ทฤษฎีบทของคริสตจักรและทฤษฎีความไม่สมบูรณ์ของGödel

เมื่อไม่นานมานี้ฉันได้อ่านแนวคิดและประวัติของงานที่ไม่หยุดยั้งซึ่งดำเนินการโดยนักตรรกศาสตร์และนักคณิตศาสตร์หลายคนเกี่ยวกับความสามารถในการคำนวณ ในขณะที่แนวคิดของแต่ละคนค่อนข้างชัดเจนสำหรับฉันฉันกำลังพยายามที่จะเข้าใจอย่างชัดเจนว่ามีความสัมพันธ์ระหว่างกันและระดับนามธรรมที่เชื่อมโยงกันทั้งหมด

เรารู้ว่าทฤษฎีของคริสตจักร (หรือมากกว่านั้นเป็นบทพิสูจน์ที่เป็นอิสระของEntscheidungsproblemของฮิลแบร์ตโดย Alonzo Church และ Alan Turing) พิสูจน์ว่าโดยทั่วไปแล้วเราไม่สามารถคำนวณได้ว่าคำสั่งทางคณิตศาสตร์ที่ระบุในระบบที่เป็นทางการเป็นจริงหรือเท็จ ดังที่ฉันเข้าใจวิทยานิพนธ์ของทัวริสต์ทัวริสต์ได้ให้คำอธิบายที่ชัดเจนเกี่ยวกับความเท่าเทียม (isomorphism) ระหว่างแลมบ์ดาลัสของคริสตจักรและทัวริงของเครื่องจักรดังนั้นเราจึงมีรูปแบบการรวม (หมายเหตุ: เท่าที่ฉันรู้หลักฐานของทัวริงใช้ประโยชน์จากความจริงที่ว่าปัญหาการหยุดชะงักไม่สามารถตัดสินใจได้แก้ไขให้ฉันถ้าฉันผิด)

ตอนนี้ทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์ครั้งแรกของGödelระบุว่าไม่ใช่ทุกข้อความในระบบที่เป็นทางการที่สอดคล้องกับกำลังทางคณิตศาสตร์ที่เพียงพอซึ่งอาจพิสูจน์หรือหักล้าง (ตัดสินใจ) ภายในระบบนี้ ในหลาย ๆ ทางสิ่งนี้ดูเหมือนว่าฉันจะพูดในสิ่งเดียวกันกับฉันในฐานะทฤษฏีของศาสนจักรโดยพิจารณาจากแลมบ์ดาแคลคูลัสและเครื่องกลึงทั้งสองแบบเป็นระบบที่มีประสิทธิภาพอย่างเป็นทางการ!

นี่คือการตีความแบบองค์รวมของฉันและฉันก็หวังว่าจะมีใครซักคนที่จะเข้าใจรายละเอียด ทฤษฎีทั้งสองนี้เทียบเท่ากันอย่างมีประสิทธิภาพหรือไม่? มีรายละเอียดย่อยให้สังเกตไหม? หากทฤษฎีเหล่านี้ดูความจริงสากลที่เหมือนกันในรูปแบบที่แตกต่างกันทำไมพวกเขาถึงมาจากมุมที่แตกต่างกันเช่นนี้? (มีการพิสูจน์ Godel มากกว่า 6 ปีหรือน้อยกว่า 6 ปี) ในที่สุดเราสามารถบอกได้ไหมว่าแนวคิดของการพิสูจน์ในระบบที่เป็นทางการ (แคลคูลัสพิสูจน์) นั้นเหมือนกับแนวคิดของการคำนวณได้ในทฤษฎีการเรียกซ้ำ (Turing Machines / lambda แคลคูลัส)?

