ระบบพิสูจน์ผลรวมกำลังสอง

เมื่อเร็ว ๆ นี้ฉันได้เห็นหลายบทความเกี่ยวกับ arxiv ที่อ้างถึงระบบพิสูจน์ที่เรียกว่าผลรวมของกำลังสอง

ใครสามารถอธิบายสิ่งที่เป็นหลักฐานรวมของสี่เหลี่ยมและทำไมหลักฐานดังกล่าวมีความสำคัญ / น่าสนใจ?

พวกเขาเกี่ยวข้องกับระบบพิสูจน์เชิงพีชคณิตอื่น ๆ อย่างไร พวกเขาเป็นคู่กับ Lassere บ้างไหม?

มีบางอย่างในภาพรวมเป็นarxiv.org/abs/1211.1958 ระบบ SOS พื้นฐานถูกกำหนดในการส่งผ่านหน้า 3 (มองหา Grigoriev และ Vorobjov)

— Emil Jeřábekสนับสนุน Monica

@Emil ดูเหมือนว่าบทความมีคำตอบสำหรับคำถามในโพสต์ (อธิบายถึงระบบประวัติและความเกี่ยวข้องกับผลงานล่าสุด) ทำไมไม่โพสต์ความคิดเห็นของคุณเป็นคำตอบ?

— Kaveh

@ EmilJeřábekฉันจะยอมรับความคิดเห็นของคุณหากคุณโพสต์เวอร์ชันขยายเป็นคำตอบ

— ไม่ระบุชื่อ

ตกลงฉันทำไปแล้วแม้ว่าฉันจะชอบมากกว่าถ้ามีคนตอบว่าเข้าใจระบบเหล่านี้จริง ๆ

— Emil Jeřábekสนับสนุน Monica

คำตอบ:

ระบบพิสูจน์ผลรวมกำลังสองขั้นพื้นฐานภายใต้ชื่อของการพิสูจน์แบบโพสิททีฟสเทลเลนสตัดส์โดยGrigoriev และ Vorobjovเป็นระบบพิสูจน์แบบ "คงที่" เพื่อแสดงให้เห็นว่าชุดของสมการพหุนามและความไม่เท่าเทียมกัน ที่

S = {ฉ_{1} = 0, ..., ฉ_{k} = 0, {ชั่วโมง}_{1} \geq 0, ..., {ชั่วโมง}_{ม.} \geq 0},

$S=\{f_1=0,\dots,f_k=0,h_1\ge0,\dots,h_m\ge0\},$

, ไม่มีคำตอบทั่วไปใน

: การพิสูจน์ของ

ได้จากพหุนามประกอบด้วย

และ

นั้น

f_{1}, \dots, f_{k}, h_{1}, \dots, h_{m} \in R [x_{1}, \dots, x_{n}]

$f_1,\dots,f_k,h_1,\dots,h_m\in\mathbb R[x_1,\dots,x_n]$

R^{n}

$\mathbb R^n$

S

$S$

g_{i}

$g_i$

e_{I, j}

$e_{I,j}$

(สามารถทำงานกับสนามปิดจริงใด ๆ แทน

) Positivstellensatz ของ Stengle รับประกันได้ว่า

มีการหักล้างถ้าหากไม่มีวิธีแก้ปัญหา ความซับซ้อนหลักของการวัดคือระดับ

\begin{matrix} (* * * *) & - 1 = Σ_{ผม = 1}^{k} {ก.}_{ผม} ฉ_{ผม} + \underset{ผม \subseteq {1, ..., ม.}}{Σ} \underset{J}{Σ} {อี}_{ผม, J}^{2} \underset{ผม \in ผม}{Π} {ชั่วโมง}_{ผม} . \end{matrix}

$\tag{$*$}-1=\sum_{i=1}^kg_if_i+\sum_{I\subseteq\{1,\dots,m\}}\sum_je_{I,j}^2\prod_{i\in I}h_i.$

