มี NPI อยู่ใน P / poly หรือไม่

มันถูกสันนิษฐานว่า$\mathsf{NP} \nsubseteq \mathsf{P}/\text{poly}$ตั้งแต่การสนทนาจะบ่งบอก$\mathsf{PH} = \Sigma_2$ 2 ทฤษฎีบทของ Ladner ยืนยันว่าถ้าแล้ว . อย่างไรก็ตามหลักฐานไม่ได้พูดถึงดังนั้นความเป็นไปได้นั่นคือ\ mathsf {NP} \ดูเหมือนเซตย่อย \ mathsf {NPC} \ cup \ mathsf {P} / \ text {poly}P ≠ N P N P ฉัน : = N P ∖ ( N P C ∪ P ) ≠ ∅ P /โพลีN P ฉัน ⊂ P /โพลีN P ⊂ N P C ∪ P /$\mathsf{P} \ne \mathsf{NP}$$\mathsf{NPI} := \mathsf{NP} \setminus(\mathsf{NPC} \cup \mathsf{P}) \ne \emptyset$$\mathsf{P}/\text{poly}$$\mathsf{NPI} \subset \mathsf{P}/\text{poly}$$\mathsf{NP} \subset \mathsf{NPC} \cup \mathsf{P}/\text{poly}$

สมมติว่า (หรือแม้กระทั่งว่าลำดับชั้นพหุนามไม่ยุบในระดับใด) คือทราบว่าเป็นจริงหรือเท็จ? มีหลักฐานอะไรบ้างที่สามารถนำมาใช้และต่อต้านได้?N P ⊈ P /โพลีN P I ⊂ P /$\mathsf{NP} \nsubseteq \mathsf{P}/\text{poly}$$\mathsf{NPI} \subset \mathsf{P}/\text{poly}$

นี่เป็นทางเลือกที่เป็นไปได้ในการโต้แย้งการขยายโดยยึดตามลักษณะทั่วไปของSchöningในทฤษฎีบทของ Ladner เพื่อให้เข้าใจถึงข้อโต้แย้งคุณจะต้องเข้าถึงเอกสารนี้ (ซึ่งน่าเสียดายที่จะต้องอยู่เบื้องหลังการจ่ายเงินให้กับหลาย ๆ คน):

Uwe Schöning วิธีการที่เหมือนกันเพื่อให้ได้เส้นทแยงมุมในคลาสที่ซับซ้อน วิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์เชิงทฤษฎี 18 (1): 95-103, 1982

เราจะใช้ทฤษฎีบทหลักจากบทความนั้นสำหรับA 1และA 2เป็นภาษาและC 1และC 2เป็นคลาสที่ซับซ้อนดังต่อไปนี้:$A_1$$A_2$$\mathsf{C}_1$$\mathsf{C}_2$

• A 1 = ∅ (หรือภาษาใด ๆ ใน P )$A_1 = \varnothing$$\mathsf{P}$
• $A_2 = \text{SAT}$
• $\mathsf{C}_1 = \mathsf{NPC}$
• $\mathsf{C}_2 = \mathsf{NP} \cap \mathsf{P/poly}$

เพราะความชัดเจนในความเป็นจริงที่เราจะพิสูจน์เป็นN P ⊈ P / P o L YหมายถึงN P ฉัน ⊈ P / P o L Y$\mathsf{NP} \not\subseteq \mathsf{P/poly}$$\mathsf{NPI} \not\subseteq \mathsf{P/poly}$