ก่อนอื่นฉันขอแนะนำให้คุณอ่าน "Metamathematics" ของ Kleene เป็นหนังสือดี ๆ ในหัวข้อเหล่านี้ สองบทแรกของเล่มที่ 1 ของ "Classical Recursion Theory" ของ Odifreddi สามารถช่วยในการทำความเข้าใจความสัมพันธ์ระหว่างแนวคิดเหล่านี้

เรารู้ว่าทฤษฎีของคริสตจักร (หรือมากกว่านั้นเป็นบทพิสูจน์ที่เป็นอิสระของ Entscheidungsproblem ของฮิลแบร์ตโดย Alonzo Church และ Alan Turing) พิสูจน์ว่าโดยทั่วไปแล้วเราไม่สามารถคำนวณได้ว่าคำสั่งทางคณิตศาสตร์ที่ระบุในระบบที่เป็นทางการเป็นจริงหรือเท็จ

ฉันคิดว่าคุณกำลังอ้างถึงทฤษฎีบทของคริสตจักรว่าชุดของทฤษฎีบทของตรรกะลำดับแรกไม่สามารถตัดสินใจได้ มันเป็นสิ่งสำคัญที่จะต้องทราบว่าภาษาเป็นลำดับแรก

ดังที่ฉันเข้าใจวิทยานิพนธ์ของทัวริสต์ทัวริสต์ได้ให้คำอธิบายที่ชัดเจนเกี่ยวกับความเท่าเทียม (isomorphism) ระหว่างแลมบ์ดาลัสของคริสตจักรและทัวริงของเครื่องจักรดังนั้นเราจึงมีรูปแบบการรวม

ไม่ความเท่าเทียมกันหาก lambda-computability และ Turing-computability เป็นทฤษฎีบทของ Kleene มันไม่ใช่วิทยานิพนธ์ ถือเป็นหลักฐานสนับสนุนวิทยานิพนธ์ของศาสนจักร

หมายเหตุ: เท่าที่ฉันรู้หลักฐานของทัวริงใช้ประโยชน์จากความจริงที่ว่าปัญหาการหยุดชะงักไม่สามารถตัดสินใจได้ ช่วยแก้ให้ด้วยนะถ้าฉันผิด.

ตอนนี้ทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์ครั้งแรกของGödelระบุว่าไม่ใช่ทุกคำพูดในระบบที่เป็นทางการที่สอดคล้องกันอาจได้รับการพิสูจน์ในระบบนี้ ในหลาย ๆ ทางสิ่งนี้ดูเหมือนว่าฉันจะพูดในสิ่งเดียวกันกับฉันในฐานะทฤษฏีของคริสตจักรโดยคำนึงถึงแลมบ์ดาแคลคูลัสและเครื่องกลึงทั้งสองอย่างเป็นระบบที่มีประสิทธิภาพแปลก ๆ !

เลขที่เกอเดลของรัฐทฤษฎีบทว่าสำหรับทุก -consistent , ซ้ำนับทฤษฎีซึ่งมีเลขคณิตพอมีประโยคφเซนต์φและ¬ φจะไม่สามารถพิสูจน์ได้ในนั้น$\omega$$\varphi$$\varphi$$\lnot \varphi$

สิ่งนี้ไม่ได้ระบุในสิ่งเดียวกัน มันไม่ได้พูดอะไรเกี่ยวกับชุดของทฤษฎีบทของทฤษฎีที่ไม่สามารถตัดสินใจได้

นี่คือการตีความแบบองค์รวมของฉันและฉันก็หวังว่าจะมีใครซักคนที่จะเข้าใจรายละเอียด ทฤษฎีบททั้งสองนี้มีประสิทธิภาพเทียบเท่ากันหรือไม่? มีรายละเอียดย่อยให้สังเกตไหม หากทฤษฎีเหล่านี้ดูความจริงสากลที่เหมือนกันในรูปแบบที่แตกต่างกันทำไมพวกเขาถึงมาจากมุมที่แตกต่างกันเช่นนี้? (มีมากกว่าหรือน้อยกว่า 6 ปีระหว่างการพิสูจน์ Godel กับศาสนจักร)

