คำตอบ: Θ(mnlogn−−−−−√) )
การประยุกต์ทฤษฎีการ จำกัด ขอบเขตแบบหลายมิติเราได้ว่าเวกเตอร์(X1,…,Xn)มีการแจกแจงแบบเกาส์หลายตัวแปรแบบไม่มีเส้นกำกับด้วย
และ
Coวี(Xฉัน,XJ)=-เมตร/n2
เราจะสมมติว่าด้านล่างXเป็นเวกเตอร์แบบเกาส์เซียน (และไม่เพียงประมาณเวกเตอร์เกาส์เซียน) ขอให้เราเพิ่ม Gaussian ตัวแปรสุ่มZกับความแปรปรวนเมตร/n2ทุกXฉัน(Zมีความเป็นอิสระจากทุกXฉัน) นั่นคือปล่อยให้
( Y 1 Y 2 ⋮
Var[Xi]=m(1n−1n2),
Cov(Xi,Xj)=−m/n2.
X Zm/n2XiZXi
เราได้รับเวกเตอร์เสียน
(Y1,...,Yn)
ตอนนี้แต่ละ
Yฉันมีความแปรปรวน
เมตร/n:
VR[Yฉัน]=VR[Xฉัน]+ 2 C o⎛⎝⎜⎜⎜⎜Y1Y2⋮Yn⎞⎠⎟⎟⎟⎟=⎛⎝⎜⎜⎜⎜X1+ZX2+Z⋮Xn+Z⎞⎠⎟⎟⎟⎟.
(Y1,…,Yn)Yim/n
และ
Yฉันมีความเป็นอิสระ:
Coวี(Yฉัน,YJ)=Coวี(Xฉัน,XJ)+ C o วี ( X ฉัน , Z ) + C o v ( X j , Z ) ⏟Var[Yi]=Var[Xi]+2Cov(Xi,Z)=0+Var[Z]=m/n,
YiCov(Yi,Yj)=Cov(Xi,Xj)+Cov(Xi,Z)+Cov(Xj,Z)=0+Cov(Z,Z)=0.
โปรดทราบว่าเจ ดังนั้นปัญหาเดิมของเราเทียบเท่ากับปัญหาในการหาY m x - Y s อีค- ม x ขอให้เราเป็นครั้งแรกสำหรับความเรียบง่ายในการวิเคราะห์กรณีเมื่อทุกY ฉันมีความแปรปรวน1Yi−Yj=Xi−XjYmax−Ysec−maxYi1
ปัญหา. เราจะได้รับ RV Gaussian อิสระγ 1 , ... , γ nมีค่าเฉลี่ยμและความแปรปรวน1 ประเมินความคาดหวังของγ m x - γ s อีค- ม. xnγ1,…,γnμ1γmax−γsec−max
คำตอบ: )Θ(1logn√)
หลักฐานทางการ
นี่เป็นวิธีแก้ปัญหาอย่างไม่เป็นทางการสำหรับปัญหานี้ (ไม่ยากที่จะทำให้เป็นทางการ) ตั้งแต่คำตอบไม่ได้ขึ้นอยู่กับค่าเฉลี่ยเราคิดว่า 0 ให้ˉ ไว ( T ) = Pr [ γ > T ]ที่γ ~ N ( 0 , 1 ) เรามี (สำหรับขนาดใหญ่ปานกลางT )
ˉ ไวμ=0Φ¯(t)=Pr[γ>t]γ∼N(0,1)t
Φ¯(t)≈12π−−√te−12t2.
สังเกตได้ว่า
มีการกระจายอย่างสม่ำเสมอและเป็นอิสระใน [Φ(γi) ,[0,1]
มีขนาดเล็กที่สุดในหมู่ Φ (Φ(γmax) ,Φ(γi)
เป็นที่เล็กที่สุดสองในหมู่ ΦΦ(γsec−max) )Φ(γi)
ดังนั้นอยู่ใกล้กับ1 / nและΦ ( γ m a x )อยู่ใกล้กับ2 / n (ไม่มีสมาธิ แต่ถ้าเราไม่สนใจค่าคงที่การประมาณเหล่านี้ดีพอ; อันที่จริงแล้ว พวกเขายังค่อนข้างดีถ้าเราใส่ใจค่าคงที่ - แต่นั่นต้องมีเหตุผล) โดยใช้สูตรสำหรับˉ ไว ( T )เราได้รับที่
2 ≈ ˉ ไวΦ(γmax)1/nΦ(γmax)2/nΦ¯(t)
2≈Φ¯(γsec−max)/Φ¯(γmax)≈e12(γ2max−γ2sec−max).
ดังนั้นเป็นΘ ( 1 ) WHP ทราบว่าγ เมตรx ≈ γ s อีค- ม.γ2max−γ2sec−maxΘ(1) ) เรามี
γ m x -γ s อีค- ม. x ≈γmax≈γsec−max=Θ(logn−−−−√)
γmax−γsec−max≈Θ(1)γmax+γsec−max≈Θ(1)logn−−−−√.
QED
เราได้รับ
E[Xmax−Xsec−max]=E[Ymax−Ysec−max]=Var[Yi]−−−−−−√×E[γmax−γsec−max]=Θ(mnlogn−−−−−−√).
E[Xmax−Xsec−max]=cE[Xmax−Xmin]/logn.