ความสัมพันธ์ของทฤษฎีความไม่สมบูรณ์ของโกเดลกับวิทยานิพนธ์ทัวริงของโบสถ์

นี่อาจเป็นคำถามที่ไร้เดียงสา แต่นี่จะไป (แก้ไข - มันไม่ได้รับการโหวต แต่ไม่มีใครเสนอคำตอบบางทีอาจเป็นคำถามที่ยากคลุมเครือหรือไม่ชัดเจนกว่าที่ฉันคิด)

ทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์ครั้งแรกของGödelสามารถพิสูจน์ได้ว่าเป็นข้อพิสูจน์ถึงความลังเลของปัญหาการหยุดชะงัก (เช่น Sipser Ch. 6; บล็อกโพสต์โดย Scott Aaronson )

จากสิ่งที่ฉันเข้าใจ (ยืนยันโดยความคิดเห็น) หลักฐานนี้ไม่ได้ขึ้นอยู่กับวิทยานิพนธ์ทัวริสต์ของโบสถ์ เราได้รับความขัดแย้งโดยแสดงให้เห็นว่าในระบบที่เป็นทางการที่สมบูรณ์และสอดคล้องกันทัวริงจักรสามารถแก้ปัญหาการหยุดชะงักได้ (ในทางกลับกันเราเพิ่งแสดงให้เห็นว่ากระบวนการบางอย่างที่มีประสิทธิภาพสามารถตัดสินปัญหาการหยุดชะงักได้เราจะต้องสมมติให้วิทยานิพนธ์ของทัวริสต์ทัวริสต์ขัดแย้งกันด้วย)

ดังนั้นเราอาจพูดได้ว่าผลลัพธ์นี้ให้การสนับสนุนเล็กน้อยสำหรับวิทยานิพนธ์คริสตจักรทัวริงเพราะแสดงให้เห็นว่าข้อ จำกัด ของทัวริงแมชชีนหมายถึงข้อ จำกัด สากล (โพสต์บล็อกของ Aaronson สนับสนุนมุมมองนี้อย่างแน่นอน)

คำถามของฉันคือว่าเราจะได้สิ่งที่เป็นรูปธรรมมากขึ้นหรือไม่โดยการย้อนกลับ: ทฤษฏีของGödelเกี่ยวข้องกับการทำวิทยานิพนธ์ของทัวริงในโบสถ์ ยกตัวอย่างเช่นดูเหมือนว่าเป็นไปได้โดยสัญชาตญาณว่าทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์ครั้งแรกบ่งบอกว่าไม่มีกระบวนการที่มีประสิทธิภาพสามารถตัดสินได้ว่าทัวริงเครื่องจักรหยุดทำงานโดยพลการ เหตุผลอาจจะไปว่าการดำรงอยู่ของขั้นตอนดังกล่าวที่แสดงถึงความสามารถในการสร้างที่สมบูรณ์ทฤษฎี -consistent ถูกต้องหรือไม่ มีผลลัพธ์ตามบรรทัดเหล่านี้หรือไม่?$\omega$

(ฉันขอให้ออกจากความอยากรู้ - ฉันไม่ได้ศึกษาตรรกะด้วยตนเอง - ดังนั้นฉันจึงขออภัยถ้านี่เป็นที่รู้จักกันดีหรือไม่ใช่ระดับการวิจัยในกรณีนี้ให้พิจารณาคำขออ้างอิงนี้ขอบคุณสำหรับความคิดเห็นหรือคำตอบ !)

คำถามที่ฟังดูเกี่ยวข้อง แต่ไม่ใช่: ทฤษฎีบทของคริสตจักรและทฤษฎีความไม่สมบูรณ์ของGödel

แก้ไข: ฉันจะพยายามทำให้คำถามชัดเจนยิ่งขึ้น! ครั้งแรก - สัญชาตญาณที่ไร้เดียงสาของฉันคือความไม่สมบูรณ์ของGödelควรบ่งบอกถึงข้อ จำกัดบางอย่างเกี่ยวกับสิ่งที่เป็นหรือไม่สามารถคำนวณได้ ข้อ จำกัด เหล่านี้จะไม่มีเงื่อนไขกล่าวคือควรใช้กับการคำนวณทุกรุ่นแทนที่จะเป็นเพียงเครื่องจักรทัวริง

ดังนั้นผมสงสัยว่าถ้าเป็นกรณีนี้ (ต้องมีบางปริยายใช่ไหม?) สมมติว่าเป็นฉันอยากรู้มากที่สุดว่ามันส่งผลกระทบต่อวิทยานิพนธ์ทัวริสต์คริสตจักร - ความคิดที่ว่าสิ่งที่คำนวณได้อย่างมีประสิทธิภาพสามารถคำนวณได้โดยเครื่องทัวริง ตัวอย่างเช่นเป็นไปได้ว่าการมีอยู่ของกระบวนการที่มีประสิทธิภาพสำหรับการตัดสินใจว่าทัวริงหยุดทำงานจะขัดแย้งกับทฤษฎีความไม่สมบูรณ์ครั้งแรกหรือไม่ ผลลัพธ์นี้จะแสดงให้เห็นว่าไม่มีวิธีการคำนวณที่เป็นไปได้ใด ๆ ที่สามารถ "มีประสิทธิภาพ" ได้มากกว่าเครื่องทัวริง แต่ผลลัพธ์นี้เป็นจริงหรือไม่? ฉันมีคำถามที่คล้ายกันสองสามข้อในความคิดเห็น ฉันสนใจที่จะฟังคำตอบของคำถามเหล่านี้ตัวชี้ไปที่คำตอบในวรรณคดีคำอธิบายว่าทำไมการใช้เหตุผลทั้งหมดของฉันจึงไม่เป็นไปตามความคิดเห็น

