การคำนวณการปิดสหภาพ

ป.ร. ให้ครอบครัวของที่มากที่สุดnย่อยของ{ 1 , 2 , ... , n } ปิดสหภาพFเป็นอีกหนึ่งครอบครัวชุดCที่มีการตั้งค่าที่สามารถสร้างขึ้นโดยการสหภาพ 1 ชุดขึ้นในทุกF โดย| C | เราแสดงว่าจำนวนชุดในC$\mathcal F$$n$$\{ 1, 2, \dots, n \}$$\mathcal F$$\mathcal C$$\mathcal F$$|\mathcal C|$$\mathcal C$

วิธีที่เร็วที่สุดในการคำนวณการปิดสหภาพคืออะไร

ฉันได้แสดงความเท่าเทียมกันระหว่างการปิดสหภาพและแสดงรายการชุดอิสระสูงสุดทั้งหมดในกราฟสองฝ่ายดังนั้นเราจึงรู้ว่าการตัดสินใจขนาดของการปิดสหภาพคือ # P-complete

แต่มีวิธีที่จะแสดงรายการทั้งหมดสูงสุดอิสระชุด (หรือชมรมสูงสุด) ในเวลาสำหรับกราฟที่มีnโหนดและม.ขอบ Tsukiyama et al, 2520 แต่นี่ไม่ใช่เฉพาะสำหรับกราฟสองฝ่าย$O(|\mathcal C| \cdot nm)$$n$$m$

เราให้อัลกอริทึมสำหรับกราฟสองฝ่ายพร้อมรันไทม์ http://www.ii.uib.no/~martinv/Papers/BooleanWidth_I.pdf$|\mathcal C| \cdot \log |\mathcal C| \cdot n^2$

วิธีการของเราตั้งอยู่บนพื้นฐานของการสังเกตว่าองค์ประกอบใด ๆ ในสามารถทำโดยการรวมกันขององค์ประกอบอื่น ๆ ของCและหนึ่งในชุดเดิม ดังนั้นเราจะเมื่อใดก็ตามที่เราเพิ่มองค์ประกอบในCพยายามที่จะขยายมันโดยหนึ่งในชุดเดิมn สำหรับแต่ละเหล่านี้n ⋅ | C | ชุดที่เราจำเป็นต้องตรวจสอบว่าพวกเขาจะยังคงอยู่ในC เราจัดเก็บCเป็นแผนผังการค้นหาแบบไบนารีดังนั้นการค้นหาแต่ละรายการจึงใช้บันทึก| C | เวลา⋅ $C$$C$$C$$n$$n \cdot |C|$$C$$C$$\log |C| \cdot n$

มันเป็นไปได้ที่จะหาสิ่งที่ปิดสหภาพในO ( | C | ⋅ n 2 )เวลาหรือไม่ หรือแม้กระทั่งในเวลาO ( | C | ⋅ n ) ?$\mathcal C$$O(|\mathcal C| \cdot n^2)$$O(|\mathcal C| \cdot n)$

ความซับซ้อนของการแจกแจงชุดอิสระสูงสุดในกราฟนั้นเหมือนกับในกราฟสองฝ่ายดังนั้นความเป็นสองฝ่ายจึงไม่นำสิ่งใดมาใหม่

$O(|C|\cdot n^2)$