ในช่วงหลายปีที่ผ่านมามีการใช้ทฤษฎีบทของ Godel ในทางที่ผิดมากมาย ควรระมัดระวังในการตีความของพวกเขา เท่าที่ฉันได้เห็นการละเมิดมักจะเป็นผลมาจากการลืมพูดถึงเงื่อนไขบางอย่างในทฤษฎีบทหรือรวมทฤษฎีบทโดยความเชื่ออื่น ๆ ดูอย่างระมัดระวังแสดงให้เห็นว่าทฤษฎีบทเหล่านี้แม้ว่าที่เกี่ยวข้องจะไม่เทียบเท่า

ในที่สุดเราสามารถบอกได้ไหมว่าแนวคิดของการพิสูจน์ในระบบที่เป็นทางการ (แคลคูลัสพิสูจน์) นั้นเหมือนกับแนวคิดของการคำนวณได้ในทฤษฎีการเรียกซ้ำ (Turing Machines / lambda แคลคูลัส)?

ฉันไม่เข้าใจความหมายของคำว่า "เหมือนกัน" แน่นอนว่ามีความสัมพันธ์มากมายระหว่างการคำนวณและการพิสูจน์ได้ ฉันอาจจะสามารถแสดงความคิดเห็นที่เป็นประโยชน์มากขึ้นถ้าคุณชี้แจงสิ่งที่คุณหมายถึงโดยสิ่งเหล่านี้เหมือนกัน

ปรับปรุง

ช่วยให้พิจารณาชุดของประโยครูปแบบที่ดีในภาษาของเลขคณิตเป็นLให้Tเป็น (สัจพจน์ของ) ทฤษฎีพอใจเงื่อนไขทฤษฎีบทไม่สมบูรณ์แรก ขอทีเอชเอ็ม( T )เป็นชุดของทฤษฎีบทของทฤษฎีTและ¬ ทีเอชเอ็ม( T )เป็นชุดของประโยคที่มีการปฏิเสธเป็นทฤษฎีของT ให้T R ยูอีเป็นชุดของประโยคที่เป็นจริงในรูปแบบมาตรฐานและF ลิตรs $L$$T$$Thm(T)$$T$$\lnot Thm(T)$$T$$True$$False$ชุดของประโยคที่ผิด ประโยคที่อยู่ใน IFF ปฏิเสธที่อยู่ในF ลิตรsอี นอกจากนี้ทุกประโยคเป็นจริงหรือเท็จเช่นL = T R ยูอี∪ F ลิตรsอี$True$$False$$L = True \cup False$

ของเกอเดลรัฐไม่สมบูรณ์ทฤษฎีบทที่เป็นส่วนที่เหมาะสมของL ดังนั้นความจริงในแบบจำลองมาตรฐานและความสามารถในการพิสูจน์ในTจึงแตกต่างกัน$Thm(T) \cup \lnot Thm(T)$$L$$T$

โปรดทราบว่าเป็นอีกครั้งทฤษฎีบทของคริสตจักรระบุว่าT h m ( T )ไม่สามารถตัดสินใจได้$Thm(T)$$Thm(T)$

เกี่ยวกับความสัมพันธ์ระหว่างการพิสูจน์ในระบบที่เป็นทางการและการคำนวณ หนึ่งคือสิ่งต่อไปนี้: ถ้าระบบมีผลบังคับใช้ชุดของนิพจน์ที่สามารถสืบหาได้ในนั้นจะเป็นแบบใหม่และระบบเป็นกรณีพิเศษของไวยากรณ์ Grammars เป็นอีกวิธีหนึ่งในการกำหนดแนวคิดของการคำนวณซึ่งเทียบเท่ากับการคำนวณของทัวริง

เราจำเป็นต้องพูดว่าแนวคิดของการพิสูจน์ในระบบที่เป็นทางการ (แคลคูลัสพิสูจน์) เป็นเหมือนกับแนวคิดของการคำนวณในทฤษฎีการเรียกซ้ำ (ทัวริงเครื่อง / แลมบ์ดาแคลคูลัส)?

