อัลกอริทึมที่แน่นอนสำหรับการเขียนโปรแกรมสมการกำลังสองไม่ใช่แบบนูน

คำถามนี้เกี่ยวกับปัญหาการเขียนโปรแกรมสมการกำลังสองที่มีข้อ จำกัด ของกล่อง (box-QP) เช่นปัญหาการเพิ่มประสิทธิภาพของแบบฟอร์ม

ย่อขนาดภายใต้ . $f(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T A \mathbf{x} + \mathbf{c}^T \mathbf{x}$ $\mathbf{x} \in [0,1]^n$

ถ้าเป็นแบบกึ่งบวกแน่นอนทุกอย่างจะดีและนูนและง่ายและเราสามารถแก้ปัญหาได้ในเวลาพหุนาม $A$

ในทางกลับกันถ้าเรามีข้อ จำกัด ของการรวมเราสามารถแก้ปัญหาได้อย่างง่ายดายในเวลาด้วยกำลังดุร้าย สำหรับวัตถุประสงค์ของคำถามนี้มีความรวดเร็วพอสมควร $\mathbf{x} \in \{0,1\}^n$ $O(2^n \cdot \mathrm{poly}(n))$

แต่สิ่งที่เกี่ยวกับกรณีไม่ต่อเนื่องนูน? อัลกอริทึมที่รู้จักกันเร็วที่สุดสำหรับ box-QP ทั่วไปคืออะไร

ตัวอย่างเช่นเราสามารถแก้ปัญหาเหล่านี้ได้ในเวลาที่อธิบายอย่างพอสมควรเช่นหรือมีความซับซ้อนที่สุดของอัลกอริทึมที่รู้จักกันดีที่สุด $O(3^n \cdot \mathrm{poly}(n))$

พื้นหลัง:ฉันมีบางกล่อง QPS ค่อนข้างเล็กที่ฉันอยากจะจริงเหมือนที่จะแก้ปัญหาและฉันเป็นบิตแปลกใจที่เห็นว่าไม่ดีบางแพคเกจซอฟต์แวร์เชิงพาณิชย์ดำเนินการแม้สำหรับค่าขนาดเล็กมากของnฉันเริ่มสงสัยว่ามีคำอธิบาย TCS สำหรับการสังเกตนี้หรือไม่ $n$

ds.algorithms optimization exp-time-algorithms

— Jukka Suomela
แหล่งที่มา

คุณสามารถแก้ได้อย่างแม่นยำแม้กระทั่งสำหรับ PSD ? วิธีแก้ปัญหาอาจไม่ลงตัวหรือไม่? หากคุณเต็มใจที่จะสูญเสียสารเติมแต่งบางทีเราอาจได้อัลกอริธึมเวลาแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลด้วยการค้นหาแรงเดรัจฉานเหนือกริดที่ดีพอ เพียงข้อเสนอแนะที่คลุมเครือ

A

$A$

ϵ

$\epsilon$

— จันทรา Chekuri

ข้อเสียคือ "ฐาน" ของเลขชี้กำลังจะเป็นอะไรเช่นแต่บางทีวิศวกรรมกริดที่ฉลาดสามารถช่วยให้ "เล็ก"

1 / ϵ

$1/\epsilon$

n

$n$

— Suresh Venkat

@ChandraChekuri: ประการเป็นอย่างดีดีถ้าคุณจะประสบความสำเร็จเช่น9} อย่างไรก็ตามการบังคับใช้เดรัจฉานเหนือกริดดังกล่าวนั้นไม่สามารถทำได้

ϵ = 10^{- 9}

$\epsilon = 10^{-9}$

— Jukka Suomela

โดยการกำจัดปริมาณในสนามปิดจริงมันเป็นไปได้เสมอที่จะแก้ปัญหาระบบเหล่านี้อย่างแน่นอน

หากอนุญาตให้

คุณสามารถปรับฟังก์ชั่นในแต่ละหน้าของคิวบ์ได้เพียงแค่เขียนเกณฑ์การปรับให้เหมาะสมอันดับแรก

O (3^{n})

$O(3^n)$

— Yoshio Okamoto

ทางออกที่ดีที่สุดอยู่ที่ใบหน้า ดังนั้นเราสามารถผ่านใบหน้าทั้งหมดของคิวบ์และค้นหาจุดนิ่งทั้งหมดบนแต่ละใบหน้า

นี่คือขั้นตอนที่เป็นรูปธรรมมากขึ้น ใบหน้าของลูกบาศก์ที่สามารถโดดเด่นด้วยสองชุดดัชนีเคลื่อนและ 1สำหรับเราแก้ไขและสำหรับแก้ไขเรา 1Let ประกอบด้วยรายการที่ไม่เจาะจงที่เหลืออยู่ของxการแก้ไขนี้จะเปลี่ยนฟังก์ชั่นวัตถุประสงค์เป็นแบบฟอร์มต่อไปนี้: $I_0$ $I_1$ $i \in I_0$ $x_i = 0$ $i \in I_1$ $x_i = 1$ $\tilde{x}$ $x$

{\tilde{x}}^{⊤} \tilde{A} \tilde{x} + {\tilde{c}}^{⊤} \tilde{x} + d,

$\tilde{x}^{\top} \tilde{A} \tilde{x} + \tilde{c}^{\top} \tilde{x} + d,$

ที่มีความเหมาะสมและและคงบางและเราต้องการที่จะหาจุดหยุดนิ่งของฟังก์ชั่นนี้อยู่ภายใต้เงื่อนไขที่ว่า 1 $\tilde{A}$ $\tilde{c}$ $d$ $0 < \tilde{x} < 1$

ด้วยเหตุนี้เราจึงนำความแตกต่างของฟังก์ชันวัตถุประสงค์มาใช้

\frac{1}{2} \tilde{A} \tilde{x} + \tilde{c} = 0.

$\frac{1}{2} \tilde{A} \tilde{x} + \tilde{c} = 0.$

การแก้สมการเชิงเส้นของระบบนี้จะช่วยให้คุณได้คะแนนคงที่ผู้สมัครสำหรับการแก้ปัญหาที่ดีที่สุด เราผ่านการตรวจสอบสภาพและเลือกสิ่งที่มีค่าวัตถุประสงค์ขั้นต่ำ

$O(3^n \text{poly}(n))$ $n$ $3^n$ $n$

— โยชิโอะโอกาโมโตะ
แหล่งที่มา

f

$f$

@ โคดี้: นั่นเป็นเพราะโพลีท็อปทุกอันเป็นส่วนที่แยกออกจากกัน

— โยชิโอะโอคาโมโตะ

f

$f$

@ โคดี้: คุณสมบัติยังคงอยู่ แต่เราจำเป็นต้องแก้สมการพีชคณิตของระดับมากกว่าหนึ่ง ฉันกลัวว่านี่จะไม่สำคัญสำหรับคดีหลายตัวแปร

— โยชิโอะโอคาโมโตะ