ฉันควรคิดอย่างไรเกี่ยวกับมุ้งพิสูจน์

ในคำตอบของเขาที่จะคำถามนี้ , สเตฟานดอนชี้ให้ฉันไปเป็นขั้นตอนวิธีการฟื้นฟูพหุนามเวลาสำหรับการพิสูจน์ในตรรกะเชิงเส้น การพิสูจน์ในกระดาษของ Girard ใช้อวนพิสูจน์ซึ่งเป็นลักษณะเชิงตรรกะเชิงเส้นที่จริงฉันไม่รู้มากเกี่ยวกับ

ตอนนี้ฉันได้ลองอ่านเอกสารเกี่ยวกับมุ้งมาก่อน (เช่นบันทึกของ Pierre-Louis Curienที่พวกเขา) แต่ฉันไม่เข้าใจพวกเขาจริงๆ ดังนั้นคำถามของฉันคือฉันจะคิดถึงพวกเขาอย่างไร โดย "วิธีคิดเกี่ยวกับพวกเขา" ฉันหมายถึงทั้งสัญชาตญาณอย่างไม่เป็นทางการที่อยู่เบื้องหลังพวกเขา (เช่นวิธีที่พวกเขาประพฤติตนคำนวณหรือวิธีที่พวกเขาเกี่ยวข้องกับการเรียงลำดับ) และทฤษฎีบทเกี่ยวกับพวกเขาที่ฉันควรพิสูจน์ด้วยตนเองว่า

ในการตอบคำถามนี้คุณสามารถสันนิษฐานได้ว่า (1) ฉันรู้ทฤษฎีการพิสูจน์ของลอจิกเชิงเส้นอย่างดี (รวมถึงสิ่งต่าง ๆ เช่นวิธีการพิสูจน์การตัดการตัดและในรูปแบบที่โฟกัสด้วย), (2) ความหมายเชิงของพวกมัน หรือผ่านการโน้มน้าวระหว่างวันและ (3) พื้นฐานขั้นพื้นฐานของการก่อสร้าง GoI

มุ้งพิสูจน์มีความน่าสนใจโดยเหตุผลสามประการ:

1) ตัวตนของหลักฐาน พวกเขาให้คำตอบสำหรับปัญหา "เมื่อสองบทพิสูจน์เดียวกัน"? ในแคลคูลัสตามลำดับคุณอาจมีหลักฐานที่แตกต่างกันจำนวนมากของข้อเสนอเดียวกันซึ่งแตกต่างกันเพียงเพราะแคลคูลัสตามลำดับบังคับให้คำสั่งในกฎการหักเงินแม้ในกรณีนี้ไม่จำเป็น แน่นอนว่าเราสามารถเพิ่มความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกันในการพิสูจน์แคลคูลัสตามลำดับ แต่อย่างใดอย่างหนึ่งต้องแสดงให้เห็นว่าการตัดการตัดจะทำงานอย่างถูกต้องในคลาสความเท่ากันและยังมีความจำเป็นที่จะต้องเปลี่ยนโมดูโลแบบใหม่ ตาข่ายพิสูจน์แก้ปัญหาของการจัดการกับคลาสที่เทียบเท่าโดยจัดให้มีไวยากรณ์ที่ทุกคลาสที่เท่าเทียมกันจะถูกยุบลงบนวัตถุเดียว สถานการณ์นี้ค่อนข้างเป็นอุดมคติอยู่แล้วด้วยเหตุผลหลายประการที่พิสูจน์อวนมักจะขยายออกไปด้วยรูปแบบของความเท่าเทียมกัน

