ความซับซ้อนของการแยกตัวประกอบในเขตข้อมูลตัวเลข

สิ่งที่ทราบเกี่ยวกับความซับซ้อนของการคำนวณของจำนวนเต็มแฟในจำนวนฟิลด์ทั่วไป? โดยเฉพาะอย่างยิ่ง:

1. กว่าจำนวนเต็มเราแสดงจำนวนเต็มผ่านการขยายไบนารีของพวกเขา การเป็นตัวแทนแบบอะนาล็อกของจำนวนเต็มในฟิลด์หมายเลขทั่วไปคืออะไร
2. เป็นที่ทราบกันหรือไม่ว่าการเริ่มต้นเหนือฟิลด์หมายเลขนั้นเป็น P หรือ BPP
3. อัลกอริธึมที่รู้จักกันดีที่สุดสำหรับการรับแฟล็กฟิลด์หมายเลข (ทำ$\exp \sqrt n$และ (เห็นได้ชัด)$\exp n^{1/3}$ขั้นตอนวิธีการขยายจาก$\mathbb{Z}$?) นี่แฟหมายถึงการหาตัวแทนของตัวเลขบางคน (แสดงโดย$n$บิต) เป็นผลิตภัณฑ์ของจำนวนเฉพาะ
4. ความซับซ้อนของการค้นหา factorizations ทั้งหมดของจำนวนเต็มในเขตข้อมูลจำนวนคืออะไร? ในการนับจำนวนแฟคทอเรียลที่แตกต่างกันนั้นมีเท่าไหร่?
5. กว่า$\mathbb{Z}$เป็นที่รู้จักกันว่าการตัดสินใจว่าจำนวนที่กำหนดมีปัจจัยในช่วง$[a,b]$เป็น NP-ยาก เหนือวงแหวนของจำนวนเต็มในฟิลด์จำนวนจะเป็นไปได้ไหมที่เราจะค้นพบว่ามีปัจจัยสำคัญที่บรรทัดฐานอยู่ในช่วงเวลาใดช่วงหนึ่งแล้วหรือไม่?
6. มีการแยกตัวประกอบในเขตข้อมูลหมายเลขใน BQP หรือไม่

ข้อสังเกตแรงจูงใจและการปรับปรุง

แน่นอนความจริงที่ว่าการแยกตัวประกอบไม่แตกต่างกันไปตามจำนวนเขตข้อมูลเป็นสิ่งสำคัญที่นี่ คำถาม (โดยเฉพาะตอนที่ 5) ได้รับแรงบันดาลใจจากการโพสต์บล็อกผ่าน GLL (ดูคำพูดนี้ ) และจากคำถาม TCSexchange ก่อนหน้านี้ ผมนำเสนอก็ยังบล็อกของฉันที่ Lior Silverman นำเสนอคำตอบอย่างละเอียด

คำตอบต่อไปนี้ถูกโพสต์เป็นความคิดเห็นในบล็อกของ Gil

(1) ให้เป็นช่องหมายเลขที่เราคิดมี monic น้อยพหุนาม[x] จากนั้นเราสามารถเป็นตัวแทนองค์ประกอบของวงแหวนจำนวนเต็มเป็นพหุนามในหรือในแง่ของพื้นฐานสำคัญ - ทั้งสองมีความเท่าเทียมกันα f ∈ Z [ x ] O K$K=\mathbb{Q}(\alpha)$$\alpha$$f\in\mathbb{Z}[x]$$\mathcal{O}_K$$\alpha$

ตอนนี้แก้ไขตาม (1) มีการลดเวลาพหุนามจากปัญหาที่เกิดขึ้นในช่วงในการแก้ไขปัญหาใน{Q} ในการตรวจสอบว่าการคำนวณ (เช่นการตัดอุดมคติด้วยหรือการแยกตัวประกอบพหุนาม ) สามารถทำได้ในเวลาพหุนามเห็นหนังสือโคเฮนที่อ้างถึงในคำตอบก่อนหน้าK Q Z$K$$K$$\mathbb{Q}$$\mathbb{Z}$$p$

ในฐานะที่เป็น precomputation สำหรับแต่ละนายกเหตุผลหารจำแนกของ (นั่นคือการจำแนกของ ) พบว่าช่วงเวลาทั้งหมดของนอนข้างต้นหนα f O K$p$$\alpha$$f$$\mathcal{O}_K$$p$

(2) สำหรับการทดสอบขั้นต้นให้อุดมคติปล่อยเป็นเช่นนั้น (สามารถคำนวณได้ในเวลาพหุนามและจำนวนบิตของคือพหุนามในอินพุต) ตรวจสอบเวลาพหุนามว่าเป็นไพร์มหรือไม่ ถ้าไม่ใช่อย่างนั้นนั้นไม่สำคัญ ถ้าใช่แล้วหาจำนวนเฉพาะของนอนข้างต้นทั้งจาก precomputation หรือโดยแฟสมัยหน้าไม่ว่าในกรณีใดถ้าเป็นนายกมันจะต้องเป็นหนึ่งในช่วงเวลาเหล่านั้น p ∈ Z a ∩ Z = p Z p p a O K p f p $\mathfrak{a}\triangleleft\mathcal{O}_K$$p\in\mathbb{Z}$$\mathfrak{a}\cap\mathbb{Z} = p\mathbb{Z}$$p$$p$$\mathfrak{a}$$\mathcal{O}_K$$p$$f$$p$$\mathfrak{a}$

