โครงสร้างในการพิสูจน์ตามธรรมชาติและความซับซ้อนทางเรขาคณิต

เมื่อเร็ว ๆ นี้ไรอัน Willams พิสูจน์ให้เห็นว่า Constructivity ในหลักฐานธรรมชาติหลีกเลี่ยงไม่ได้ที่จะได้รับการแยกของชั้นเรียนซับซ้อน: $\mathsf{NEXP}$และ$\mathsf{TC}^{0}$ 0

Constructivity in Natural Proof เป็นเงื่อนไขที่พิสูจน์ combinatorial ทั้งหมดในความซับซ้อนของวงจรและเราสามารถตัดสินใจได้ว่าฟังก์ชันเป้าหมายใน$\mathsf{NEXP}$ (หรือคลาสที่ซับซ้อน "ยาก") มีคุณสมบัติ "ยาก" โดยอัลกอริทึมที่ทำงานใน เวลาโพลีในระยะเวลาของตารางความจริงของฟังก์ชันเป้าหมาย

อีกสองเงื่อนไขคือ: เงื่อนไขที่ไร้ประโยชน์ที่ต้องการคุณสมบัติ "hard" ไม่สามารถคำนวณได้โดยวงจรใด ๆ ใน$\mathsf{TC}^0$และเงื่อนไขความใหญ่โตที่หาได้ยาก

คำถามของฉันคือ:

ไม่ผลนี้ทำให้ทางเรขาคณิตซับซ้อนทฤษฎี (GCT) ไม่สามารถใช้งานในการแก้ไขปัญหาการแยกหลักเช่น$\mathsf{P}$ VS $\mathsf{NP}$ , $\mathsf{P}$ VS $\mathsf{NC}$หรือ$\mathsf{NEXP}$ VS $\mathsf{TC}^0$ ?

อ้างอิง:

• Ryan Williams " หลักฐานธรรมชาติกับการสุ่มตัวอย่าง "

ไม่มีความไม่สามารถหลีกได้ของ constructivity แน่นอนยังคงใบ GCT เปิดเป็นแผนปฏิบัติของการโจมตีเกี่ยวกับปัญหาที่ถูกผูกไว้ที่ต่ำกว่าเช่น$NP$เทียบกับ$P/poly$ Y

ประการแรกมันเป็นสิ่งที่ควรค่าแก่การกล่าวถึงว่าผลของไรอันในด้านความสร้างสรรค์นั้นคล้ายกันมากกับรสชาติของสิ่งที่เรียกว่า "Flip Theorems" โดย Mulmuley ซึ่งกล่าวตัวอย่างเช่นหากว่าถาวรไม่มีวงจรคณิตศาสตร์ขนาดโพลี ชุดโพลี - เวลาแบบสุ่มที่สร้างได้ของเมทริกซ์จำนวนมาก (พหุนาม) จำนวนซึ่งวงจรเล็ก ๆ ทุกตัวจะแตกต่างจากแบบถาวรในหนึ่งเมทริกซ์เหล่านี้ ดูการพิสูจน์อย่างชัดแจ้งและการพลิกรายงานทางเทคนิคภาควิชาวิทยาการคอมพิวเตอร์มหาวิทยาลัยชิคาโกเดือนกันยายน 2010โดย Mulmuley$\{M_1, \dotsc, M_{p(n)}\}$

ประการที่สองความเป็นศูนย์กลางของการแสดงลักษณะสมมาตร (กล่าวถึงแล้วโดยเซียมมัน) ใน GCT นั้นชัดเจนมากขึ้นตั้งแต่การสำรวจของรีแกน หากการวิเคราะห์ลักษณะสมมาตรกลายเป็นสิ่งสำคัญสำหรับ GCT อย่างที่ดูเหมือนว่ามันกำลังจะเกิดขึ้นสิ่งนี้จะเข้าสู่สภาวะที่กว้างใหญ่ สำหรับความหมายของความสมมาตร-ลักษณะสมบัติให้ดูคำตอบนี้ไปเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดคำถามก่อนหน้านี้

สำหรับหลักฐานที่แสดงว่าการสมมาตรแบบสมมาตรเป็นการละเมิดความใหญ่โตโปรดดูหัวข้อ 3.4.3 "การทำให้สมมาตรแบบสมมาตรหลีกเลี่ยงอุปสรรค Razborov – Rudich" ในวิทยานิพนธ์ของฉัน (ปลั๊กตัวเองไร้ยางอาย แต่ฉันไม่รู้ที่อื่นเลย . ฉันสงสัยว่ามันเป็นการละเมิดความสามารถในการสร้างสรรค์ด้วย แต่ทิ้งให้เป็นคำถามเปิดอยู่ที่นั่น (ก่อนหน้าในบทที่ 3 นอกจากนี้ยังมีภาพรวมของทฤษฎีบทการพลิกใน GCT และวิธีการที่พวกเขาเกี่ยวข้องกับลักษณะสมมาตร)