2) ไม่มีขั้นตอนการตัด CUT-ELUTINATION การตัดออกไปบนมุ้งพิสูจน์นั้นมีรสชาติที่แตกต่างไปจากแบบนิรนัยตามลำดับเนื่องจากขั้นตอนการตัดแบบสับเปลี่ยนเชิงลบหายไป เหตุผลก็คือในการพิสูจน์มุ้งกฎการหักเงินจะเชื่อมต่อกันด้วยความสัมพันธ์เชิงสาเหตุเท่านั้น กรณีการแลกเปลี่ยนถูกสร้างขึ้นโดยความจริงที่ว่ากฎหนึ่งสามารถถูกซ่อนไว้โดยกฎที่ไม่เกี่ยวข้องกับสาเหตุอื่น สิ่งนี้ไม่สามารถเกิดขึ้นได้ในมุ้งพิสูจน์ที่ซึ่งกฎที่ไม่เกี่ยวข้องกันนั้นอยู่ห่างไกลกัน เนื่องจากกรณีส่วนใหญ่ของการกำจัดการตัดเป็นสิ่งที่สับเปลี่ยนได้รับการลดความซับซ้อนที่โดดเด่นของการกำจัดการตัด สิ่งนี้มีประโยชน์อย่างยิ่งสำหรับการศึกษาแลมบ์ดานิแลสซีด้วยการแทนที่อย่างชัดเจน (เพราะเอ็กซ์โปเนนเชียล = การแทนที่อย่างชัดเจน) อีกครั้งสถานการณ์นี้เหมาะอย่างยิ่งเนื่องจากการนำเสนอบางส่วนของมุ้งพิสูจน์ต้องมีขั้นตอนการสับเปลี่ยน อย่างไรก็ตาม

3) เกณฑ์การแก้ไข อวนพิสูจน์สามารถกำหนดได้โดยการแปลของแคลคูลัสตามลำดับ แต่โดยทั่วไปแล้วระบบการพิสูจน์อวนไม่ได้รับการยอมรับเช่นนี้เว้นแต่ว่ามันจะถูกจัดให้มีเกณฑ์ความถูกต้องเช่นชุดของหลักการทางทฤษฎีกราฟที่อธิบายลักษณะของกราฟที่ได้จากการแปล หลักฐานแคลคูลัสตามลำดับ เหตุผลในการกำหนดเกณฑ์ความถูกต้องคือภาษากราฟิกฟรีที่สร้างขึ้นโดยชุดของตัวสร้างเครือข่ายพิสูจน์ (เรียกว่าลิงก์) มี "กราฟมากเกินไป" ในแง่ที่ว่ากราฟบางตัวไม่สอดคล้องกับหลักฐานใด ๆ ความเกี่ยวข้องของวิธีการเกณฑ์ความถูกต้องมักจะเข้าใจผิดอย่างสมบูรณ์ มันเป็นสิ่งสำคัญเพราะมันให้คำจำกัดความที่ไม่ใช่การเหนี่ยวนำของสิ่งที่เป็นหลักฐานให้มุมมองที่แตกต่างกันอย่างน่าตกใจกับธรรมชาติของการหักเงิน ความจริงที่ว่าการจำแนกลักษณะไม่อุปนัยมักถูกวิพากษ์วิจารณ์ในขณะที่มันเป็นสิ่งที่น่าสนใจ แน่นอนว่ามันไม่ง่ายที่จะแก้ไขให้เป็นทางการ แต่อีกครั้งนี่คือจุดแข็งของมัน: มุ้งพิสูจน์จะให้ข้อมูลเชิงลึกที่ไม่สามารถใช้งานได้ผ่านมุมมองอุปนัยปกติในการพิสูจน์และข้อกำหนด ทฤษฎีพื้นฐานสำหรับพิสูจน์อวนคือทฤษฎีบทต่อเนื่องซึ่งบอกว่ากราฟใด ๆ ที่ตอบสนองความถูกต้องของเกณฑ์สามารถถูกนำมาใช้เป็นตัวอย่างแคลคูลัสตามลำดับ (แปลกลับไปที่กราฟที่ถูกต้อง)

ผมขอสรุปว่ามันไม่แม่นยำที่จะบอกว่าอวนที่พิสูจน์แล้วนั้นเป็นรุ่นคลาสสิกและเชิงเส้นของการหักตามธรรมชาติ ประเด็นก็คือว่าพวกเขาแก้ปัญหา (หรือพยายามที่จะแก้ไข) ปัญหาของตัวตนของการพิสูจน์และการหักตามธรรมชาติประสบความสำเร็จในการแก้ปัญหาเดียวกันสำหรับตรรกะปรีชาน้อยที่สุด แต่อวนพิสูจน์สามารถทำได้เช่นกันสำหรับระบบ intuitionistic และระบบที่ไม่ใช่เชิงเส้น ที่จริงแล้วมันทำงานได้ดีกว่าสำหรับระบบ intuitionistic กว่าระบบคลาสสิค

