ผลลัพธ์ที่ซับซ้อนสำหรับฟังก์ชั่นวนซ้ำระดับล่าง?

ด้วยความสนใจจากคำถามที่น่าสนใจของ Chris Pressey เกี่ยวกับฟังก์ชั่นการเรียกซ้ำพื้นฐานฉันกำลังสำรวจมากขึ้นและไม่สามารถหาคำตอบสำหรับคำถามนี้ทางเว็บได้

recursive ฟังก์ชันประถมศึกษาตรงตามลักษณะอย่างสวยงามเพื่อลำดับชี้แจง$\text{DTIME}(2^n) \cup \text{DTIME}(2^{2^n}) \cup \cdots$.

ดูเหมือนว่าตรงไปตรงมาจากคำจำกัดความที่ว่าปัญหาการตัดสินใจที่สามารถตัดสินใจได้ (คำ?) โดยฟังก์ชั่นที่ต่ำกว่าควรมีอยู่ใน EXP และในความเป็นจริงใน DTIME$(2^{O(n)})$; ฟังก์ชั่นเหล่านี้ยังถูก จำกัด ด้วยสตริงเอาต์พุตแบบเส้นตรงในความยาวอินพุต [1]

แต่ในทางกลับกันฉันไม่เห็นขอบเขตที่ต่ำกว่าอย่างชัดเจน ดูเหมือนว่าเป็นไปได้ว่า LOWER-ELEMENTARY สามารถบรรจุ NP อย่างเข้มงวดหรืออาจล้มเหลวในการบรรจุปัญหาใน P หรืออาจเป็นไปได้ที่ฉันยังไม่ได้จินตนาการ มันจะเจ๋งมากถ้า LOWER-ELEMENTARY = NP แต่ฉันคิดว่ามันมากเกินไปที่จะขอ

ดังนั้นคำถามของฉัน:

1. ความเข้าใจของฉันถูกต้องหรือไม่
2. สิ่งที่เป็นที่รู้จักกันในชั้นเรียนที่ซับซ้อนล้อมรอบฟังก์ชั่นการเรียกซ้ำขั้นต้นที่ต่ำกว่า?
3. (โบนัส) เรามีการจำแนกลักษณะระดับความซับซ้อนที่ดีเมื่อทำการ จำกัด เพิ่มเติมเกี่ยวกับฟังก์ชันแบบเรียกซ้ำหรือไม่? ฉันกำลังคิดโดยเฉพาะข้อ จำกัด$\log(x)$ข้อสรุปมากมายซึ่งฉันคิดว่าทำงานในเวลาพหุนามและสร้างผลลัพธ์เชิงเส้น หรือการสรุปที่มีขอบเขต จำกัด ซึ่งฉันคิดว่าวิ่งในเวลาพหุนามและสร้างความยาวสูงสุด$n + O(1)$.

[1]: เราสามารถแสดง (ฉันเชื่อ) ว่าฟังก์ชั่นระดับต้น ๆ อยู่ภายใต้ข้อ จำกัด เหล่านี้โดยการเหนี่ยวนำเชิงโครงสร้างโดยสมมติว่าฟังก์ชัน $h,g_1,\dots,g_m$ มีความซับซ้อน $2^{O(n)}$ และเอาท์พุทของ bitlength $O(n)$ บนอินพุตของความยาว $n$. เมื่อไหร่$f(x) = h(g_1(x),\dots,g_m(x))$ให้ $n := \log x$แต่ละคน $g$ มีเอาต์พุตของความยาว $O(n)$ดังนั้น $h$ มี $O(n)$อินพุตยาว (และดังนั้น $O(n)$เอาท์พุทความยาว); ความซับซ้อนของการคำนวณทั้งหมด$g$s คือ $m2^{O(n)}$ และจาก $h$ คือ $2^{O(n)}$ดังนั้น $f$ มีความซับซ้อน $2^{O(n)}$ และเอาท์พุทของความยาว $O(n)$ ตามที่อ้างสิทธิ์

