คำถามติดแท็ก semidefinite-programming

ฉันต้องการที่จะเข้าใจว่าตัวแก้ปัญหา SDP ของ Arora-Kale นั้นใกล้เคียงกับการผ่อนคลายของ Goemans-Williamson ในเวลาเกือบเป็นเส้นตรงอย่างไร Plotkin-Shmoys-Tardos Solver แก้ปัญหา "การบรรจุ" และ "ครอบคลุม" ในเวลาเชิงเส้นได้อย่างไร เป็นการยกตัวอย่างของกรอบนามธรรม "การเรียนรู้จากผู้เชี่ยวชาญ" วิทยานิพนธ์ของ Kale มีการนำเสนอที่ยอดเยี่ยม แต่ฉันคิดว่ามันยากมากที่จะกระโดดเข้าไปในกรอบนามธรรมโดยตรงและฉันต้องการเริ่มต้นจากตัวอย่างของปัญหาง่าย ๆ ที่เห็นได้ชัดว่าควรทำอะไรแล้วย้ายไปที่ปัญหาทั่วไปมากขึ้น เพิ่ม "ฟีเจอร์" ให้กับอัลกอริธึมและการวิเคราะห์ ตัวอย่างเช่น: Plotkin-Shmoys แก้ปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นของฝาครอบจุดสุดยอดที่ไม่ถ่วงได้อย่างไร จุดสุดยอดถ่วงน้ำหนักครอบคลุม? ตั้งฝาครอบหรือไม่ การจับคู่สองฝ่าย? ตัวอย่างที่ง่ายที่สุดที่อัลกอริทึม Arora-Kale กำลังทำสิ่งที่น่าสนใจคืออะไร มันคำนวณค่าลักษณะเฉพาะที่ใหญ่ที่สุดของ Laplacian ของกราฟได้อย่างไร (การคำนวณค่าลักษณะเฉพาะที่ใหญ่ที่สุดของ Laplacian เทียบเท่ากับปัญหาในการแก้การผ่อนคลายแบบย่อของ Goemans-Williamson SDP ของ Max Cut ซึ่งแทนที่จะต้องให้แต่ละเวกเตอร์มีความยาวหนึ่งคุณต้องการผลรวมของกำลังสอง ของบรรทัดฐานที่จะ | V |.)

34 ds.algorithms  approximation-algorithms  linear-programming  primal-dual  semidefinite-programming 

ฉันค่อนข้างสับสนกับวรรณกรรมการหาค่าเหมาะที่สุดอย่างต่อเนื่องและวรรณกรรม TCS เกี่ยวกับประเภทของโปรแกรมคณิตศาสตร์ (ต่อเนื่อง) (MPs) ที่สามารถแก้ไขได้อย่างมีประสิทธิภาพและไม่สามารถทำได้ ชุมชนการปรับให้เหมาะสมอย่างต่อเนื่องดูเหมือนจะอ้างว่าโปรแกรมนูนทุกตัวสามารถแก้ไขได้อย่างมีประสิทธิภาพ แต่ฉันเชื่อว่าคำจำกัดความของพวกเขาของ "ประสิทธิภาพ" ไม่ตรงกับข้อกำหนด TCS คำถามนี้รบกวนฉันมากในช่วงไม่กี่ปีที่ผ่านมาและฉันไม่สามารถหาคำตอบที่ชัดเจนได้ ฉันหวังว่าคุณจะสามารถช่วยฉันจัดการสิ่งนี้ครั้งเดียวและสำหรับทุกคน: สมาชิกสภาผู้แทนราษฎรประเภทใดที่สามารถแก้ไขได้อย่างแน่นอนในเวลาพหุนามและโดยวิธีการใด และสิ่งที่เป็นที่รู้จักเกี่ยวกับการประมาณทางออกที่ดีที่สุดของสมาชิกสภาผู้แทนราษฎรที่เราไม่สามารถแก้ไขได้อย่างแน่นอนในเวลาพหุนาม ด้านล่างนี้ฉันให้คำตอบที่ไม่สมบูรณ์สำหรับคำถามนี้ซึ่งอาจไม่ถูกต้องในบางสถานที่ดังนั้นฉันหวังว่าคุณจะสามารถตรวจสอบและแก้ไขฉันในจุดที่ฉันผิด มันยังระบุคำถามบางอย่างที่ฉันไม่สามารถตอบได้ เราทุกคนรู้ว่าการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นสามารถแก้ไขได้อย่างแน่นอนในเวลาพหุนามโดยใช้วิธีการทรงรีหรือวิธีการจุดภายในและจากนั้นใช้ขั้นตอนการปัดเศษบางอย่าง การเขียนโปรแกรมเชิงเส้นยังสามารถแก้ไขได้ในเวลาพหุนามในจำนวนตัวแปรเมื่อเผชิญกับครอบครัวของ LPs ที่มีข้อ จำกัด เชิงเส้นจำนวนมากเป็นพิเศษตราบใดที่เราสามารถให้ "oracle แยก" สำหรับมัน: algoritm ที่ให้จุด ทั้งกำหนดว่าจุดนั้นเป็นไปได้หรือส่งออกไฮเปอร์เพลนที่แยกจุดจากรูปหลายเหลี่ยมของจุดที่เป็นไปได้ ในทำนองเดียวกันการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นในเวลาพหุนามในจำนวนข้อ จำกัด เมื่อเผชิญกับครอบครัวของ LPs ที่มีตัวแปรจำนวนมากเป็นพิเศษหากมีวิธีการแยกอัลกอริทึมสำหรับคู่ของ LP เหล่านี้ วิธีรีนั้นยังสามารถแก้โปรแกรมสมการกำลังสองในเวลาพหุนามในกรณีที่เมทริกซ์ในฟังก์ชันวัตถุประสงค์มีค่าเป็นบวก (กึ่ง?) แน่นอน ฉันสงสัยว่าด้วยการใช้กลอุบายการแยกในบางกรณีเราสามารถทำเช่นนี้ได้หากเรากำลังเผชิญกับข้อ จำกัด จำนวนมากอย่างไม่น่าเชื่อ มันเป็นเรื่องจริงเหรอ? เมื่อเร็ว ๆ นี้การเขียนโปรแกรม semidefinite (SDP) ได้รับความนิยมอย่างมากในชุมชน TCS …