นี่คือคำตอบทางปรัชญาที่อาจให้ความบันเทิงแก่คุณ

ทฤษฎีความไม่สมบูรณ์ของGödelนั้นเกี่ยวกับระบบเชิงคณิตศาสตร์ของ Peano เช่นนี้พวกเขาไม่ได้พูดอะไรเกี่ยวกับแบบจำลองการคำนวณอย่างน้อยก็ไม่มีการตีความบางอย่าง

เลขคณิตของ Peano แสดงให้เห็นถึงการมีอยู่ของฟังก์ชันที่ไม่สามารถคำนวณได้อย่างง่ายดาย ยกตัวอย่างเช่นเป็นทฤษฎีคลาสสิกที่แสดงออกถึงความสามารถในการพูดถึงเครื่องจักรทัวริงมันแสดงให้เห็นถึงตัวอย่างของการแยกกลางซึ่งบอกว่าทุกเครื่องทัวริงหยุดหรือวิ่งไปตลอดกาล อย่างไรก็ตามจากการทำงานของGödelด้วยความคิดที่สำคัญของการคำนวณที่เกิดขึ้นคือว่าของ(ดั้งเดิม) ฟังก์ชันเวียน ดังนั้นทฤษฎีนี้ไม่ได้เชื่อมโยงกับความสามารถในการคำนวณ แต่เป็นวิธีการพิสูจน์ที่พิสูจน์ได้

ส่วนสำคัญของทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์สามารถแสดงในรูปแบบนามธรรมโดยใช้ตรรกะการพิสูจน์ซึ่งเป็นตรรกะชนิดหนึ่ง สิ่งนี้ทำให้ทฤษฎีความไม่สมบูรณ์มีความสามารถในการบังคับใช้ที่หลากหลายนอกเหนือจากคณิตศาสตร์และการคำนวณของ Peano ทันทีที่หลักการจุดคงที่บางอย่างพอใจความไม่สมบูรณ์ก็เริ่มเข้ามาหลักการจุดคงที่เหล่านี้เป็นที่พอใจโดยทฤษฎีการคำนวณแบบดั้งเดิมซึ่งทำให้เหยื่อตกเป็นเหยื่อของความไม่สมบูรณ์ เนื่องจากประโยคที่พิสูจน์ได้และพิสูจน์หักล้างของ Peano แบบฟอร์มคณิตศาสตร์แยกออกไม่ได้ชุดทฤษฎีบทที่ไม่สมบูรณ์ของGödelสามารถเห็นได้ว่าเป็นข้อพิสูจน์ถึงปรากฏการณ์ที่ไม่สมบูรณ์ในการคำนวณ (ฉันเป็นคนคลุมเครือในเชิงปรัชญาและหัวของคุณจะเจ็บปวดถ้าคุณพยายามเข้าใจฉันในฐานะนักคณิตศาสตร์)

ผมคิดว่าเราสามารถใช้เวลาสองยืนอยู่กับวิธีการทั้งหมดนี้เกี่ยวข้องกับทางการคิดของ effectivity ( "สิ่งที่สามารถจริงจะคำนวณ"):

1. สำหรับทุกสิ่งที่เรารู้เราเป็นเพียงหุ่นยนต์ จำกัด ที่ค่อนข้างใหญ่สามารถคาดเดาซูเปอร์ฮีโร่ตัวละครที่เรียกว่า "เครื่องจักรทัวริง" ที่สามารถคำนวณด้วยตัวเลขที่ไม่มีขอบเขต (หอบ!) หากเป็นกรณีนี้Gödelเป็นเพียงผู้เล่านิทานที่ดีมาก การที่เรื่องราวของเขาแปลไปสู่ความมีประสิทธิผลนั้นเป็นเรื่องของการประยุกต์ใช้จินตนาการบางอย่างที่ไม่ถูกต้องกับความเป็นจริง