ภายใต้สมมติฐานว่าN P ⊈ P / P o L Yเรามี1 ∉ C 1และ2 ∉ C 2 เป็นที่ชัดเจนว่าC 1และC 2ถูกปิดภายใต้การเปลี่ยนแปลงที่แน่นอน กระดาษของSchöningมีหลักฐานว่าC 1สามารถแสดงซ้ำได้ (คำจำกัดความที่แม่นยำซึ่งสามารถพบได้ในกระดาษ) และส่วนที่ยากที่สุดของการโต้แย้งคือการพิสูจน์ว่าC 2สามารถแสดงซ้ำได้$\mathsf{NP} \not\subseteq \mathsf{P/poly}$$A_1\not\in\mathsf{C}_1$$A_2\not\in\mathsf{C}_2$$\mathsf{C}_1$$\mathsf{C}_2$$\mathsf{C}_1$$\mathsf{C}_2$

ภายใต้สมมติฐานเหล่านี้ทฤษฎีบทแสดงว่ามีภาษาAที่ไม่มีในC 1หรือC 2 ; และให้ที่1 ∈ Pก็ถือได้ว่าเป็นคาร์พ-ออกซิเจน2และดังนั้นจึง∈ N P ระบุว่าAอยู่ในN Pแต่ไม่ใช่ทั้งN P - สมบูรณ์หรือในN P ∩ P / p o l yจึงเป็นไปตามนั้นN $A$$\mathsf{C}_1$$\mathsf{C}_2$$A_1\in\mathsf{P}$$A$$A_2$$A\in\mathsf{NP}$$A$$\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{NP} \cap \mathsf{P/poly}$ฉัน ⊈ P / P o L Y$\mathsf{NPI} \not\subseteq \mathsf{P/poly}$

มันยังคงพิสูจน์ได้ว่าN P ∩ P / p o l yสามารถแสดงซ้ำได้ โดยทั่วไปนี่หมายความว่ามีคำอธิบายที่ชัดเจนเกี่ยวกับลำดับของเครื่องจักรทัวริงที่กำหนดขึ้นได้M 1 , M 2 , …ที่หยุดทั้งหมดในอินพุตทั้งหมดและเป็นเช่นนั้นN P ∩ P / p o l y = { L ( M k ) : k = 1 , 2 , … $\mathsf{NP} \cap \mathsf{P/poly}$$M_1, M_2, \ldots$$\mathsf{NP} \cap \mathsf{P/poly} = \{L(M_k):k=1,2,\ldots\}$. หากมีข้อผิดพลาดในข้อโต้แย้งของฉันอาจเป็นที่นี่และถ้าคุณจำเป็นต้องใช้ผลลัพธ์นี้จริงๆคุณจะต้องทำอย่างระมัดระวัง อย่างไรก็ตามโดยการประกบกันกับเครื่องทัวริโนไทม์ nondeterministic ทัวริลเวลา (ซึ่งสามารถจำลองแบบไม่แน่นอนได้เพราะเราไม่สนใจเวลาวิ่งของแต่ละM k ) และพหุนามทั้งหมดแทนขอบเขตบนขนาดของวงจรบูลีน ฉันเชื่อว่าภาษาไม่ยากที่จะได้รับการแจงนับ ในสาระสำคัญแต่ละM kสามารถทดสอบว่า NTM เวลาพหุนามที่สอดคล้องกันเห็นด้วยกับตระกูลของพหุนามขนาดบางส่วนจนถึงความยาวของสตริงอินพุตที่ได้จากการค้นหาวงจรบูลีนที่เป็นไปได้ทั้งหมด หากมีข้อตกลงM $M_k$$M_k$$M_k$ เอาท์พุทเป็น NTM จะมิฉะนั้นจะปฏิเสธ (และเป็นผลให้แสดงถึงภาษาที่ จำกัด )

