วิชาบังคับก่อนสำหรับการเรียนรู้ GCT


38

ดูเหมือนว่าทฤษฎีความซับซ้อนเชิงเรขาคณิตต้องการความรู้มากมายเกี่ยวกับคณิตศาสตร์บริสุทธิ์เช่นเรขาคณิตเชิงพีชคณิตทฤษฎีการเป็นตัวแทน

ในขณะที่ฉันเป็นนักเรียน CS และไม่มีคลาสของคณิตศาสตร์ที่เป็นนามธรรมและบริสุทธิ์มากฉันสนใจโปรแกรมนี้

มีรายการของ "ความรู้ขั้นต่ำ" สำหรับการเรียนรู้ทฤษฎีนี้หรือไม่?

รายการนี้รวมถึงบันทึกการบรรยายของฝ่าย CS หรือคณิตศาสตร์การสำรวจวารสารหรือการประชุมใด ๆ และหนังสือตำราคณิตศาสตร์บริสุทธิ์

[ แก้ไข: เพิ่มในภายหลัง ] ขอบคุณสำหรับความคิดเห็นของคุณ

ทฤษฎีทั่วไปของการคำนวณ: ฉันอ่านหนังสือของ Sipser ที่มีชื่อ "รู้เบื้องต้นเกี่ยวกับทฤษฎีการคำนวณ"

ทฤษฎีความซับซ้อน: โดยเฉพาะฉันสนใจในแบบจำลองคอนกรีตเพื่อลดความซับซ้อนลง ดังนั้นฉันอ่านส่วนของ "ขอบเขตล่างที่เป็นรูปธรรม" ในหนังสือเรียนของ Arora-Barak ฉันยังมีความรู้พื้นฐานในหนังสือหลายเล่มของหนังสือความซับซ้อนในการสื่อสารที่เขียนโดยนิสัน

คณิตศาสตร์พื้นฐาน: ฉันได้เรียนรู้เกี่ยวกับพีชคณิตเชิงเส้นที่ใช้การพิสูจน์เช่นคำจำกัดความทั่วไปของเวกเตอร์สเปซ ฯลฯ และการโต้แย้งอย่างละเอียดของแคลคูลัสตามอาร์กิวเมนต์ epsilon-delta

พีชคณิต: ฉันได้เรียนรู้เกี่ยวกับคำจำกัดความและตัวอย่างของกลุ่มแหวนและฟิลด์ ฉันมีชั้นเรียนสำหรับนักเรียน cs และยังไม่ได้เรียนรู้เกี่ยวกับความรู้ทั่วไปของระบบพีชคณิตนี้


3
มันจะช่วยได้ถ้าคุณบอกว่าทฤษฎีความซับซ้อนมากแค่ไหนพีชคณิตเชิงเส้นพีชคณิตคุณรู้ไหม คุณควรระบุเป้าหมายของคุณด้วย ข้อกำหนดสำหรับภาพระดับสูงทั่วไปนั้นแตกต่างจากการทำโครงการในพื้นที่
วีเจย์ D



ลองใช้พีชคณิตบัณฑิตบางอันก่อนโดยเฉพาะอย่างยิ่งพีชคณิตแบบสับเปลี่ยน
Zeyu

คำตอบ:


44

คำตอบสั้น ๆ : ความรู้ขั้นต่ำจริงๆของคณิตศาสตร์ที่จะเข้าใจครึ่งปีแรกของแผนของจีซีทีเมื่อคุณได้เห็นเล็ก ๆ น้อย ๆ ในกลุ่ม, แหวน, และสาขาที่จะวางพื้นออกมาในบทที่ 3 ของวิทยานิพนธ์ของฉันปลั๊กตนเอง (ไร้ยางอาย ) อย่างไรก็ตามบทนั้นไม่สมบูรณ์ซึ่งฉันไม่ได้ไปถึงทฤษฏีการเป็นตัวแทนของบางสิ่ง ทฤษฎีการเป็นตัวแทนมีความสำคัญอย่างยิ่งในช่วงครึ่งหลังของแผน (ซึ่งเป็นสาเหตุที่ฉันกำลังขยายบทที่จะรวมไว้)

