ขั้นตอนวิธีการประมาณสำหรับชุดอิสระสูงสุดในการเรียนพิเศษของกราฟ

23

เรารู้ว่า Maximum Independent Set (MIS) นั้นยากที่จะประมาณภายในสำหรับใด ๆยกเว้น P = NP กราฟพิเศษบางคลาสที่ทราบขั้นตอนวิธีการประมาณที่ดีกว่าคืออะไร $n^{1-\epsilon}$ $\epsilon > 0$

กราฟที่อัลกอริธึมเวลาพหุนามเป็นที่รู้จักคืออะไร? ฉันรู้ว่าสำหรับกราฟที่สมบูรณ์แบบนี้เป็นที่รู้จักกัน แต่มีชั้นเรียนที่น่าสนใจอื่น ๆ ของกราฟ?

— Arindam Pal
แหล่งที่มา

1

คำถามที่แน่นอน (ไม่ใช่ประมาณ) รุ่นนี้: cstheory.stackexchange.com/q/2503/109

— András Salamon

19

มีรายการที่น่ากลัวอย่างแท้จริงของทุกชั้นเรียนกราฟที่รู้จักกันว่ามีขั้นตอนวิธีการขับเคลื่อนบางอย่างสำหรับระบบสารสนเทศเป็น: ดูรายการนี้ในเว็บไซต์เรียนกราฟ

— Suresh Venkat
แหล่งที่มา

8

รายการนั้นมีจุดมุ่งหมายเฉพาะสำหรับอัลกอริทึมที่แน่นอน ในการประมาณคลาสหลักอาจเป็น PTAS บนกราฟระนาบกราฟประเภทที่ล้อมรอบและกราฟ H-minor-free

— Yixin Cao

ขอบคุณสุเรช รายการค่อนข้างครอบคลุม ขอบคุณ Yan ที่ให้ผลลัพธ์การประมาณเช่นกัน

— Arindam Pal

2

การอ้างอิงที่เกี่ยวข้องคือ: Brenda S. Baker: อัลกอริทึมการประมาณสำหรับปัญหา NP-Complete บนกราฟระนาบ J. ACM 41 (1): 153-180 (1994); David Eppstein: เส้นผ่านศูนย์กลางและ Treewidth ในตระกูลกราฟขนาดเล็กปิด อัลกอริทึม 27 (3): 275-291 (2000); Erik D. Demaine, Mohammad Taghi Hajiaghayi, Ken-ichi Kawarabayashi: กราฟขั้นตอนวิธีทฤษฎีเล็กน้อย: การสลายตัว, การประมาณและการระบายสี ฟรี 2005: 637-646 ดูเพิ่มเติมที่: courses.csail.mit.edu/6.889/fall11/lectures/L08.htmlและcourses.csail.mit.edu/6.889/fall11/lectures/L09.html

— คริสเตียนโซเมอร์

12

ฉันไม่มีภาพรวมที่ดีของปัญหานี้ แต่ฉันสามารถยกตัวอย่าง อัลกอริธึมการประมาณแบบง่าย ๆ คือการหาลำดับของโหนดและเลือกโลภอย่างต่อเนื่องเพื่อให้อยู่ในชุดอิสระหากไม่มีการเลือกเพื่อนบ้านก่อนหน้านี้ในชุดอิสระ

หากกราฟมีความเสื่อมโทรมดังนั้นการใช้การเรียงลำดับความเสื่อมจะให้การประมาณค่า -approximation ดังนั้นสำหรับกราฟของความเสื่อมโทรมเรามีการประมาณที่ดีพอ $d$ $d$ $n^{1-\epsilon}$

มีเทคนิคอื่นอีกสองสามประการสำหรับการประมาณค่าที่ใช้งานได้เช่นกัน แต่ฉันไม่รู้จักพวกเขาดี ดู: http://en.wikipedia.org/wiki/Baker%27s_technique และ http://courses.engr.illinois.edu/cs598csc/sp2011/Lectures/lecture_7.pdf

สำหรับพหุนามขั้นตอนวิธีการแก้ปัญหาที่เกิดขึ้นว่าเชื่อมโยง Suresh ให้เป็นที่ดีที่สุด กราฟคลาสใดที่น่าสนใจกว่านั้นยากที่จะพูด

ระดับหนึ่งที่คุณจะไม่พบในรายการที่เป็นส่วนประกอบของกราฟ -degenerate เนื่องจากกลุ่มควิกสามารถแก้ไขได้ในบนกราฟของความเสื่อมดู http://en.wikipedia.org/wiki/Bron%E2%80%93Kerbosch_algorithm โดยเฉพาะการทำงานของ Eppstein จากนั้นตั้งอิสระเป็นพหุนามใน G ถ้าสมบูรณ์ของ G มีความเสื่อม ) $k$ $O(2^k n)$ $k$ $O(\log n)$

— Martin Vatshelle
แหล่งที่มา

ดังที่ Mohammad Al-Turkistany กล่าวในกราฟลูกบาศก์ลูกบาศก์คำตอบของเขาว่าเป็นหนึ่งในกราฟที่ไม่สมบูรณ์ซึ่งสามารถตั้งค่าอิสระได้ กราฟระนาบทั้งหมดมีความเสื่อมสูงสุดไม่เกิน 5 และกราฟของสกุล k มีความเสื่อม O (k) และเซตอิสระสามารถประมาณได้

— มาร์ติน Vatshelle

5

สำหรับคลาสของกราฟภาพถ่ายลูกบาศก์ลูกบาศก์, กระดาษนี้, อัลกอริทึมการประมาณสำหรับปัญหาชุดอิสระสูงสุดในกราฟลูกบาศก์ภาพถ่ายโดย Elarbi Choukhmane และ John Franco ให้อัลกอริทึมประมาณเวลาพหุนาม ค่าประมาณของอัลกอริทึมคือ 6/7

— Mohammad Al-Turkistany
แหล่งที่มา

1

นั่นล้าสมัยไปแล้วโดยเทคนิคของ Baker (FOCS'83) ในเวลาที่มันถูกตีพิมพ์ในปี 1986

— David Eppstein

4

ฉันยังไม่ได้ตรวจสอบคำตอบข้างต้นดังนั้นฉันขอโทษถ้ามีการทับซ้อนกัน นี่เป็นกรณีพิเศษที่คุณสามารถแก้ปัญหาได้ตรงเวลาพหุนาม หากกราฟ G ของคุณเป็นกราฟเส้นให้เรียกใช้อัลกอริธึมเวลาพหุนามเพื่อค้นหากราฟราก H จากนั้นค้นหาการจับคู่สูงสุดใน H

— Babis Tsourakakis
แหล่งที่มา

ทั้งกราฟเส้นและส่วนประกอบของกราฟเส้นเป็นพหุนามและครอบคลุมโดยรายการที่กำหนดโดย Suresh Venkat

— Martin Vatshelle

3

ในกราฟตัดกันเชิงเรขาคณิตมีการประมาณที่น่าสนใจหลายอย่างคือ PTAS และอัลกอริธึมที่แน่นอนแบบเลขชี้กำลังแทน ดูบทความ Wikipedia สูงสุด Disjoint Setสำหรับแบบสำรวจ

— Erel Segal-Halevi
แหล่งที่มา