สิ่งที่เป็น # P-complete ของ # 2-SAT คืออะไร?

เวอร์ชั่นสั้น.

หลักฐานดั้งเดิมที่ # 2-SAT เป็นรายการ#P- ที่สมบูรณ์ในความเป็นจริงแล้วกรณีเหล่านั้นของ # 2-SAT ซึ่งเป็นทั้งเสียงเดียว (ไม่เกี่ยวข้องกับการปฏิเสธของตัวแปรใด ๆ ) และbipartite (กราฟที่เกิดขึ้นโดยอนุประโยคเหนือ ตัวแปรเป็นกราฟสองฝ่าย) คือ#P -hard ดังนั้นทั้งสองกรณีพิเศษ # 2-MONOTONE-SAT และ # 2-BIPARTITE-SAT จึงเป็น#P -hard มีกรณีพิเศษอื่น ๆ ที่สามารถระบุลักษณะของคุณสมบัติ 'ธรรมชาติ' ของสูตรซึ่งเป็น#P -hard ได้หรือไม่?

รุ่นยาว

ปัญหา # 2-SAT เป็นงานของการคำนวณ - สำหรับสูตรบูลีนประกอบด้วยการรวมกันของส่วนคำสั่งต่าง ๆ โดยที่แต่ละส่วนคำสั่งเป็นการแยกความสัมพันธ์ของสองตัวอักษรหรือ - จำนวนของสตริงบูลีนดังกล่าวว่า1 ออกหาหรือไม่ว่ามีอยู่แล้วเช่นเป็นเรื่องง่าย แต่การนับจำนวนของการแก้ปัญหาโดยทั่วไปคือ#Pสมบูรณ์ที่แสดงโดยองอาจในความซับซ้อนของการแจงนับและปัญหาความน่าเชื่อถือ, สยามเจคอมพิว. 8 , PP. 410-421x j ˉ x j x ∈ { 0 , 1 } n ϕ ( x ) = $\phi$$x_j$$\bar x_j$$x \in \{0,1\}^n$$\phi(x) = 1$$x$

สำหรับกรณีของ # 2-SAT โดยเฉพาะสิ่งที่ Valiant แสดงให้เห็นจริงๆคือการลด # 2-SAT จากการนับการจับคู่ (รวมถึงการจับคู่ที่ไม่สมบูรณ์) ในกราฟ bipartite ซึ่งทำให้อินสแตนซ์ของ # 2-SAT ที่มีโครงสร้างพิเศษมาก ดังนี้

1. ครั้งแรกที่ทราบว่าปัญหาเดียวคือเทียบเท่าโดยทดแทนในการแก้ไขปัญหาในการที่แต่ละตัวแปรทั้งเกิดขึ้นในสูตรหรือไม่ แต่ไม่ใช่ทั้งสอง โดยเฉพาะอย่างยิ่งปัญหา "เสียงเดียวที่ลดลง" ซึ่งมีเพียงการปฏิเสธเกิดขึ้นสำหรับตัวแปรทุกตัวนั้นยากพอ ๆ กับกรณีเสียงเดียวx j ϕ ˉ x$x_j$$x_j$$\phi$$\bar x_j$$\bar x_j$

2. สำหรับกราฟใด ๆมีขอบเราสามารถสร้างสูตร 2-SAT ที่ลดเสียงเดียวที่สอดคล้องกับการจับคู่ - คอลเลกชันของขอบที่ไม่แบ่งปันจุดยอดใด ๆ - โดยกำหนดตัวแปรให้กับแต่ละขอบ มันรวมอยู่ในชุดขอบ คุณสมบัติของเซตการจับคู่เทียบเท่ากับอุบัติการณ์เวกเตอร์น่าพอใจสูตร CNFซึ่งได้รับคำสั่งจากสำหรับทุกคู่ของขอบซึ่งใช้จุดสุดยอด จากการก่อสร้างมีวิธีการแก้ปัญหาที่น่าพอใจมากม. x อีเอ็ม⊆ E x = χ M φ ( ˉ xอี ∨ ˉ xฉ ) E , F ∈ E φ x ∈ { 0 , 1 } $G = (V,E)$$m$$x_e$$M \subseteq E$$\mathbf x = \chi_M$$\phi$$(\bar x_e \vee \bar x_f)$$e, f \in E$$\phi$$\mathbf x \in \{0,1\}^m$เนื่องจากมี (อาจจะไม่สมบูรณ์) จ้อในกราฟG$G$

3. หากกราฟที่เราต้องการนับการจับคู่นั้นเป็น bipartite ก็จะไม่มีวงจรคี่ - ซึ่งเราสามารถอธิบายเป็นลำดับของขอบในกราฟที่เริ่มต้นและสิ้นสุดด้วยขอบเดียวกัน (โดยไม่นับขอบสุดท้ายที่สองครั้ง) . จากนั้นจะไม่มีลำดับของตัวแปรของความยาวคี่ในซึ่งตัวแปรที่อยู่ติดกันมีส่วนร่วมในประโยคทั่วไป จากนั้นสูตรจะเป็นสองฝ่ายในลักษณะที่อธิบายไว้ก่อนหน้านี้x e , x f , x g , … , x e ϕ $G$$x_e, x_f, x_g, \ldots, x_e$$\phi$$\phi$