หากคุณต้องการเข้าร่วม GCT, Symmetry, Representation และ Invariants โดย Goodman และ WallachและActions และ Invariants ของกลุ่มพีชคณิตโดย W. Ferrers Santosนั้นมีทั้งที่อยู่ในตัวเองและมีข้อมูลที่ดีมากมายที่เกี่ยวข้องกับ GCT ฉันไม่แน่ใจว่าพวกเขาเป็นแหล่งข้อมูลที่ดีที่สุดในการเรียนรู้หรือไม่เนื่องจากฉันได้เรียนรู้เกี่ยวกับพวกเขาหลังจากที่ฉันได้เรียนรู้เนื้อหานี้มาก แต่พวกเขาก็ยังดีในแง่ของอัตราส่วนของสิ่งที่ครอบคลุมกับสิ่งที่เกี่ยวข้องกับ GCT Fulton และ Harris เหมาะอย่างยิ่งสำหรับทฤษฎีการเป็นตัวแทนและตัวอย่าง / แบบฝึกหัดจำนวนมากในหนังสือเล่มนี้เกี่ยวข้องกับ GCT

คำตอบที่นานขึ้น : ขึ้นอยู่กับว่าคุณต้องการเรียนรู้เกี่ยวกับ GCT มากน้อยเพียงใดตามที่วีเจย์ชี้ให้เห็น หัวข้อด้านล่างเป็นเพียงสิ่งที่ฉันคิดว่าจำเป็นต้องมีพื้นหลังเนื่องจากเป็นคำถาม ฉันไม่แน่ใจว่านี่เป็นรายการที่สมบูรณ์ - ฉันขอแนะนำให้ลองอ่านเอกสารบางส่วนใน GCT และเมื่อคุณหลงทางให้มองหาวัสดุพื้นหลัง ในขณะที่คุณกำลังเรียนรู้เนื้อหาพื้นหลังบ่อยครั้งที่กลับมาที่เอกสาร GCT และดูว่าคุณสามารถติดตามเพิ่มเติมได้หรือไม่

(ขึ้นอยู่กับสิ่งที่คุณต้องการเรียนรู้จริง ๆ แล้วฉันไม่เห็นด้วยกับ Zeyu ว่าคุณควรลองพีชคณิตสับเปลี่ยนระดับบัณฑิตศึกษาก่อนแม้ว่าในบางจุดในการเรียนรู้ GCT สิ่งนี้จะกลายเป็นสิ่งจำเป็น)

ตัวอย่างเช่นหากคุณต้องการเข้าใจเอกสาร FOCS ล่าสุดของ Mulmuleyคุณจะต้องเข้าใจ:

หากคุณต้องการเข้าใจโครงร่างทั่วไปของวิธี GCT แต่ในรายละเอียดทางคณิตศาสตร์ฉันขอแนะนำ:

  • ปัญหาถาวรกับดีเทอร์มิแนนต์ # P- ครบถ้วนของถาวรและ GapL- ครบถ้วนของปัจจัย Agrawal มีการสำรวจที่ดี (ล้าสมัยมากเพียงเล็กน้อย) เกี่ยวกับเรื่องนี้และบทพิสูจน์ของความสมบูรณ์ที่สามารถพบได้ในBurgisser หนังสือครบถ้วนและลดความซับซ้อนในเชิงพีชคณิตทฤษฎี

  • การกระทำของกลุ่มและกลุ่ม (กลุ่มพีชคณิตและการกระทำของกลุ่มพีชคณิตมีประโยชน์ แต่ไม่จำเป็นในระดับนี้) คุณควรเข้าใจทฤษฎีบทของวงโคจร