(ฉันคิดว่ามันน่าสนใจที่การหาลักษณะสมมาตร - คุณสมบัติที่เราสงสัยว่าจะใช้ใน GCT ที่อยู่รอบ ๆ Razborov - Rudich - ใช้เพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบทการพลิกซึ่งโดยพื้นฐานแล้วบอกว่าจำเป็นต้องมีการสร้างสิ่งประดิษฐ์)

ในที่สุดมันเป็นมูลค่าการกล่าวขวัญว่าแม้ว่าในระยะยาว GCT มีจุดมุ่งหมายเพื่อแก้ไขปัญหาเมื่อเทียบกับP / p o l yและปัญหาบูลีนอื่น ๆ ในขณะที่การทำงานส่วนใหญ่ใน GCT นั้นมุ่งเน้นไปที่ algebraic analogs ของสิ่งเหล่านี้เช่น ตัวเลขและยังไม่มีอนาล็อกเชิงพีชคณิตของ Razborov - Rudich (ที่ฉันรู้)$NP$$P/poly$

$NEXP \not\subset TC^0$$NEXP \cap coNEXP \not\subset ACC$

ตอนนี้คำตอบสำหรับคำถามของคุณคือไม่ ยังคงเป็นไปได้มากว่าเทคนิคที่ใช้ GCT สามารถแยกจากได้$P$$NP$

ความคิดเห็นเพิ่มเติมเกี่ยวกับเรื่องนี้: ความสัมพันธ์ระหว่าง GCT และบทพิสูจน์ทางธรรมชาติได้ถูกกล่าวถึงในอดีต (แม้ในเอกสาร GCT ต้นฉบับเอง) ในขณะที่ดูเหมือนจะไม่ได้รับฉันทามติเกี่ยวกับที่ "สร้างสรรค์" หรือ "ความใหญ่" จะถูกละเมิดโดยวิธี GCT, Mulmuley และ Sohoni ได้โต้แย้งที่จุดหนึ่งว่าถ้า GCT สามารถดำเนินการได้แล้วก็ควรละเมิดความใหญ่โต สำหรับการอ้างอิงที่เกี่ยวข้องโปรดดูมาตรา 6 ของภาพรวม Regan ของ GCT อย่างไรก็ตามฉันควรเพิ่มว่าภาพรวมนี้มีอายุ 10 ปีแล้วและมีงานจำนวนมากเข้าสู่ GCT ตั้งแต่นั้นมา ฉันไม่แน่ใจว่ามีความคิดเห็นที่ปรับปรุง / ใหม่เกี่ยวกับเรื่องนี้ (บางที Josh Grochow สามารถพูดสอดได้?)

คำตอบสั้น ๆ คือไม่มี

ทฤษฎีความซับซ้อนเชิงเรขาคณิตกำหนดเป้าหมายไปที่คุณสมบัติที่หายากมากซึ่ง Mulmuley ระบุว่าไม่ใช่ "ใหญ่" ตามที่กำหนดโดย Razborov และ Rudich สำหรับการโต้แย้งอย่างเป็นทางการเห็นโจชัว Grochow ของวิทยานิพนธ์มาตรา 3.4.3 สมมาตร-ลักษณะหลีกเลี่ยงอุปสรรค Razborov-Rudichของเขาและคำตอบ

ย่อหน้าต่อไปนี้มาจากOn P vs. NP และทฤษฎีความซับซ้อนเชิงเรขาคณิตโดย Ketan Mulmuley ( JACM 2011หรือต้นฉบับ ), มาตรา 4.3 แผนระดับสูง :

เป้าหมายคือเพื่อดำเนินการตามขั้นตอนเหล่านี้อย่างชัดเจนโดยใช้ประโยชน์จากลักษณะเฉพาะโดยสมมาตรของปัจจัยถาวรและปัจจัยกำหนด เราจะระบุความหมายที่ชัดเจนในภายหลัง cf เลย สมมติฐาน 4.6. วิธีนี้มีความเข้มงวดอย่างยิ่งในแง่ที่ใช้งานได้กับฟังก์ชั่นยากที่หายากมากเท่านั้น ความแข็งแกร่งที่รุนแรงนี้เป็นมากกว่าสิ่งที่จำเป็นในการหลีกเลี่ยงอุปสรรคการพิสูจน์ตามธรรมชาติ [Razborov and Rudich 1997]

เนื่องจากทั้งเงื่อนไขของความคิดสร้างสรรค์และความใหญ่โตเป็นสิ่งจำเป็นสำหรับการพิสูจน์ตามธรรมชาติ (ในกรณีที่มีประโยชน์โดยปริยาย) การพิสูจน์ว่าสิ่งที่หลีกเลี่ยงไม่ได้นั้นก็ไม่เพียงพอที่จะแยกแยะวิธีการทางความคิดสร้างสรรค์