ความแข็งของการประมาณโดยไม่มีทฤษฎีบท PCP

36

แอปพลิเคชั่นที่สำคัญของทฤษฎีบท PCP คือมันให้ผลลัพธ์ประเภท "ความแข็งของการประมาณ" ในบางกรณีที่ค่อนข้างง่ายกว่าเราสามารถพิสูจน์ความแข็งดังกล่าวได้โดยไม่ต้องใช้ PCP อย่างไรก็ตามมีกรณีใดบ้างที่ความแข็งของผลการประมาณได้รับการพิสูจน์ครั้งแรกโดยใช้ทฤษฎีบท PCP คือไม่ทราบผลมาก่อน แต่ต่อมาพบว่ามีการพิสูจน์โดยตรงมากขึ้นซึ่งไม่ได้ขึ้นอยู่กับ PCP? กล่าวอีกนัยหนึ่งมีกรณีใดบ้างที่พีซีจำเป็นต้องปรากฏก่อน แต่ภายหลังสามารถกำจัดได้หรือไม่

cc.complexity-theory approximation-hardness pcp

— Andras Farago
แหล่งที่มา

35

ตัวอย่างคือกระดาษนี้:

Guruswami, V. , & Khanna, S. (2004) ความแข็งของ 4 สีกราฟ 3 สี วารสารสยามคณิตศาสตร์ไม่ต่อเนื่อง , 18 (1): 30-40 ลิงค์

การใช้ทฤษฎีบท PCP- Khanna, Linial และ Safra (2000)พิสูจน์ว่ามันเป็นปัญหาที่ยากต่อการระบายสีกราฟ 3 สีโดยใช้เพียง 4 สี ต่อมา Guruswami & Khanna (2004) ให้สิ่งที่ดีอื่น ๆ ในการพิสูจน์ PCP ฟรีสำหรับผลลัพธ์เดียวกัน

— vb le
แหล่งที่มา

11

คุณยินดีที่จะอธิบายบทความในคำตอบของคุณแทนที่จะชี้ไปที่การเชื่อมโยงหลายมิติหรือไม่

— Niel de Beaudrap

15

สำหรับปัญหาความไม่ต่อเนื่องของรอยตัดขอบสูงสุดในกราฟกำกับกระดาษของMa & Wang (2000)ขึ้นอยู่กับปัญหาการปิดฉลากซึ่งจะขึ้นอยู่กับทฤษฎี PCP หลังจากนั้นก็พบการลดลงอย่างง่ายผ่านความแข็งของปัญหา 2-disjointpath โดยGuruswami et อัล (2003)ซึ่งให้ความแข็งที่ดีขึ้นเช่นกัน

— จันทรา Chekuri
แหล่งที่มา

แต่ความแข็ง 2-disjointpath ต้องการ PCP หรือไม่

— Suresh Venkat

3

(s_{1}, t_{1})

$(s_1,t_1)$

(s_{2}, t_{2})

$(s_2,t_2)$

G

$G$

13

มีตัวอย่างจากการนับโดยประมาณ การประมาณจำนวนการมอบหมายที่พอใจของความสัมพันธ์ NP นั้นทำได้ยากกว่าการตัดสินใจว่าการมอบหมายที่น่าพอใจนั้นมีอยู่หรือไม่ดังนั้นจึงไม่น่าแปลกใจที่เราไม่จำเป็นต้องใช้ทฤษฎีบท PCP ในการพิสูจน์ความแข็งสำหรับปัญหาดังกล่าว ถึงกระนั้นบางครั้งทฤษฎีบท PCP ก็ให้จุดเริ่มต้นที่สะดวกเช่นสำหรับบทความนี้เกี่ยวกับการนับจำนวนชุดอิสระในกราฟที่กระจัดกระจาย: http://www.dcs.ed.ac.uk/home/mrj/papers/ DFJ02.pdf ต่อมา Sly ได้พิสูจน์ผลลัพธ์ความแข็งสำหรับชุดนับอิสระโดยประมาณตามความแข็ง NP มาตรฐานของ Max-Cut: http://arxiv.org/pdf/1005.5584v1.pdf

— Dana Moshkovitz
แหล่งที่มา

1

d = 6

$d=6$

2

c

$c$

e^{c n}

$e^{cn}$

c

$c$

10

คำตอบอื่นซึ่งอยู่ในจิตวิญญาณที่แตกต่างกันค่อนข้างมากกว่าคำตอบก่อนหน้านี้เป็นกระดาษ Uri Feige นี้: ความสัมพันธ์ระหว่างเฉลี่ยกรณีความซับซ้อนและการประมาณความซับซ้อน

Uri แสดงให้เห็นว่าสมมติฐานกรณีโดยเฉลี่ยสามารถแทนที่ทฤษฎีบท PCP เพื่อพิสูจน์ความแข็งของการประมาณของปัญหาบางอย่าง อย่างไรก็ตามโปรดทราบว่าเราไม่ทราบวิธีที่จะพิสูจน์สมมติฐานโดยเฉลี่ยและเรามีหลักฐานบางอย่างที่เราจะไม่สามารถพิสูจน์ได้โดยใช้สมมติฐานความกระด้าง NP มาตรฐาน (ดูเอกสารของ Feigenbaum-Fortnow Bogdanov-Trevisan ฯลฯ )

— Dana Moshkovitz
แหล่งที่มา