  • เลียนแบบเรขาคณิตเชิงพีชคณิตผ่าน Nullstellensatz ของ Hilbert โดยทั่วไปคุณเพียงแค่ต้องเข้าใจการติดต่อระหว่างพันธุ์พีชคณิตพีชคณิตและวงประสานงานของพวกเขา

  • GLnGLn

หากคุณต้องการที่จะเข้าใจอย่างลึกซึ้งว่าเกิดอะไรขึ้น (และฉันไม่แน่ใจว่าฉันสามารถเรียกร้องให้อยู่ที่นั่นได้ แต่ฉันคิดว่าฉันรู้ว่าสิ่งที่ฉันต้องรู้เพื่อไปที่นั่น) คุณควรเข้าใจด้วย:

  • โครงสร้างของกลุ่มพีชคณิตลดลงและวงโคจรปิดในการเป็นตัวแทนของพวกเขา ฉันชอบหนังสือของ W. Ferrers Santosสำหรับเรื่องนี้ แต่ยังรวมถึงAlgebraic Groups เชิงเส้นโดย Borel , The Classical Groups by Weylและคลาสสิกอื่น ๆ

  • เครื่องจักร Luna-Vust (ทฤษฎีบท Slice ของ Luna, ความซับซ้อน Luna-Vust)

  • Tannakian Duality (ดูบทความโดยDeligne - Milneนี่จะเป็นการอ่านที่ยากลำบากโดยไม่ต้องมีภูมิหลังในทฤษฎีหมวดหมู่และกลุ่มพีชคณิตเลียนแบบ) สิ่งนี้บอกว่า "(โปร -) เลียนแบบพีชคณิตกลุ่มจะถูกกำหนดโดยการเป็นตัวแทนของพวกเขา" ฉันไม่คิดว่าคุณต้องการเอกสารทั้งหมดเท่าที่จะกู้คืนกลุ่มจากหมวดหมู่ของการเป็นตัวแทน (คร. 3.4)

  • ทฤษฎีการเป็นตัวแทนที่มากขึ้นโดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อใช้กับวงแหวนประสานงานของกลุ่มพีชคณิตและการปิดวงโคจรของพวกเขา ผมจริงๆเช่นเดียวกับหนังสือโดยกู๊ดแมนและวัลสำหรับการนี้โดยเฉพาะอย่างยิ่งเพราะมันเป็นพื้นอยู่ในตัวเองและมีจำนวนมากของสิ่งที่คุณต้องการที่จะเข้าใจ GCT (นอกจากนี้ส่วนอธิบาย / ด้านข้างและแบบฝึกหัดจำนวนมากในฟุลตันและแฮร์ริสอยู่ในเครื่องหมายของ GCT โดยเฉพาะอย่างยิ่งเกี่ยวกับสัมประสิทธิ์ Littlewood-Richardson และ Kronecker)

หากคุณต้องการทำงานกับทฤษฎีการแสดงจริงคุณอาจต้องการเข้าใจทฤษฎีการเป็นตัวแทนเชิงพีชคณิตเชิงพีชคณิต / combinatorial มากขึ้น ฉันไม่รู้การอ้างอิงที่ถูกต้องทั้งหมดสำหรับเรื่องนี้ แต่แน่นอนว่าการเข้าใจกฎ Littlewood-Richardson เป็นสิ่งที่จำเป็นและYoung Tableaux ของ Fultonนั้นดีสำหรับเรื่องนี้

เอกสารล่าสุดบนด้านข้างของสิ่งนี้ที่ฉันรู้มีBlasiak , มาร์และโบว์แมนเดอ Visscher และเรลลา

ขึ้นอยู่กับทิศทางที่คุณต้องการเข้าไปคุณอาจต้องการดูกลุ่มควอนตัมด้วยแม้ว่าจะไม่จำเป็นก็ตาม (หมายเหตุ: สิ่งเหล่านี้ไม่ใช่กรณีพิเศษของกลุ่ม แต่เป็นลักษณะทั่วไปในทิศทางที่แน่นอน)