เมื่อไหร่ $f(x) = \sum_{i=1}^x g(x)$, $g$s มีความยาวผลลัพธ์ $O(n)$ดังนั้นค่าของผลรวมของเอาต์พุตคือ $2^n 2^{O(n)} \in 2^{O(n)}$ดังนั้นผลรวมของพวกเขาจึงมีความยาว $O(n)$. ความซับซ้อนของการรวมค่าเหล่านี้ถูก จำกัด ด้วย$2^n$ (จำนวนของการรวม) ครั้ง $O(n)$ (ความซับซ้อนของการเติมแต่ละครั้ง) การให้ $2^{O(n)}$และความซับซ้อนของการคำนวณผลลัพธ์ที่ถูกล้อมรอบด้วย $2^{n}$ (จำนวนการคำนวณ) ครั้ง $2^{O(n)}$ (ความซับซ้อนของแต่ละคน) ให้ $2^{O(n)}$. ดังนั้น$f$ มีความซับซ้อน $2^{O(n)}$ และเอาท์พุทของความยาว $O(n)$ ตามที่อ้างสิทธิ์

เกี่ยวกับ (โบนัส) คำถามที่ 3: ฟังก์ชั่นที่นิยามได้ในชุดตัวแปรด้วย $\log(x)$ผลรวมที่มุ่งหวังทั้งหมดอยู่ในชุดระดับความซับซ้อน $\mathsf{TC}^0$. สิ่งนี้เกิดจากการก่อสร้างในChandra, Stockmeyer และ Vishkin "การลดความลึกคงที่", SIAM J. Comput 13 (1984)แสดงให้เห็นว่าผลรวมของ$n$ ตัวเลขของ $n$ บิตแต่ละอันสามารถคำนวณได้โดยวงจรความลึกคงที่ขนาด poynomial ที่มีประตูเสียงส่วนใหญ่

ด้วยผลรวมของขอบเขตคงที่คุณจะได้รับคลาสย่อยของชุด $\mathsf{AC}^0$. ผลรวมของขอบเขตคงที่สามารถลดลงเพื่อเพิ่มและจัดองค์ประกอบและนอกจากนี้สามารถคำนวณได้โดยวงจรบูลีนความลึกคงที่โดยใช้วิธีการพกพา

1. "ฟังก์ชันระดับต้นที่ต่ำกว่าเป็นEXP " ถูกต้อง พวกเขาอยู่ในความเป็นจริงในDPSPACE ( n ); เช่นสามารถเห็นได้จากการเหนี่ยวนำโครงสร้าง

2. มันแสดงให้เห็นที่นี่ [1] Boolean ที่น่าพอใจ SAT อยู่ในระดับต่ำสุด E ₀ของ Grzegorczyk Hierarchy ที่ล้อมรอบด้วยการเรียกซ้ำแบบ จำกัด ขอบเขต

[1] Cristian Grozea: NP ภาคีคำนวณได้ในระดับที่อ่อนแอที่สุดของ Grzegorczyck (sic!) ลำดับขั้น วารสาร Automata, ภาษาและ Combinatorics 9 (2/3) : 269-279 (2004)

ความคิดพื้นฐานคือการเข้ารหัสสูตรที่กำหนดระยะเวลาในไบนารีn เป็นจำนวนเต็มNมูลค่าประมาณชี้แจงในn ; แล้วแสดงการดำรงอยู่ของการมอบหมายที่น่าพอใจในแง่ของปริมาณที่ล้อมรอบด้วยNกล่าว (มากกว่าn )

วิธีการนี้ดูเหมือนว่าจะดำเนินการผ่านจากE ₀ถึงระดับประถมศึกษาตอนล่าง
(และเพื่อพูดคุยจาก SAT ถึง QBF _k สำหรับการสุ่ม แต่คงที่k )

มันไม่ได้หมายความถึงE ₀จะมีการขึ้นเครื่องหมาย NP (หรือแม้กระทั่งPสำหรับเรื่องที่) แต่เนื่องจากการคำนวณ polytime เป็นที่รู้จักกันที่จะออกจากE 2