ระบบพิสูจน์ผลรวมกำลังสอง


23

เมื่อเร็ว ๆ นี้ฉันได้เห็นหลายบทความเกี่ยวกับ arxiv ที่อ้างถึงระบบพิสูจน์ที่เรียกว่าผลรวมของกำลังสอง

ใครสามารถอธิบายสิ่งที่เป็นหลักฐานรวมของสี่เหลี่ยมและทำไมหลักฐานดังกล่าวมีความสำคัญ / น่าสนใจ?

พวกเขาเกี่ยวข้องกับระบบพิสูจน์เชิงพีชคณิตอื่น ๆ อย่างไร พวกเขาเป็นคู่กับ Lassere บ้างไหม?


11
มีบางอย่างในภาพรวมเป็นarxiv.org/abs/1211.1958 ระบบ SOS พื้นฐานถูกกำหนดในการส่งผ่านหน้า 3 (มองหา Grigoriev และ Vorobjov)
Emil Jeřábekสนับสนุน Monica

3
@Emil ดูเหมือนว่าบทความมีคำตอบสำหรับคำถามในโพสต์ (อธิบายถึงระบบประวัติและความเกี่ยวข้องกับผลงานล่าสุด) ทำไมไม่โพสต์ความคิดเห็นของคุณเป็นคำตอบ?
Kaveh

@ EmilJeřábekฉันจะยอมรับความคิดเห็นของคุณหากคุณโพสต์เวอร์ชันขยายเป็นคำตอบ
ไม่ระบุชื่อ

2
ตกลงฉันทำไปแล้วแม้ว่าฉันจะชอบมากกว่าถ้ามีคนตอบว่าเข้าใจระบบเหล่านี้จริง ๆ
Emil Jeřábekสนับสนุน Monica

คำตอบ:


18

ระบบพิสูจน์ผลรวมกำลังสองขั้นพื้นฐานภายใต้ชื่อของการพิสูจน์แบบโพสิททีฟสเทลเลนสตัดส์โดยGrigoriev และ Vorobjovเป็นระบบพิสูจน์แบบ "คงที่" เพื่อแสดงให้เห็นว่าชุดของสมการพหุนามและความไม่เท่าเทียมกัน ที่f 1 , , f k , h 1 , ,

S={1=0,...,k=0,ชั่วโมง10,...,ชั่วโมงม.0},
, ไม่มีคำตอบทั่วไปใน R n : การพิสูจน์ของ Sได้จากพหุนามประกอบด้วย g ฉันและ e ฉัน, jนั้น - 1 = k i = 1 g ฉันf ฉัน + ฉัน{ 1 , , m } j e 2 I1,...,k,ชั่วโมง1,...,ชั่วโมงม.R[x1,...,xn]RnSก.ผมอีผม,J (สามารถทำงานกับสนามปิดจริงใด ๆ แทนR) Positivstellensatz ของ Stengle รับประกันได้ว่าSมีการหักล้างถ้าหากไม่มีวิธีแก้ปัญหา ความซับซ้อนหลักของการวัดคือระดับ
(* * * *)-1=Σผม=1kก.ผมผม+Σผม{1,...,ม.}ΣJอีผม,J2Πผมผมชั่วโมงผม.
RSการหักล้างซึ่งเป็นจำนวนสูงสุดขององศาพหุนามทั้งหมดที่ปรากฏภายใต้เครื่องหมายรวมในนั่นคือg i f iและe 2 I , ji ฉันชั่วโมงฉัน(* * * *)ก.ผมผมอีผม,J2Πผมผมชั่วโมงผม

φSxผม2-xผมxผมφ

เพิ่มเติมเกี่ยวกับประวัติความเป็นมาและการพัฒนาของระบบ SOS ที่สามารถพบได้ในhttp://arxiv.org/abs/1211.1958


1
มีหนังสือมาตรฐานหรือไม่

1
นอกจากนี้ยังมีการใช้ทฤษฎีแบบจำลองที่นี่หรือไม่?

2
Laserre มีหนังสือเล่มล่าสุดเกี่ยวกับการเพิ่มประสิทธิภาพ "ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับการเพิ่มประสิทธิภาพพหุนามและกึ่งพีชคณิต" จัดพิมพ์โดย Cambridge University Press
จันทรา Chekuri

11

พี(x)0พี(x)x x

กฎการอนุมานคือ:

  1. x2-x0
  2. x-x20
  3. พี(x)20
  4. พี(x)0พี(x)x0
  5. พี(x)0พี(x)(1-x)0
  6. พี1(x)0,,พีม.(x)0Σผม=1ม.ผมพีผม(x)01,,ม.R+

พี(x)20 0

มีการเชื่อมต่อที่ดีกับการเขียนโปรแกรม semidefinite และอัลกอริทึมการประมาณ

สำหรับข้อมูลเพิ่มเติมดูการพูดคุยล่าสุดของAlbert Atseriasที่การประชุมเชิงปฏิบัติการ BIRS รากฐานทางทฤษฎีของการแก้ปัญหา SAT ประยุกต์ :


สูตรนี้เหมือนกับของ Emil หรือเปล่า ของคุณคือ "ไดนามิก" และด้วยเหตุนี้อนุญาตให้พิสูจน์เหมือน DAG ซึ่ง Emil คือ "คงที่" และดังนั้นจึงดูเหมือนจะสอดคล้องกับรุ่นที่เหมือนต้นไม้ของคุณ ดังนั้นเห็นได้ชัดว่าพวกเขาแตกต่างกันตามความซับซ้อน (เช่นระดับขนาดในแง่ของจำนวน monomials และจำนวนบรรทัด) มันเป็นเรื่องจริงเหรอ?
Iddo Tzameret

@Iddo ฉันคิดว่าคุณพูดถูก การวัดความซับซ้อนอาจไม่เหมือนกัน อัลเบิร์ตอธิบายในคำปราศรัยของเขาสั้น ๆ เกี่ยวกับจดหมายโต้ตอบสำหรับมาตรการความซับซ้อนที่น่าสนใจหลักถ้าฉันจำได้อย่างถูกต้อง แต่ถ้าใครสนใจมาตรการอื่นก็ต้องมีความระมัดระวังในการกำหนดมากขึ้น
Kaveh

@Kaveh ฉันตั้งคำถามที่เกี่ยวข้องกันสองข้อถ้าคุณสามารถช่วยได้ (1) cstheory.stackexchange.com/questions/30930/ (2) cstheory.stackexchange.com/questions/30932/27
user6818
โดยการใช้ไซต์ของเรา หมายความว่าคุณได้อ่านและทำความเข้าใจนโยบายคุกกี้และนโยบายความเป็นส่วนตัวของเราแล้ว
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.