(3a), (6a) สำหรับแฟคตอริ่งเข้าสู่ช่วงเวลาได้รับอุดมคติค้นหาบรรทัดฐาน{a}] อีกครั้งนี้สามารถพบได้ในเวลาพหุนามและดังนั้นจึงไม่ใหญ่เกินไป ตัวคูณใน (ไม่ว่าจะคลาสสิกหรือใช้อัลกอริทึมของ Shor ขึ้นอยู่กับการลดที่คุณต้องการ) นี้จะช่วยให้รายการเฉพาะเหตุผลแบ่งและด้วยเหตุนี้ในขณะที่ 2 เราสามารถหารายชื่อเฉพาะของหารYตั้งแต่นี่ทำให้รายการแบ่งเฉพาะ y = N K Q ( a ) = [ O K : a ] y Z y O K y a | y O K $\mathfrak{a}\triangleleft\mathcal{O}_K$$y = N^K_\mathbb{Q}(\mathfrak{a}) = [\mathcal{O}_K:\mathfrak{a}]$$y$$\mathbb{Z}$$y$$\mathcal{O}_K$$y$$\mathfrak{a} | y\mathcal{O}_K$$\mathfrak{a}$. ในที่สุดมันก็เป็นเรื่องง่ายที่จะกำหนดเลขชี้กำลังที่นายกแบ่งอุดมคติในอุดมคติ

(3b), (6b) แต่กิลต้องการแยกตัวประกอบออกเป็น irreducibles ไม่ใช่เข้าสู่ช่วงเวลา ปรากฎว่าได้รับตัวประกอบที่สำคัญของก็เป็นไปได้อย่างมีประสิทธิภาพสร้างหนึ่งตัวประกอบของเป็นองค์ประกอบที่ลดลงของ\สำหรับสิ่งนี้ให้เป็นหมายเลขคลาสและโปรดทราบว่ามันเป็นไปได้ที่จะคำนวณคลาสอุดมคติของอุดมคติในอุดมคติได้อย่างมีประสิทธิภาพ ทีนี้เพื่อหาตัวหารที่ไม่สามารถลดได้ของเลือกอุดมคติสำคัญ (อาจมีการซ้ำซ้อน) จากการแยกตัวประกอบของ x O K h K x h K x x h $x\mathcal{O}_K$$x$$\mathcal{O}_K$$h_K$$x$$h_K$$x$. ตามหลักการของนกพิราบรูเซตย่อยบางส่วนของจำนวนเหล่านั้นคูณกับตัวตนในกลุ่มชั้นเรียน หาเซตย่อยที่น้อยที่สุด ผลิตภัณฑ์ของมันคืออุดมคติที่สำคัญที่สร้างขึ้นโดยองค์ประกอบลดลง หารด้วยองค์ประกอบนี้ลบอุดมคติที่เกี่ยวข้องออกจากการแยกตัวประกอบและทำซ้ำ หากการแยกตัวประกอบมีองค์ประกอบน้อยกว่าใช้ชุดย่อยน้อยที่สุดของปัจจัยทั้งหมด$x$$h_K$

(4) ฉันคิดว่าเป็นไปได้ที่จะนับความจริงเป็น irreducibles แต่นี่เป็น combinatorics พิเศษ - โปรดให้เวลาฉันในการทำงาน ในอีกทางหนึ่งการพิจารณาทั้งหมดของพวกเขาไม่น่าสนใจในบริบทของอัลกอริธึมการแยกตัวประกอบแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลย่อย

(5) ฉันไม่รู้

ดังที่ Daniel กล่าวไว้คุณสามารถหาข้อมูลบางอย่างได้ในหนังสือหลักสูตร A ในทฤษฎีพีชคณิตเชิงคำนวณ ( ลิงก์ )

โดยเฉพาะอย่างยิ่งมีหลายวิธีในการเป็นตัวแทนองค์ประกอบของเขตข้อมูลตัวเลข Let เป็นช่องหมายเลขกับφคุณวุฒิปริญญาnพหุนาม monic ลดลงของZ [ ξ ] ให้θเป็นรากของใด ๆφ ที่เรียกว่าเป็นตัวแทนมาตรฐานขององค์ประกอบอัลฟ่า∈ Kเป็น tuple ( 0 , ... , n - 1 , d $K=Q[\xi]/\langle\varphi\rangle$$\varphi$$n$$\mathbb Z[\xi]$$\theta$$\varphi$$\alpha\in K$$(a_0,\dotsc,a_{n-1},d)$$a_i\in\mathbb Z$$d>0$α = $\gcd(a_0,\dotsc, a_{n-1},d)=1$