ระบบพิสูจน์ผลรวมกำลังสองขั้นพื้นฐานภายใต้ชื่อของการพิสูจน์แบบโพสิททีฟสเทลเลนสตัดส์โดยGrigoriev และ Vorobjovเป็นระบบพิสูจน์แบบ "คงที่" เพื่อแสดงให้เห็นว่าชุดของสมการพหุนามและความไม่เท่าเทียมกัน
ที่f 1 , … , f k , h 1 , … ,
S= { f1= 0 , … , fk= 0 , h1≥ 0 , … , hม.≥ 0 } ,
, ไม่มีคำตอบทั่วไปใน
R n : การพิสูจน์ของ
Sได้จากพหุนามประกอบด้วย
g ฉันและ
e ฉัน, jนั้น
- 1 = k ∑ i = 1 g ฉันf ฉัน + ∑ ฉัน⊆ { 1 , … , m } ∑ j e 2 Iฉ1, … , fk, ชั่วโมง1, … , hม.∈ R [ x1, … , xn]RnSก.ผมอีผม, j
(สามารถทำงานกับสนามปิดจริงใด ๆ แทน
R) Positivstellensatz ของ Stengle รับประกันได้ว่า
Sมีการหักล้างถ้าหากไม่มีวิธีแก้ปัญหา ความซับซ้อนหลักของการวัดคือ
ระดับ- 1 = ∑i = 1kก.ผมฉผม+ ∑ผม⊆ { 1 , … , m }ΣJอี2ผม, jΠฉัน∈ ฉันชั่วโมงผม.( ∗ )
RSการหักล้างซึ่งเป็นจำนวนสูงสุดขององศาพหุนามทั้งหมดที่ปรากฏภายใต้เครื่องหมายรวมใน
นั่นคือ
g i f iและ
e 2 I , j ∏ i ∈ ฉันชั่วโมงฉัน
( ∗ )ก.ผมฉผมอี2ผม, jΠฉัน∈ ฉันชั่วโมงผม
φSx2ผม- xผมxผมφ
เพิ่มเติมเกี่ยวกับประวัติความเป็นมาและการพัฒนาของระบบ SOS ที่สามารถพบได้ในhttp://arxiv.org/abs/1211.1958