ในด้านเรขาคณิตของสิ่งต่าง ๆคุณจะต้องมองเข้าไปในสิ่งต่าง ๆ เช่นเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์สำหรับพื้นที่สัมผัสแทนกันและ osculating, ความโค้ง, พันธุ์คู่และสิ่งที่คล้ายกันซึ่งเป็นรากฐานของขอบเขตล่างที่รู้จักกันเป็นอย่างดีใน perm vs. det เนื่องจากMignon --Ressayreและตามด้วยLandsberg - Manivel - Ressayre ( Mignon - Ressayreสามารถเข้าใจได้โดยไม่ต้องมีสิ่งเหล่านี้ แต่คุณสามารถดูกระดาษของพวกเขาอย่างอิสระเป็นศึกษาความโค้งของสายพันธุ์บางอย่างสำหรับมุมมองที่หลวมน้อยเห็นการใช้พันธุ์คู่ในLandsberg - Manivel - Ressayre ) (ดูCai เฉินและหลี่ซึ่งทอดตัว Mignon -. Ressayre ลักษณะแปลกทั้งหมด) ดูเพิ่มเติมLandsberg และ Kadish

หากคุณสนใจวิธีการ GCT ในการคูณเมทริกซ์นั่นคือทั้งหมดที่เกี่ยวกับอันดับเทนเซอร์อันดับของเส้นขอบ ผมขอแนะนำให้ดูที่เอกสารโดยBurgisser - Ikenmeyer , Landsberg และ Ottaviani , Landsberg , Landsberg ของการสำรวจและหนังสือ แน่นอนว่ามันเป็นการดีที่จะได้รู้ว่าของคลาสสิกเกี่ยวกับการคูณเมทริกซ์ (ทั้งบนและล่าง) แต่มันก็เป็นเวิร์มที่แยกออกจากกันทั้งหมด


1
+1 ps: มันจะดีถ้าคุณยังสามารถเพิ่มลิงก์ไปยังเอกสารและหนังสือในคำตอบของคุณ
Kaveh

1
จำเป็นต้องใช้ทฤษฎีทั่วไปของทอพอโลยีหรือไม่?
syucha

4
ฉันรู้สึกว่าทุกคนมีความเห็นอกเห็นใจอย่างเป็นเอกฉันท์ต่อคุณในเรื่องนี้ คำตอบที่ดี หากคุณทำเครื่องหมายส่วน "หากคุณต้องการ" ให้เด่นชัดยิ่งขึ้นโครงสร้างของคำตอบของคุณจะชัดเจนขึ้น
วีเจย์ D

6
Josh เป็นผู้เชี่ยวชาญในพื้นที่ของเรา :)
Suresh Venkat

2
@syucha: ขึ้นอยู่กับสิ่งที่คุณหมายถึงโดย "ทฤษฎีทั่วไปของโทโพโลยี" พูดตามที่สอนโดยทั่วไปในหลักสูตรโทโพโลยีระดับปริญญาตรี, NO คุณไม่จำเป็นต้องรู้เกี่ยวกับโทโพโลยีชุดจุดส่วนใหญ่ การทำความเข้าใจพื้นฐานของทอพอโลยีนั้นมีประโยชน์ (และจำเป็น - อิช) สำหรับการทำความเข้าใจเกี่ยวกับเรขาคณิตเชิงพีชคณิต (เทียบกับทอพอโลยี Zariski) และเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ สิ่งที่ลึกกว่าจากทอพอโลยีเช่นมัดและชุดเวกเตอร์มีประโยชน์สำหรับสิ่งที่ลึกกว่าใน GCT
Joshua Grochow
โดยการใช้ไซต์ของเรา หมายความว่าคุณได้อ่านและทำความเข้าใจนโยบายคุกกี้และนโยบายความเป็นส่วนตัวของเราแล้ว
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.