpha) &= (-\infty, 0) \end{align}$$ นี่แสดงให้เห็นว่าสูตรดั้งเดิมไม่สามารถพิสูจน์ได้เนื่องจากเรามีแบบจำลองที่ไม่เป็นความจริงหรือเทียบเท่า (โดย Curry-Howard isomorphism) ชนิดนี้ไม่สามารถอาศัยอยู่ได้ $$\begin{align} \phi(\alpha\rightarrow\bot) &= \mbox{int}( [0, \infty) ) \\ & = (0,\infty) \\ \phi(\alpha\lor(\alpha\rightarrow\bot)) &= (-\infty, 0) \cup (0,\infty) \\ &= \mathbb{R} \setminus {0}. \end{align}$$

เป็นไปได้ก็จะใช้เฟรม Kriepke

---

มีวิธีการที่คล้ายกันสำหรับระบบที่มีชนิดที่ขึ้นต่อกันหรือไม่? ชอบกรอบทั่วไปของ Heyting algebras หรือ Kripke frames หรือไม่?

หมายเหตุ: ฉันไม่ได้ขอขั้นตอนการตัดสินใจฉันรู้ว่าไม่มีอะไรเลย ฉันขอแค่กลไกที่อนุญาตให้เป็นสักขีพยานในการพิสูจน์สูตรที่ไม่สามารถพิสูจน์ได้

สูตรที่ไม่สามารถพิสูจน์ได้สามารถทำได้สองวิธี ด้วยโชคบางอย่างเราอาจจะสามารถแสดงในทฤษฎีประเภทที่สูตรหมายถึงหนึ่งซึ่งเป็นที่รู้จักกันแล้วว่าไม่สามารถพิสูจน์ได้ วิธีอื่นคือการค้นหาโมเดลที่สูตรไม่ถูกต้องและอาจเป็นเรื่องยาก ยกตัวอย่างเช่นมันใช้เวลานานมากที่จะหารูปแบบ groupoidของทฤษฎีประเภทขึ้นอยู่กับซึ่งเป็นครั้งแรกเพื่อทำให้เอกลักษณ์ของการพิสูจน์ตัวตน

คำถาม "รูปแบบของทฤษฎีชนิดพึ่งพาคืออะไร?" มีคำตอบที่ค่อนข้างซับซ้อน หากคุณไม่สนใจคุณสมบัติบางอย่างของการทดแทนแบบจำลองเป็นหมวดหมู่ปิดคาร์ทีเซียนท้องถิ่นและนั่นอาจเป็นคำตอบที่ง่ายที่สุด ถ้าคุณต้องการ "ของจริง" รุ่นแล้วมีหลายตัวเลือกให้ดูที่หน้า NLAB ในรูปแบบเด็ดขาดของทฤษฎีประเภทขึ้นอยู่กับ ไม่ว่าในกรณีใดคำตอบนั้นค่อนข้างซับซ้อนอยู่เสมอเพราะทฤษฎีประเภทพึ่งพานั้นเป็นระบบที่ค่อนข้างซับซ้อน

ถ้าฉันจะแนะนำเพียงหนึ่งบทความเกี่ยวกับเรื่องนี้ผมอาจจะแนะนำกระดาษต้นฉบับโดยโรเบิร์ต Seely, "ประเภทปิดคาร์ทีเซียนประเทศและประเภททฤษฎี" ถ้าฉันจะขอแนะนำอีกคนหนึ่งก็อาจจะเป็นหนึ่งที่อธิบายถึงสิ่งที่จะต้องมีการแก้ไขในกระดาษของ Seely เช่นมาร์ตินฮอฟแมน"ในการแปลความหมายของประเภททฤษฎีในหมวดหมู่ปิดคาร์ทีเซียนเฉพาะ"

ล่วงหน้าที่สำคัญที่ผ่านมาในพื้นที่นี้เป็นสำนึกที่รุ่นฮอมอโททฤษฎีนี้ยังมีรูปแบบของทฤษฎีประเภทขึ้นอยู่กับดูhomotopytypetheory.org อ้างอิง สิ่งนี้ให้ความเป็นไปได้มากมาย แต่ตอนนี้ต้องเรียนรู้ทฤษฎี homotopy เพื่อให้ได้แบบจำลอง