2. เนื่องจากปรากฏการณ์ความไม่สมบูรณ์เกิดขึ้นตามธรรมชาติในหลายบริบทและแน่นอนในการคิดคำนวณที่สมเหตุสมผลทั้งหมดเราจึงสรุปได้ว่าสิ่งเดียวกันจะต้องเป็นกรณีของประสิทธิผล ตัวอย่างเช่นสมมติว่าเราสามารถที่จะส่งเครื่องทัวริงลงไปในหลุมดำในการคำนวณแบบ a la เครื่องจักรโจเอล Hamkin ของอนันต์เวลาทัวริง สิ่งนี้ทำให้เรามีพลังการคำนวณอันยิ่งใหญ่ที่ออราเคิลหยุดนิ่งเป็นของเล่นสำหรับเด็กอนุบาล แต่ถึงกระนั้นโมเดลก็ตอบสนองเงื่อนไขพื้นฐานที่อนุญาตให้เราแสดงการมีอยู่ของเซตที่มองไม่เห็น และดังนั้นอีกครั้งการคำนวณไม่ได้มีประสิทธิภาพและไม่สมบูรณ์เป็นความจริงของชีวิต

ฉันต้องการที่จะเน้นความคิดเห็นของ Neelซึ่งเป็นเครื่องมือหลักสำหรับทั้งความลังเลของการหยุดชะงักและทฤษฎีความไม่สมบูรณ์ของ Godel คือ:

1. การเข้ารหัสแนวคิดเกี่ยวกับวากยสัมพันธ์เช่นบทพิสูจน์การคำนวณ ฯลฯ โดยตัวเลข / สตริงและความสัมพันธ์ / ฟังก์ชันเหนือพวกเขา;
2. ทฤษฎีบทจุดคงที่ของ Godel

การเข้ารหัสของวัตถุและแนวคิดเกี่ยวกับวากยสัมพันธ์อาจดูเหมือนชัดเจนในปัจจุบันว่าเราคุ้นเคยกับคอมพิวเตอร์ดิจิทัล แต่มันเป็นความคิดอันชาญฉลาดที่จำเป็นสำหรับคอมพิวเตอร์และซอฟต์แวร์สากล สิ่งที่จำเป็นสำหรับการพิสูจน์การมีอยู่ของเครื่องมือจำลองสากลอยู่ในเอกสารของเขา

ก็อดเดลยังแสดงให้เห็นว่าเราสามารถเป็นตัวแทนของแนวคิดเกี่ยวกับวากยสัมพันธ์เหล่านี้และโดยทั่วไปความสัมพันธ์ / ฟังก์ชันที่คำนวณได้ของ TM โดยสูตรทางคณิตศาสตร์อย่างง่าย

การพิสูจน์ความไม่สมบูรณ์ของ Godel ในระยะสั้นมีดังนี้

$T$

1. $Provable_T(x)$$T$$x$$T$
2. $G$$\lnot Provable(x)$$T \vdash G \leftrightarrow \lnot Provable_T(\ulcorner G \urcorner)$

Undecidability ของปัญหาการหยุดชะงักสำหรับ TMs ใช้ส่วนผสมที่คล้ายกัน:

1. $Halt(x)$$x$
2. $N$$N$$\lnot Halt(\langle M \rangle)$

$Halt(x)$$T$$T$$T$$T$

$T$$T$$T$

หลักฐานที่คล้ายกันมากและใช้ส่วนผสมเดียวกัน (แต่สำหรับคนที่คุ้นเคยกับ TM มากขึ้น แต่ไม่ค่อยมีเหตุผลมากนักความลังเลของปัญหาการหยุดชะงักอาจดูง่ายกว่า: ตัวอย่างเฉพาะของทฤษฎีจุดคงที่ที่ใช้ในการพิสูจน์ undecidability อาจดูง่ายกว่า ตัวอย่างของจุดคงที่ที่ใช้ในทฤษฎีบทของ Godel แม้ว่าพวกมันจะเหมือนกัน แต่ความคิดที่สำคัญคือการเข้ารหัสวัตถุและแนวคิดเกี่ยวกับวากยสัมพันธ์โดยใช้ตัวเลข / สตริงและสูตร / ฟังก์ชันเกี่ยวกับพวกมันและการใช้ทฤษฎีบทจุดคงที่)

$O$$O$$P_O(x)$$O$$O$

ป.ล. :
โปรดสังเกตว่าทฤษฎีบทของ Godel ได้รับการตีพิมพ์ในปี 2474 ในขณะที่ความไม่แน่นอนของทัวริงถูกตีพิมพ์ในปี 2479 ในช่วงเวลาของการพิมพ์กระดาษ TM ของ Godel นั้นไม่ได้กำหนดไว้และ Godel ก็ใช้แบบจำลองอื่นเทียบเท่า IIRC, Godel ไม่พอใจอย่างสมบูรณ์กับผลลัพธ์ของเขาในการตั้งเป้าหมายดั้งเดิมของโปรแกรมของ Hilbert เพราะเขาไม่มั่นใจว่าแบบจำลองการคำนวณที่เขาใช้จริง ๆ จับความคิดเชิงสัญชาตญาณของอัลกอริธึมจริง ๆ เขาพอใจหลังจากโต้แย้งปรัชญาของทัวริง แนวคิดที่ใช้งานง่ายของการคำนวณขั้นตอนวิธี ฉันคิดว่าคุณสามารถอ่านเพิ่มเติมเกี่ยวกับเรื่องนี้ได้ในผลงานที่เก็บรวบรวมของ Godel