สิ่งเหล่านี้คล้ายกันมาก แต่ไม่เหมือนกันเพราะบางขั้นตอนในแคลคูลัสพิสูจน์อาจเป็นตัวแทนการดำเนินการที่ไม่คำนวณ

$ZFC$$\wp(N)$

ในทำนองเดียวกันทฤษฎีความสมบูรณ์ครบถ้วนของGödelบอกเราว่าสูตรใด ๆ ที่ถูกต้องตามลอจิกอันดับหนึ่งมีการพิสูจน์ แต่ทฤษฏี Trakhtenbrot ของทฤษฎีบอกเราว่าเหนือกว่าแบบจำลองแน่นอนความถูกต้องของสูตรการสั่งซื้อครั้งแรกจะไม่แน่นอน

ดังนั้นหลักฐานอัน จำกัด ไม่จำเป็นต้องสอดคล้องกับการปฏิบัติการที่คำนวณได้

แม้ว่านี่จะไม่ใช่สิ่งที่คุณถามเกี่ยวกับมันอยู่ในหลอดเลือดดำเดียวกันและหวังว่าคุณ (และผู้อ่านคำถามอื่น ๆ ของคุณ) จะพบว่ามันน่าสนใจ คุณควรอ่านอย่างแน่นอนเกี่ยวกับการโต้ตอบของ Curry-Howardซึ่งกล่าวว่าหมวดหมู่ของโปรแกรมคือในแง่ที่เฉพาะเจาะจง isomorphic กับหมวดหมู่ของหลักฐานอันสร้างสรรค์ (นี่คือการอภิปรายหลักฐานและความสามารถในการคำนวณในระดับที่แตกต่างจากคำตอบอื่น ๆ )

ฉันจะพยายามตอบคำถามของคุณจากมุมมองของคุณในระยะสั้น ฉันพยายามเชื่อมโยงทฤษฎีบททั้งสองด้วยวิธีที่แตกต่างกัน

ทฤษฎีบทแรกที่ไม่สมบูรณ์ของGödelระบุว่าในระบบที่เป็นทางการที่สอดคล้องกับพลังทางคณิตศาสตร์ที่เพียงพอมีคำสั่ง P ที่ไม่มีข้อพิสูจน์ใด ๆ หรือไม่มีการปฏิเสธ สิ่งนี้ไม่ได้หมายความว่าไม่มีอัลกอริธึมการตัดสินใจสำหรับเซตของทฤษฎีบทของทฤษฎีซึ่งอาจกล่าวได้ว่า P และไม่ใช่ P ไม่ใช่ทฤษฎีบท ผลลัพธ์จากทฤษฎีบทของโบสถ์ทัวริงบอกว่าไม่มีอัลกอริธึมดังกล่าว นั่นเป็นแกนหลักของคำตอบของ Kaveh ฉันหวังว่าจะอธิบายให้ชัดเจนยิ่งขึ้น

ตอนนี้ฉันจะพยายามพิสูจน์ว่าทฤษฎีบทของคริสตจักรทัวริงแสดงถึงทฤษฎีบทของGödelโปรดอธิบายฉันว่าที่ไหนและถ้าฉันผิด ชุดของทฤษฎีบท Thm สามารถถอดรหัสได้บางส่วนและสมมติว่า R เป็นโปรแกรมที่รับรู้ได้ (เช่นหยุดด้วย "ใช่" ถ้าอินพุตอยู่ใน Thm ยังคงทำงานเป็นอย่างอื่น) ลองใช้สิ่งนี้เพื่อสร้างอัลกอริทึมใหม่: ให้คำสั่ง Q เพื่อดูว่ามันพิสูจน์ได้หรือไม่ให้รัน R แบบขนานบน Q ไม่ใช่ Q โดยการแทรกการประมวลผลและหยุดเมื่อแรกของพวกเขาหยุดและสร้าง "ไม่" ถ้า "ไม่ใช่ Q" ได้รับการพิสูจน์แล้วและ "ใช่" เป็นอย่างอื่น สิ่งนี้ทำให้อัลกอริทึมที่คำนวณได้ สมมติว่าข้อโต้แย้งทั้งหมดสามารถพิสูจน์หรือหักล้างได้อัลกอริทึมนี้จะแก้ปัญหา Entscheidungs ​​แต่นั่นมันไร้สาระ! ดังนั้นจะต้องมีคำสั่งที่สามารถ '