สัญชาตญาณพื้นฐานที่อยู่เบื้องหลังการโต้แย้ง (ซึ่งถูกซ่อนอยู่ภายในผลลัพธ์ของSchöning) คือคุณไม่สามารถมีคลาสความซับซ้อน "ดี" สองอย่าง (กล่าวคือคลาสที่มีการนำเสนอแบบเรียกซ้ำ) ถูกแยกจากกันและนั่งเรียงกัน "โทโพโลยี" ของคลาสที่ซับซ้อนไม่อนุญาต: คุณสามารถสร้างภาษาได้อย่างถูกต้องระหว่างสองคลาสโดยสลับระหว่างสองภาษาเพื่อยืดความยาวอินพุตที่ยาวมาก ทฤษฎีบทของ Ladner แสดงสิ่งนี้สำหรับPและN P Cและลักษณะทั่วไปของSchöningช่วยให้คุณสามารถทำเช่นเดียวกันสำหรับชั้นเรียนอื่น ๆ อีกมากมาย$\mathsf{P}$$\mathsf{NPC}$

ฉันแค่อยากจะเขียนอาร์กิวเมนต์การเติมบางรุ่นตามที่อธิบายไว้ในความคิดเห็น ฉันไม่เห็นว่าทำไมต้องมีช่องว่าง เราต้องการแสดงให้เห็นว่าถ้า NP ไม่ได้อยู่ใน P / โพลีแล้วมีปัญหาระดับกลางที่ไม่ได้อยู่ใน P / โพลี

There is an unbounded function $f$ such that SAT does not have circuits of size less than $n^{f(n)}$, and so there is a function $g$ that is unbounded, increasing, and $g(n)=o(f(n))$. Let SAT' denote the language obtained by padding SAT strings of length $n$ to $n^{g(n)}$. Then:

• SAT' is in NP (see below!)
• SAT 'ไม่ได้อยู่ใน P / โพลี: รับวงจรขนาดn kสำหรับ SAT' เราได้รับวงจรขนาดn กรัม( n ) kสำหรับ SAT แต่นี้เป็นน้อยกว่าn F ( n )สำหรับบางn$n^k$$n^{g(n)k}$$n^{f(n)}$$n$
• ไม่มีการลด P / โพลีจาก SAT เป็น SAT ': สมมติว่ามีความขัดแย้งว่ามีวงจรC nของขนาดn kสำหรับ SAT ทำให้ประตูของ SAT เลือกN ที่มีขนาดใหญ่พอที่g ( $C_n$$n^k$$N$$g(\sqrt{N}) > 2k$ and let $n>N$. Each SAT' gate in $C_n$ has at most $n^k$ inputs. By removing the padding inputs we can trim the SAT' gates in $C_n$ to a SAT gate with less than $\sqrt{n}$ inputs, which we can simulate using $C_{\sqrt{n}}$ - the resulting SAT' gates have at most $n^{k/2}$ inputs. Repeating this and treating $C_N$ by hand, SAT would have circuits of about size $O(n^k n^{k/2} n^{k/4} \dots) \approx O(n^{2k})$ which is less than $n^{f(n)}$ for some $n$.

Edit:

The choice of $g$ is slightly fiddly. If you are happy putting SAT' in the promise version of NP, this bit is unnecessary.

Define $f(n)$ to be the maximum integer such that there is no circuit of size $n^{f(n)}$ for length $n$ strings for SAT. Define $g(n)$ by an algorithm that calculates $f(m)$ for $m=1,2,\dots$ and stops after time $n$ or when $m=n$, and returns the floor of the square root of the highest value found in this time. So $g(n)$ is unbounded and $\liminf g(n)/f(n)=0$ and $g(n)$ can be computed in time $n$. Now note that the above arguments only rely on SAT having no circuits of size $n^{f(n)}$ for infinitely many $n$.

I'd also find it interesting to see a proof by blowing holes in SAT as in http://blog.computationalcomplexity.org/media/ladner.pdf. Without the NP requirement this is fairly easy: there is a sequence $n_1<n_2<\dots$ such that no circuit os size $(n_k)^k$ detects SAT strings of length $n$; restrict SAT to strings of length $n_{2^{2^i}}$ for some $i$.

(NPI $\nsubseteq$ P/poly) $\implies$ (P$\neq$NP)