ออโตมอร์ฟิซึมในอุปกรณ์ของ Cai-Furer-Immerman

ในตัวอย่างตัวนับที่โด่งดังเกี่ยวกับกราฟมอร์ฟิซึมผ่านวิธี Weisfeiler-Lehman (WL) แกดเจ็ตต่อไปนี้สร้างขึ้นในบทความนี้โดย Cai, Furer และ Immerman พวกเขาสร้างกราฟกำหนดโดย $X_k = (V_k, E_k)$

$V_k = A_k \cup B_k \cup M_k \\ \text{ where } \\ \quad A_k = \{a_i \mid 1 \leq i \leq k\}, \\ \quad B_k =\{b_i \mid 1 \leq i \leq k\}, \mbox{ and } \\ \quad M_k = \{ m_S \mid S \subseteq \{1,2,\ldots, k\},\ |S| \text{ is even} \}\\ E_k =\{(m_S,a_i) \mid i \in S\} \cup \{(m_S, b_i)\mid i \notin S\}$

หนึ่งใน lemmas ในกระดาษ (แทรก 3.1 หน้า 6) ระบุว่าถ้าเราสีจุดและที่มีสีแล้ว (สีจะต้องมีการเก็บรักษาไว้โดย automorphism) โดยที่แต่ละ automorphism สอดคล้องกับการสับเปลี่ยนและสำหรับแต่ละในส่วนย่อยบางของ $a_i$ $b_i$ $i$ $|Aut(X_k)| = 2^{k-1}$ $a_i$ $b_i$ $i$ $S$ $\{1,2,\ldots, k\}$ ของแม้กระทั่งความสำคัญเชิงหัวใจ พวกเขาบอกว่าการพิสูจน์ได้ทันที แต่ผมไม่เห็นว่าแม้ในกรณีของ 2ในเป็นขอบ แต่ถ้าเรามี automorphism ซึ่งแลกเปลี่ยนและขอบข้างต้นได้รับการเปลี่ยน $k= 2$ $X_2 \ (a_1, m_{\{1,2\}})$ $a_1, b_1$ $a_2, b_2$ $(b_1, m_{\{1,2\}})$ ซึ่งไม่ได้เป็นขอบ ดังนั้นไม่ควรเป็นออโตฟิซึม

ฉันต้องการที่จะเข้าใจสิ่งที่เป็นความเข้าใจผิดของฉัน

— DurgaDatta
แหล่งที่มา

คุณกำลังขาดหายไป emptyset ที่เชื่อมต่อกับทุก 's จะได้รับการ automorphism คุณเลือกเซตแม้แต่ cardinality แล้ว swaps กับสำหรับแต่ละแล้วปรับชุดที่อยู่ตรงกลาง ในตัวอย่างของกราฟ $\emptyset$ $b$ $T\subseteq \{1,...,k\}$ $a_i$ $b_i$ $i\in T$

(a_{1}, {12}), (a_{2}, {12}), (b_{1}, \emptyset), (b_{2}, \emptyset) .

$(a_1,\{12\}),(a_2,\{12\}),(b_1,\emptyset),(b_2,\emptyset).$

ยังคงอยู่ในตัวอย่างของคุณถ้าคุณไม่จำเป็นต้องทำอะไรและถ้า automorphism จะได้รับโดยการแลกเปลี่ยนกับ , กับและกับ . $T=\emptyset$ $T=\{1,2\}$ $a_1$ $b_1$ $a_2$ $b_2$ $\{1,2\}$ $\emptyset$

สำหรับกรณีทั่วไปเราต้องแสดงให้เห็นว่ามีวิธีการปรับจุดยอดกลางอยู่เสมอ เรารู้ว่านั้นมีความสำคัญต่อหัวใจ ดังนั้นขอ Rเราเพียงแค่ต้องแสดงให้เห็นว่ามีออโต้มอร์ฟิซึ่มส์อยู่ถ้าตั้งแต่มิฉะนั้นเราสามารถใช้องค์ประกอบของ automorphisms สอดคล้องกับการแบ่งพาร์ทิชันเข้าย่อยของขนาด2ดังนั้นถือว่า }จากนั้น automorphism swaps ด้วย $T$ $|T|=2r$ $|T|=2$ $r$ $T$ $r$ $2$ $T=\{i,j\}$ $a_i$ , กับแต่ละจุดสุดยอดกลางดังกล่าวว่ากับจุดสุดยอดกลาง (นี้สามารถมองเห็นในตัวอย่างของคุณ) และแต่ละเซตดังกล่าว นั่นคือกับเซตย่อยเช่นนั้น $b_i$ $a_j$ $b_j$ $S$ $S\cap\{i,j\}=\emptyset$ $S\cup \{i,j\}$ $S$ $S\cap \{i,j\}=\{i\}$ (สิ่งนี้คุณสามารถเห็น ) แจ้งให้ทราบว่าขั้นตอนการแลกเปลี่ยนนี้เป็น automorphism ตั้งแต่ดัชนีความสัมพันธ์ขอบระหว่าง ,และจุดเปลี่ยนเหล่านี้ถูกเก็บรักษาไว้อย่างสมบูรณ์ชัดเจนและความสัมพันธ์ขอบระหว่างถูกปรับอย่างเหมาะสม $S\cap \{i,j\}= \{j\}$ $k=3$ $p\neq \{i,j\}$ $a_p$ $b_p$ $a_i,a_j,b_i,b_j$

ในที่สุดเพื่อดูว่าสิ่งเหล่านี้เป็นออโตฟิวชั่นที่เป็นไปได้เพียงอย่างเดียวสังเกตว่าแต่ละมีสีด้วยสีของมันเอง ดังนั้นจึงไม่สามารถจับคู่อีกคู่ได้ นอกจากนี้ยังแจ้งให้ทราบว่ามันเป็นไปไม่ได้ที่จะมี automorphism ที่แมยอดกลางถึงจุดสุดยอดตรงกลางโดยไม่ต้องแลกเปลี่ยนบางกับบางญ $a_i,b_i$ $a_j,b_j$ $a_i$ $b_j$ $\square$

— Mateus de Oliveira Oliveira
แหล่งที่มา

โดยทั่วไปแล้วเราจะแสดงให้เห็นได้อย่างไรว่าเราสามารถปรับฉากที่อยู่ตรงกลางและได้รับออโตมอร์ฟิซึมที่ต้องการได้อย่างไร แก่นแท้ของปัญหาของฉันก็คือ

— DurgaDatta

สวัสดีฉันเพิ่มการก่อสร้างออโต้มอร์ฟิซึ่มส์ หวังว่ามันจะช่วย

— Mateus de Oliveira Oliveira

ขอบคุณ. นี่ไม่ได้ดู "ทันที" สำหรับฉัน ฉันยังใหม่กับการวิจัย นี่เป็นสัญญาณที่ไม่ดีสำหรับฉัน

— DurgaDatta

"นี่เป็นสัญญาณที่ไม่ดีสำหรับฉัน" ไม่ได้อย่างแน่นอน. ฉันคิดว่าตรงกันข้ามกับความสงสัยของคุณเป็นสัญญาณที่ดีมาก บางวันสิ่งต่าง ๆ เช่นนี้อาจจะส่งผลให้คุณทันที :)

— Mateus de Oliveira Oliveira

T

$T$

i \in T

$i \in T$

a_{i}

$a_i$

b_{i}

$b_i$

S

$S$

S Δ T

$S \Delta T$