31 ds.algorithms  optimization  linear-programming  semidefinite-programming  polynomial-time 

ฉันต้องการค้นหาอัลกอริทึมเวลาพหุนามที่กำหนดว่าช่วงของชุดเมทริกซ์ที่กำหนดมีเมทริกซ์การเปลี่ยนแปลง หากมีใครรู้ว่าปัญหานี้มีระดับความซับซ้อนที่แตกต่างกันนั่นจะเป็นประโยชน์ แก้ไข: ฉันติดแท็กคำถามนี้ด้วยการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นเพราะฉันมีความสงสัยอย่างมากว่าหากวิธีการแก้ปัญหาดังกล่าวมีอยู่ก็จะเป็นขั้นตอนวิธีการเขียนโปรแกรมเชิงเส้น เหตุผลที่ฉันเชื่อว่าเป็นเพราะจุดที่สูงที่สุดของBirkhoff polytopeเป็นเมทริกซ์การเปลี่ยนรูปที่แม่นยำ หากคุณสามารถหาฟังก์ชั่นวัตถุประสงค์ที่มีการขยายหรือย่อให้เล็กสุดที่จุดยอดของ Birkhoff polytope คุณสามารถ จำกัด การทำงานของคุณกับการแยกของ polytope และพื้นที่ย่อยเวกเตอร์ของคุณจากนั้นขยายให้ใหญ่ที่สุดในเวลาพหุนาม ถ้าค่านี้เป็นเมทริกซ์การเปลี่ยนแปลงคุณจะรู้ว่าเซตนั้นมีการเปลี่ยนแปลง นี่คือความคิดของฉันในเรื่องนี้ แก้ไข 2: หลังจากคิดเพิ่มอีกดูเหมือนว่าการเปลี่ยนรูปเป็นองค์ประกอบของ Birkhoff Polytope กับ Euclidean norm , เราพิจารณา Birkhoff polytope เป็นตัวนูนของเมทริกซ์การเปลี่ยนแปลง บางทีนั่นอาจจะสำคัญ n×nn−−√n\sqrt{n}n×nn×nn \times n แก้ไข 3: ฉันเพิ่มแท็กการเขียนโปรแกรม semidefinite เพราะหลังจากความคิดเห็นก่อนหน้านี้ฉันเริ่มคิดว่าโซลูชันการเขียนโปรแกรม semidefinite อาจเป็นไปได้

30 cc.complexity-theory  linear-algebra  linear-programming  semidefinite-programming  polynomial-time 

เมื่อออกแบบอัลกอริธึมการประมาณหนึ่งบางครั้งก็แก้โปรแกรม semidefinite ตามด้วยขั้นตอนการปัดเศษ ตัวอย่างที่ใช้บ่อยเพื่อแสดงให้เห็นว่านี่คือ Max-Cut (ดูขั้นตอนวิธีการประมาณค่าเช่นโดย Vijay Vazirani) มีแหล่งข้อมูลหรือแบบสำรวจทางการศึกษาที่ดีเกินกว่าปัญหา Max-Cut หรือไม่เพื่ออธิบายอัลกอริทึมการปัดเศษที่ซับซ้อนมากขึ้นและเทคนิคที่ใช้สำหรับการวิเคราะห์ของพวกเขา? ฉันกำลังคิดถึงกรณีที่เวกเตอร์ของ SDP-solution ไม่ได้กระจายอย่างสม่ำเสมอบน hypersphere พวกมันมีความยาวต่างกันหรือมีคุณสมบัติอื่น ๆ ที่ทำให้การวิเคราะห์ยากขึ้น