$-A$$A$$-A$$A$ตรรกะคลาสสิกและตรรกะเชิงเส้นมีความสมมาตรในแง่นี้ ตรรกะปรีชาไม่ได้

จิราร์ดสังเกตว่าการหักธรรมชาตินั้นไม่สมมาตรด้วยวิธีนี้ นั่นคือเหตุผลที่มันตรงกับตรรกะของสัญชาตญาณ การพิสูจน์มุ้งแสดงให้เห็นถึงความพยายามของกิราร์ดในการคิดค้นสมมาตรรูปแบบของการหักตามธรรมชาติ

$\land\to$จากแคลคูลัสตามลำดับไปยังการหักตามธรรมชาติ . จากนั้นภาคผนวกของ Lafont แนะนำอวนพิสูจน์ในจิตวิญญาณเดียวกัน มันจะตรงไปตรงมามากขึ้นหรือน้อยลงที่จะขยาย homomorphism ของส่วนที่ 5.3-4 ให้เป็นหนึ่งระหว่างเชิงตรรกะแคลคูลัสเชิงเส้นเชิงลำดับและอวนเชิงตรรกะลอจิกเชิงเส้น (อย่างน้อยสำหรับชิ้นส่วน multiplicative)

$\Gamma \vdash A$$\vdash \Gamma^\perp, A$

สิ่งที่ฉันพลาดในคำตอบดั้งเดิมของฉัน: มุ้งพิสูจน์เป็นวิธีการเขียนหลักฐานและเรารู้ว่าพิสูจน์เป็นโปรแกรม ดังนั้นการพิสูจน์อวนจึงเป็นวิธีการเขียนโปรแกรม

สัญกรณ์การทำงานแบบดั้งเดิมสำหรับโปรแกรมการเขียนไม่สมมาตรเช่นเดียวกับการหักตามธรรมชาติคือ ดังนั้นพิสูจน์อวนชี้ไปที่วิธีการเขียนโปรแกรมในรูปแบบสมมาตร นั่นคือวิธีการที่แคลคูลัสป้อนรูปภาพ

อีกวิธีหนึ่งในการแสดงความสมมาตรก็คือผ่านการเขียนโปรแกรมลอจิกซึ่งฉันได้สำรวจในสองเอกสาร: รากฐานที่พิมพ์สำหรับโปรแกรมลอจิกทิศทางและด้านลำดับขั้นสูงของการเขียนโปรแกรมลอจิก

ฉันมุ่งเน้นไปที่วิธีพิสูจน์อวนเกี่ยวข้องกับแคลคูลัสตามลำดับทำให้สิ่งที่มีไดนามิกมากขึ้น

หลักฐานการพิสูจน์แคลคูลัสเรียงตามลำดับที่เป็นนามธรรม: ตาข่ายพิสูจน์แทนชุดของการพิสูจน์แคลคูลัสตามลำดับ ตาข่ายพิสูจน์ลืมความแตกต่างที่ไม่สำคัญระหว่างการพิสูจน์แคลคูลัสตามลำดับ (เช่นสูตรที่ถูกย่อยด้านล่างซึ่ง) ทฤษฎีบทที่สำคัญที่นี่คือ "ลำดับ" ซึ่งแปลงหลักฐานพิสูจน์เป็นหลักฐานแคลคูลัสตามลำดับ

ส่วนใหญ่เกี่ยวข้องกับส่วน "วิธีที่พวกเขาทำงานแบบคำนวณ" ของคำถามของคุณ วิธีหนึ่งที่จะเข้าใจมุ้งพิสูจน์ได้จากมุมมองการคำนวณคือการมองการตีความที่เป็นรูปธรรมมากขึ้นเล็กน้อย (เช่น. เกี่ยวกับพีชคณิตกระบวนการ)

คุณอาจจะสนใจในสิ่งต่อไปนี้:

• กระดาษโดย Abramsky (ส่วน CLL ในการแสดงหลักฐาน): การคำนวณการตีความเชิงเส้นลอจิก กระดาษนี้ยังนำเสนอผลลัพธ์บางอย่างที่ใกล้เคียงกับคนที่เกี่ยวข้องสำหรับมุ้งพิสูจน์ดังนั้นอาจช่วยในด้านที่สองของคำถามของคุณ

• กระดาษโดยฮอนด้าและองค์ซึ่งแสดงให้เห็นว่าเป็นชนิดที่เฉพาะเจาะจงของตาข่ายหลักฐานที่เรียกว่า Polarized ตาข่ายหลักฐานสอดคล้องกับกระบวนการ Pi-แคลคูลัสและที่เป็นที่กล่าวถึงข้างต้นโดยมาร์ตินเบอร์เกอร์: จดหมายที่แน่นอนระหว่างพิมพ์ปี่แคลคูลัสและ proof- ขั้ว อวน

