ความแข็งของ CLIQUE ที่มีพารามิเตอร์

ให้$0\le p\le 1$และพิจารณาปัญหาการตัดสินใจ

ก๊กอินพุต:จำนวนเต็มกราฟกับจุดและ\ lceil P \ binom {t} {2} \ rceilขอบคำถาม:ไม่Gประกอบด้วยก๊กบนอย่างน้อยsจุด?$_p$
$s$$G$$t$$\lceil p\binom{t}{2} \rceil$
$G$$s$

อินสแตนซ์ของ CLIQUE $_p$มีสัดส่วน$p$จากขอบที่เป็นไปได้ทั้งหมด เห็นได้ชัดว่าก๊ก$_p$เป็นเรื่องง่ายสำหรับค่าของบางส่วนหน้า$p$CLIQUE $_0$มีกราฟที่ตัดการเชื่อมต่ออย่างสมบูรณ์เท่านั้นและ CLIQUE $_1$มีกราฟที่สมบูรณ์ ในทั้งสองกรณี CLIQUE $_p$สามารถตัดสินใจได้ในเวลาเชิงเส้น ในทางกลับกันสำหรับค่า$p$ใกล้กับ$1/2$ , CLIQUE $_p$คือ NP-hard โดยการลดลงของ CLIQUE เอง: โดยหลักแล้วมันก็เพียงพอที่จะใช้การรวมกลุ่มแบบไม่เป็นสมาชิกร่วมกับกราฟTurán $T(t,s-1)$ .

คำถามของฉัน:

CLIQUEเป็น PTIME หรือ NP-complete สำหรับทุกตัวหรือไม่ หรือมีค่าซึ่ง CLIQUEมีความซับซ้อนระดับกลาง (ถ้า P ≠ NP)?$_p$$p$$p$$_p$

คำถามนี้เกิดขึ้นจากคำถามที่เกี่ยวข้องกับไฮเปอร์กราฟกราฟ แต่ดูเหมือนว่าน่าสนใจ

ฉันคิดว่าตัวเลขในคำจำกัดความของปัญหา CLIQUE_pเท่ากับจำนวนของขอบในกราฟไม่เหมือนกับคำติชมของ gphilip ต่อคำถาม$\left\lceil p \binom{t}{2} \right\rceil$

ปัญหา CLIQUE _pคือ NP-complete สำหรับค่าคงที่เหตุผล 0 ใด ๆ < p <1 โดยการลดลงของปัญหา CLIQUE ปกติ (สมมติฐานว่าpเป็นเหตุผลจำเป็นเท่านั้นดังนั้นสามารถคำนวณได้จากNในเวลาพหุนามในN. )$\lceil pN \rceil$

ให้k ≥3เป็นจำนวนเต็มความพึงพอใจของทั้งสองk ² ≥1 / Pและ (1-1 / k ) (1-2 / k )> P กำหนดกราฟG ที่มีnจุดยอดและขอบมพร้อมกับค่าขีด จำกัดsการลดลงจะเป็นดังนี้

1. ถ้าs < kเราจะแก้ปัญหา CLIQUE ในเวลา O ( n ^s ) เวลา หากมีขนาดอย่างน้อยsเราจะสร้าง yes-instance ที่แน่นอน มิฉะนั้นเราจะสร้างอินสแตนซ์ที่ไม่มีการแก้ไข
2. หากn < sเราจะสร้างอินสแตนซ์ที่ไม่มีการแก้ไข
3. ถ้าn ≥ s ≥ kเราเพิ่มG A ( k -1) กราฟ -partite ซึ่งแต่ละชุดประกอบด้วยnจุดซึ่งมีตรงedge และสร้างกราฟนี้$\left\lceil p \binom{nk}{2} \right\rceil - m$

หมายเหตุว่ากรณีที่ 1 ใช้เวลา O ( n ^{k -1} ) เวลาซึ่งเป็นพหุนามในnทุกหน้า กรณีที่ 3 เป็นไปได้เพราะถ้าn ≥ s ≥ kดังนั้นเป็นค่าลบและไม่เกินจำนวนขอบในสมการที่สมบูรณ์ (k−1) - กราฟแบ่งท์ K_{n, …,n}ดังแสดงในการอ้างสิทธิ์สองข้อต่อไปนี้$\left\lceil p \binom{nk}{2} \right\rceil - m$

เรียกร้อง 1 0$\left\lceil p \binom{nk}{2} \right\rceil - m \ge 0$

พิสูจน์ ตั้งแต่มันพอเพียงถ้าเราพิสูจน์p ( n$m \le \binom{n}{2}$หรือเทียบเท่าpnk(nk−1) ≥n(n−1) ตั้งแต่p≥ 1 /k²เรามีpnk(nk−1) ≥n(n−1 /k) ≥n(n−1) QED$p \binom{nk}{2} \ge \binom{n}{2}$

เรียกร้อง 2 ) (โปรดทราบว่าทางด้านขวาคือจำนวนของขอบในความสมบูรณ์ (k − 1) - กราฟแบ่งท์ K_{n, …,n}.)$\left\lceil p \binom{nk}{2} \right\rceil - m \lt n^2 \binom{k-1}{2}$

พิสูจน์ ตั้งแต่และm ≥ 0 มันพอเพียงถ้าเราพิสูจน์p ( n $\lceil x \rceil \lt x+1$หรือเทียบเท่าn²(k−1) (k−2) -pnk(nk−1) - 2 ≥ 0 ตั้งแต่p<(1−1 /k) (1−2 /k) เรามี n2(k-1)(k-2)-pnk(nk-1)-2≥n2(k-1)(k-$p \binom{nk}{2} + 1 \le n^2 \binom{k-1}{2}$

แก้ไข : การลดลงของการแก้ไข 1 มีข้อผิดพลาด บางครั้งจำเป็นต้องใช้กราฟที่มีจำนวนขอบลบ (เมื่อpมีขนาดเล็ก) ข้อผิดพลาดนี้ได้รับการแก้ไขแล้ว

$p$$t$$p$$\log^4 t$$s$$\log^2 t$$t^{\log^2 t}$

$\log^2 t$

$p$