4. การนับจำนวนการจับคู่ในกราฟสองฝ่ายโดยพลการโดยเฉพาะสามารถใช้เพื่อนับจำนวนการจับคู่ที่สมบูรณ์แบบในกราฟสองฝ่าย: ได้รับอินพุต bitrarite กราฟมีสองฝ่ายของ ขนาดเดียวกันหนึ่งสามารถสร้างกราฟโดย augmenting กับทุกที่จุดพิเศษที่เชื่อมต่อกับทุกจุดของBเนื่องจากการจับคู่ทั้งหมดในของขนาดที่กำหนดมีส่วนแตกต่างกันไปตามจำนวนของการจับคู่ในโดยการนับหนึ่งเหล่านี้สามารถกำหนดจำนวนการจับคู่ในของขนาด$G = (A \cup B, E)$$A, B$$n$$G_k$$A$B G G k G n { 0 , 1 $0 \leqslant k \leqslant n$$B$$G$$G_k$$G$$n$(นั่นคือซึ่งเป็นการจับคู่ที่สมบูรณ์แบบ); และโปรดทราบว่าการนับจำนวนการจับคู่ที่สมบูรณ์แบบในกราฟ bipartite เทียบเท่ากับการคำนวณค่าความคงทนของเมทริกซ์โดยการโต้ตอบแบบง่าย$\{0,1\}$

คลาสของอินสแตนซ์ของ # 2-SAT ซึ่งแสดงเป็น# P- ฮาร์ดนั้นจะเป็นอินสแตนซ์ของสองฝ่ายเดียว

คำถาม:อะไรคือกรณีพิเศษอื่น ๆ ของ # 2-SAT ซึ่งเป็น#P- ที่สมบูรณ์เนื่องจากการลดลงนี้หรือการลดอื่น ๆ

มันจะน่าสนใจถ้านอกเหนือจากการแสดง / การอ้างถึงการลดผู้คนยังสามารถอธิบายเหตุผลที่เข้าใจง่ายว่ากรณีพิเศษอาจเป็นอุปสรรคต่อวิธีการทางธรรมชาติในการนับจำนวนการมอบหมาย satsifying ได้อย่างไร ตัวอย่างเช่นแม้ว่า MONOTONE-2-SAT จะแก้ปัญหาได้เล็กน้อย (เป็นวิธีแก้ปัญหาเสมอ) แต่กรณี monotone นั้นเป็นตัวแปรที่กำหนดค่าคงที่บางครั้งจะไม่สามารถกำหนดข้อ จำกัด จำนวนมากได้ ตัวแปร การแก้ไขตัวแปรใด ๆจะ จำกัด เฉพาะค่าของตัวแปรที่เกี่ยวข้องทันทีโดยบางประโยค และการตั้งค่า$\mathbf x = 1^n$$x_j = 0$$x_j = 1$ไม่ได้ จำกัด ค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรอื่น ๆ เลย (ไม่ชัดเจนว่าข้อ จำกัด ที่เปรียบเทียบได้กับกราฟสองฝ่ายนั้นมีความสำคัญในลักษณะเดียวกันอย่างไรก็ตามข้อ จำกัด สองฝ่ายดูเหมือนว่าจะเพิ่มโครงสร้างแทนที่จะลบออก แต่ไม่สามารถเพิ่มโครงสร้างได้เพียงพอที่จะนับอย่างมีประสิทธิภาพ)

แก้ไขเพื่อเพิ่ม คะแนนโบนัสจะได้รับรางวัลสำหรับการเรียนดังกล่าวใด ๆ ที่ไม่ได้ในท้ายที่สุดต้องพึ่งพาการดำรงอยู่ของอินสแตนซ์เดียว (ตาม # 2 ฝ่าย-SAT ไม่ข้างต้นที่มีความแข็งเป็นที่เห็นได้ชัดจากการรวมของ#P -hard กรณีพิเศษ # 2 -MONOTONE-ฝ่าย-SAT) ตัวอย่างเช่นอาร์กิวเมนต์สำหรับความแข็งของ # 2-BIPARTITE-SAT ซึ่งไม่ได้ใช้อินสแตนซ์แบบโมโนโทนิก (แต่อาจต้องพึ่งพาตระกูลย่อยอื่น ๆ ) จะน่าสนใจ

# 3-Bipartite Planar Vertex Cover # P-Complete

เนื่องจากการนับจุดยอดครอบคลุมเหมือนกับการนับการมอบหมายที่น่าพอใจของอินสแตนซ์monotone # 2-SAT ผลลัพธ์ข้างต้นหมายความว่ามันเป็น # P- สมบูรณ์ในการนับความพึงพอใจที่ได้รับมอบหมายของอินสแตนซ์ # 2-SAT ซึ่งเป็นเสียงเดียวและ3-regularและฝ่ายและภาพถ่าย

นี่หมายความว่านอกเหนือจากกรณีพิเศษ # 2-MONOTONE-SAT และ # 2-BIPARTITE-SAT ที่อ้างถึงแล้วในคำถามกรณีพิเศษ # 2-CUBIC-SAT และ # 2-PLANAR-SAT สองกรณีนี้คือ # P- สมบูรณ์เช่นกัน