22 ds.algorithms  reference-request  approximation-algorithms  semidefinite-programming  csp 

นี่คือการติดตามของคำถามที่ถามเมื่อเร็ว ๆ นี้โดย A. Pal: แก้โปรแกรม semidefinite ในเวลาพหุนาม ฉันยังสับสนกับเวลาทำงานจริงของอัลกอริทึมที่คำนวณวิธีแก้ปัญหาของโปรแกรม semidefinite (SDP) ขณะที่โรบินชี้ให้เห็นในความคิดเห็นของเขากับคำถามข้างต้น SDPs ไม่สามารถแก้ไขได้ในเวลาพหุนามโดยทั่วไป ปรากฎว่าถ้าเรากำหนด SDP ของเราอย่างระมัดระวังและเรากำหนดเงื่อนไขว่าขอบเขตที่เป็นไปได้เบื้องต้นนั้นดีเพียงใดเราสามารถใช้วิธีรี ellipsoid เพื่อให้พหุนามผูกพันกับเวลาที่ใช้ในการแก้ปัญหา SDP (ดูหัวข้อ 3.2 ใน L. Lovász, โปรแกรม Semidefinite และการเพิ่มประสิทธิภาพ combinatorial ) ขอบเขตที่ระบุมี " เวลาพหุนาม " ทั่วไปและที่นี่ฉันสนใจในขอบเขตที่หยาบน้อยกว่า แรงจูงใจมาจากการเปรียบเทียบสองอัลกอริทึมที่ใช้สำหรับปัญหาการแยกควอนตัม (ปัญหาจริงไม่เกี่ยวข้องที่นี่ดังนั้นอย่าหยุดอ่านผู้อ่านคลาสสิก!) อัลกอริทึมนั้นขึ้นอยู่กับลำดับชั้นของการทดสอบที่สามารถแปลงเป็น SDP และการทดสอบแต่ละครั้งในลำดับชั้นจะอยู่บนพื้นที่ขนาดใหญ่นั่นคือขนาดของ SDP ที่สอดคล้องกันนั้นใหญ่กว่า อัลกอริทึมสองอย่างที่ฉันต้องการเปรียบเทียบแตกต่างกันในการแลกเปลี่ยนต่อไปนี้: ในอันแรกเพื่อค้นหาโซลูชันที่คุณต้องไต่ระดับขั้นตอนเพิ่มเติมของลำดับชั้นและในขั้นตอนที่สองขั้นตอนของลำดับชั้นสูงกว่า แต่คุณต้องปีนน้อยลง ของพวกเขา. เป็นที่ชัดเจนว่าในการวิเคราะห์การแลกเปลี่ยนนี้เวลาทำงานที่แม่นยำของอัลกอริทึมที่ใช้ในการแก้ปัญหา SDP เป็นสิ่งสำคัญ การวิเคราะห์อัลกอริธึมเหล่านี้ทำโดยNavascuésและคณะ …

17 quantum-information  semidefinite-programming  analysis-of-algorithms 

เรารู้ว่าโปรแกรมเชิงเส้น (LP) สามารถแก้ไขได้อย่างแน่นอนในเวลาพหุนามโดยใช้วิธี ellipsoid หรือวิธีการจุดภายในเช่นอัลกอริทึมของ Karmarkar LPs บางตัวที่มีจำนวนตัวแปร / ข้อ จำกัด จำนวนมากสามารถอธิบายได้ในเวลาพหุนามหากเราสามารถออกแบบ oracle time แยกพหุนามสำหรับพวกเขา โปรแกรม semidefinite (SDP) คืออะไร? SDPs ประเภทใดที่สามารถแก้ไขได้อย่างแน่นอนในเวลาพหุนาม เมื่อ SDP ไม่สามารถแก้ไขได้อย่างแม่นยำเราสามารถออกแบบ FPTAS / PTAS เพื่อแก้ไขได้หรือไม่ เงื่อนไขทางเทคนิคที่สามารถทำได้มีอะไรบ้าง เราสามารถแก้ SDP ที่มีจำนวนตัวแปร / ข้อ จำกัด ในเวลาพหุนามถ้าเราสามารถออกแบบพยากรณ์การแยกเวลาแบบพหุนามกับมันได้หรือไม่? เราสามารถแก้ปัญหา SDP ที่เกิดขึ้นจากปัญหาการปรับแต่งแบบ Combinatorial (MAX-CUT, การระบายสีด้วยกราฟ) ได้อย่างมีประสิทธิภาพหรือไม่? หากเราสามารถแก้ไขได้เฉพาะภายใน factor จะไม่ส่งผลต่ออัลกอริทึมการประมาณค่าปัจจัยคงที่ (เช่น 0.878 สำหรับอัลกอริทึม Goemans-Williamson …