• (ที่นี่ฉันลงโฆษณางานของตัวเองอย่างไร้ยางอาย) ร่าง: Proof Nets ในแบบฟอร์มพีชคณิตกระบวนการ

นอกจากนี้ยังมีงานบางส่วนที่เกี่ยวข้องกับมุ้งพิสูจน์และแคลคูลัสแลมบ์ดาซึ่งให้สัญชาติญาณอย่างมาก ตัวอย่างเช่นต่อไปนี้โดย Delia Kesner และStéphane Lengrand:

• ตัวดำเนินการทรัพยากรสำหรับ calcul-แคลคูลัส

คุณอาจสนใจงานประเภทนี้ (เน้นในเชิงทฤษฎี) ซึ่งอาศัยโครงสร้างการพิสูจน์เพื่อพิสูจน์รายละเอียดเกี่ยวกับคุณสมบัติการทำให้เป็นมาตรฐานที่แข็งแกร่งของ LL โดย Michele Pagani และ Lorenzo Tortora de Falco

• คุณสมบัติการทำให้เป็นมาตรฐานที่แข็งแกร่งสำหรับลอจิกเชิงเส้นอันดับสอง (บทความนี้มีแผนที่ที่ดีของทฤษฎีบทที่สำคัญ)

โดยทั่วไปแล้วทฤษฎีบทใดที่ควรศึกษา ฉันแทบจะไม่ได้อำนาจ แต่คุณอาจต้องการดู "Sequentialisation" (เกี่ยวข้องกับ Proof Nets และ Sequent Proofs; ดูกระดาษ TCS ต้นฉบับบน LL) และหลักฐาน Normalization ที่แข็งแกร่ง (เกี่ยวข้องมากกว่าที่คาดไว้ แต่สำคัญมาก ทฤษฎีบท PN เกี่ยวข้องกับมัน [หรือใช้เพื่อพิสูจน์มัน])

หากคุณคุ้นเคยกับการโฟกัสคุณอาจสนใจบทความนี้โดย Andreoli:

• การมุ่งเน้นและการพิสูจน์อวนในตรรกะเชิงเส้นและไม่สลับกัน

หวังว่านี่จะช่วยได้ อีกครั้งการอ้างอิงเหล่านี้ไม่ครบถ้วนสมบูรณ์จริงๆ

สุดยอด Dimitris

เมื่อไม่นานมานี้มีงานที่น่าสนใจเกี่ยวกับการสร้างความสัมพันธ์ระหว่างการพิสูจน์สุทธิและการคำนวณนิ่วโดยเน้นการใช้ตัวแปร "ที่เน้นหลายจุด" ซึ่งคุณอาจมีรูซ้ายหลายรูพร้อมกัน หากคุณเลือกแคลคูลัสขวาที่สุดที่มุ่งเน้นการพิสูจน์สามารถสอดคล้องกับ MLL มุ้งหลักฐานหรือในตรรกะคลาสสิกที่จะพิสูจน์การขยายตัว ( มอร์ฟระหว่างการขยายตัวพิสูจน์และ Multi-Focused พิสูจน์ Sequent , Kaustuv Chaudhuri สเตฟาน Hetzl และเดลมิลเลอร์ 2013)

คุณสามารถตรวจสอบกระดาษของฉัน " การสำรวจตาข่ายพิสูจน์และเมทริกซ์สำหรับ logics substructural "

นามธรรม:

บทความนี้เป็นการสำรวจของรูปแบบการพิสูจน์ "บีบอัด" สองรูปแบบ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {วิธีการเมทริกซ์} \ \ \ \ \ \ \ \ ที่เน้น \ \ \ \ \ \ \ \ \ {พิสูจน์ตาข่าย} \ \ ระบบแลมเบคแบบไม่เกี่ยวข้อง การรักษาใหม่ของมุ้งพิสูจน์สำหรับหลังมีให้ คำอธิบายของตาข่ายพิสูจน์และเมทริกซ์จะได้รับในรูปแบบเหมือนกันตามลำดับเพื่อให้คุณสมบัติของโครงร่างสำหรับ logics ต่างๆสามารถเปรียบเทียบได้อย่างง่ายดาย