การแก้โปรแกรม semidefinite ในเวลาพหุนาม

เรารู้ว่าโปรแกรมเชิงเส้น (LP) สามารถแก้ไขได้อย่างแน่นอนในเวลาพหุนามโดยใช้วิธี ellipsoid หรือวิธีการจุดภายในเช่นอัลกอริทึมของ Karmarkar LPs บางตัวที่มีจำนวนตัวแปร / ข้อ จำกัด จำนวนมากสามารถอธิบายได้ในเวลาพหุนามหากเราสามารถออกแบบ oracle time แยกพหุนามสำหรับพวกเขา

โปรแกรม semidefinite (SDP) คืออะไร? SDPs ประเภทใดที่สามารถแก้ไขได้อย่างแน่นอนในเวลาพหุนาม เมื่อ SDP ไม่สามารถแก้ไขได้อย่างแม่นยำเราสามารถออกแบบ FPTAS / PTAS เพื่อแก้ไขได้หรือไม่ เงื่อนไขทางเทคนิคที่สามารถทำได้มีอะไรบ้าง เราสามารถแก้ SDP ที่มีจำนวนตัวแปร / ข้อ จำกัด ในเวลาพหุนามถ้าเราสามารถออกแบบพยากรณ์การแยกเวลาแบบพหุนามกับมันได้หรือไม่?

เราสามารถแก้ปัญหา SDP ที่เกิดขึ้นจากปัญหาการปรับแต่งแบบ Combinatorial (MAX-CUT, การระบายสีด้วยกราฟ) ได้อย่างมีประสิทธิภาพหรือไม่? หากเราสามารถแก้ไขได้เฉพาะภายใน factor จะไม่ส่งผลต่ออัลกอริทึมการประมาณค่าปัจจัยคงที่ (เช่น 0.878 สำหรับอัลกอริทึม Goemans-Williamson MAX-CUT) หรือไม่ $1+\epsilon$

การอ้างอิงที่ดีเกี่ยวกับเรื่องนี้จะได้รับการชื่นชมอย่างมาก

linear-programming semidefinite-programming convex-optimization

— Arindam Pal
แหล่งที่มา

ในความเป็นจริงวิธีการทำงานสำหรับการเขียนโปรแกรมนูนทั่วไป

— Suresh Venkat

มีเหตุผลอย่างน้อยสองประการที่คุณไม่สามารถแก้ SDP ทั่วไปในเวลาพหุนาม (1) มี SDP อยู่ซึ่งโซลูชันมีขนาดเป็นเลขชี้กำลัง (2) SDPs สามารถเข้ารหัสผลรวมของปัญหารากที่สองซึ่งไม่ทราบว่าเป็นเวลาพหุนามแก้ได้

— Robin Kothari

@RobinKothari สำหรับ SDPs โดยปกติ "แก้ไขได้ในเวลาพหุนาม" ถูกแทนที่ด้วย "รับภายใน

(เพิ่มเติม) ของ OPT ในเวลาที่ชื่อพหุนามใน " IIRC ps SDP เข้ารหัสผลรวมของสแควร์รูทอย่างไร

ϵ

$\epsilon$

1 / ϵ

$1/\epsilon$

— Suresh Venkat

@SureshVenkat: สมมติว่าเรามีเมทริกซ์ 2x2 กับรายการ [ab; cd] กำหนดว่านี่คือ semidefinite บวกและ d = 1 ซึ่งหมายความว่า b = c และ a> = b ^ 2 ดังนั้น b ถูกล้อมรอบด้วยรากที่สองของ a ตอนนี้เราสามารถเพิ่มผลรวมของ b หลาย ๆ อย่าง ค่าที่เหมาะสมจะเป็นผลรวมของสแควร์รูทของแต่ละอัน

— Robin Kothari

มันไม่ใช่การคูณ แต่เติมแต่ง นอกจากนี้en.wikipedia.org/wiki/Semidefinite_programming# อัลกอริทึม

— Suresh Venkat

วิธีการรูปไข่และวิธีการจุดภายในสามารถขยายได้เพื่อแก้ปัญหา SDP เช่นกัน คุณสามารถอ้างถึงข้อความมาตรฐานใด ๆ ใน SDP เพื่อดูรายละเอียด นี่คือหนึ่ง:

การเขียนโปรแกรม semidefinite Vandenberge และ Stephen Boyd, 1996

— Jagadish
แหล่งที่มา

อ้างอิงที่ดีจากาดิช

— Arindam Pal

การอ้างอิงที่ดีเช่นกัน! ขอบคุณ! สงสัยหรือไม่ว่าเมื่อพูดถึงอัลกอริธึมเวลาโพลิโนเมียลในการแก้ SDP, อัลกอริทึมกำลังแก้ปัญหาที่เหมาะสมที่สุดหรือไม่?

— StackExchange สำหรับ All