17 linear-programming  semidefinite-programming  convex-optimization 

ฉันไม่สามารถค้นหาลักษณะเฉพาะที่แม่นยำของการหายไปของช่องว่างระหว่างคู่ SDP ได้ หรือ "คู่ที่แข็งแกร่ง" ถือเมื่อไหร่? ตัวอย่างเช่นเมื่อมีคนไปและกลับระหว่าง Lasserre และ SOS SDP ในหลักการที่หนึ่งมีช่องว่างเป็นคู่ อย่างไรก็ตามอย่างใดดูเหมือนว่าจะมีเหตุผล "เล็กน้อย" ทำไมช่องว่างนี้ไม่ได้มี เงื่อนไขของ Slater นั้นเพียงพอ แต่ไม่จำเป็นและมันใช้กับโปรแกรมนูนทุกตัว ฉันหวังว่าสำหรับ SDP โดยเฉพาะอย่างยิ่งสิ่งที่แข็งแกร่งกว่าอาจเป็นจริง ฉันยินดีที่จะเห็นตัวอย่างชัดเจนของการใช้เงื่อนไขของ Slaterเพื่อพิสูจน์การหายตัวไปของช่องว่างคู่

10 approximation-hardness  convex-optimization  semidefinite-programming  sum-of-squares  primal-dual 

ฉันคุ้นเคยกับโปรแกรมเชิงเส้นตรงที่พวกเขาสามารถแก้ปัญหาด้วยฟังก์ชันเชิงเส้นตรงและข้อ จำกัด เชิงเส้น แต่การเขียนโปรแกรมแบบกึ่งไม่มีขีด จำกัด สามารถแก้ปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นที่ไม่สามารถ? ฉันรู้แล้วว่าโปรแกรม semidefinite นั้นเป็นลักษณะทั่วไปของโปรแกรมเชิงเส้น นอกจากนี้วิธีการที่จะรับรู้ปัญหาที่สามารถแก้ไขได้โดยใช้การเขียนโปรแกรม semidefinite? ปัญหาทั่วไปที่การเขียนโปรแกรม semidefinite ไม่สามารถแก้ไขได้ด้วยการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นคืออะไร ขอบคุณมากสำหรับการตอบสนองใด ๆ

9 linear-programming  convex-optimization  semidefinite-programming 

ฉันสงสัยว่าถ้ามีการศึกษาอย่างเป็นระบบเกี่ยวกับผลรวมของรูปสี่เหลี่ยมกำลังสองกำลังสองคล้ายกับรูปสี่เหลี่ยมกำลังสองซึ่งสะท้อนให้เห็นในทางปฏิบัติในการสลายตัวของค่าลักษณะเฉพาะ ตัวอย่างที่เกี่ยวข้องกับความสำคัญของคำถาม หลักวิเคราะห์องค์ประกอบ (PCA) รับชุดของคะแนนค้นหาชุดของแกน , ... , เขียนเป็นเมทริกซ์และการคาดการณ์ , ... ,ที่ลดความแปรปรวนที่ไม่ได้อธิบายให้น้อยที่สุดนั่นคือแก้ปัญหาการหาค่าเหมาะที่สุดของควอร์ติคต่อไปนี้xi∈Rn,i=1..kxi∈Rn,i=1..kx_i \in \mathbb{R^n}, i=1..ku1u1u_1umumu_mยู∈RnxRม.ยู∈RnxRม.U \in \mathbb{R^n x R^m}ξ1ξ1\xi_1ξk,ξ∘∈Rม.ξk,ξ∘∈Rม.\xi_k, \xi_{\circ} \in \mathbb{R^m} R กรัมm ฉันnยู1, . . ,ยูn, ξ1, . . ,ξkΣผม(ยูTξผม-xผม)2aRก.ม.ผมnยู1,..,ยูn, ξ1,..,ξk⁡Σผม(ยูTξผม-xผม)2 \mathop{argmin} \limits_{u_1,.., u_n,\ \xi_1, .., \xi_k} \sum \limits_{i} \left( U^T \xi_i - x_i \right)^2 ด้วยเวทย์มนตร์ของความสมมาตรมันมีทางออกโดยการสลายตัวของค่าเอกพจน์ ทั่วไป PCA …

9 ds.algorithms  polynomials  semidefinite-programming