R

$\mathbb R$

S

$S$ การหักล้างซึ่งเป็นจำนวนสูงสุดขององศาพหุนามทั้งหมดที่ปรากฏภายใต้เครื่องหมายรวมใน

นั่นคือ

และ

ฉัน

(*)

$(*)$

g_{i} f_{i}

$g_if_i$

e_{I, j}^{2} \prod_{i \in I} h_{i}

$e_{I,j}^2\prod_{i\in I}h_i$

$\phi$ $S$ $x_i^2-x_i$ $x_i$ $\phi$

เพิ่มเติมเกี่ยวกับประวัติความเป็นมาและการพัฒนาของระบบ SOS ที่สามารถพบได้ในhttp://arxiv.org/abs/1211.1958

— Emil Jeřábekสนับสนุน Monica
แหล่งที่มา

มีหนังสือมาตรฐานหรือไม่

นอกจากนี้ยังมีการใช้ทฤษฎีแบบจำลองที่นี่หรือไม่?

Laserre มีหนังสือเล่มล่าสุดเกี่ยวกับการเพิ่มประสิทธิภาพ "ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับการเพิ่มประสิทธิภาพพหุนามและกึ่งพีชคณิต" จัดพิมพ์โดย Cambridge University Press

— จันทรา Chekuri

$p(\vec{x}) \geq 0$ $p(\vec{x})$ $\vec{x}$ x

กฎการอนุมานคือ:

$\over x^2-x \geq 0$
$\over x-x^2 \geq 0$
$\over p(\vec{x})^2\geq 0$
$p(\vec{x}) \geq 0 \over p(\vec{x})x \geq 0$
$p(\vec{x}) \geq 0 \over p(\vec{x})(1-x) \geq 0$
$p_1(\vec{x}) \geq 0, \cdots, p_m(\vec{x}) \geq 0 \over \sum_{i=1}^m c_ip_i(\vec{x}) \geq 0$ $c_1, \cdots, c_m \in \mathbb{R}^+$

$p(\vec{x})^2\geq 0$ 0

มีการเชื่อมต่อที่ดีกับการเขียนโปรแกรม semidefinite และอัลกอริทึมการประมาณ

สำหรับข้อมูลเพิ่มเติมดูการพูดคุยล่าสุดของAlbert Atseriasที่การประชุมเชิงปฏิบัติการ BIRS รากฐานทางทฤษฎีของการแก้ปัญหา SAT ประยุกต์ :

Albert Atserias , Mini-Tutorial เกี่ยวกับระบบการพิสูจน์กึ่งพีชคณิต ( สไลด์ ), 2014

— Kaveh
แหล่งที่มา

สูตรนี้เหมือนกับของ Emil หรือเปล่า ของคุณคือ "ไดนามิก" และด้วยเหตุนี้อนุญาตให้พิสูจน์เหมือน DAG ซึ่ง Emil คือ "คงที่" และดังนั้นจึงดูเหมือนจะสอดคล้องกับรุ่นที่เหมือนต้นไม้ของคุณ ดังนั้นเห็นได้ชัดว่าพวกเขาแตกต่างกันตามความซับซ้อน (เช่นระดับขนาดในแง่ของจำนวน monomials และจำนวนบรรทัด) มันเป็นเรื่องจริงเหรอ?

— Iddo Tzameret

@Iddo ฉันคิดว่าคุณพูดถูก การวัดความซับซ้อนอาจไม่เหมือนกัน อัลเบิร์ตอธิบายในคำปราศรัยของเขาสั้น ๆ เกี่ยวกับจดหมายโต้ตอบสำหรับมาตรการความซับซ้อนที่น่าสนใจหลักถ้าฉันจำได้อย่างถูกต้อง แต่ถ้าใครสนใจมาตรการอื่นก็ต้องมีความระมัดระวังในการกำหนดมากขึ้น

— Kaveh

@Kaveh ฉันตั้งคำถามที่เกี่ยวข้องกันสองข้อถ้าคุณสามารถช่วยได้ (1) cstheory.stackexchange.com/questions/30930/ (2) cstheory.stackexchange.com/questions/30932/27

— user6818