เราจะได้รายชื่อเรียงจากเมทริกซ์เรียง

ฉันสับสน ฉันต้องการพิสูจน์ว่าปัญหาในการเรียงลำดับก$n$ โดย $n$ เมทริกซ์คือแถวและคอลัมน์เรียงตามลำดับจากน้อยไปมาก $\Omega(n^2\log n)$. ฉันดำเนินการโดยสมมติว่าสามารถทำได้เร็วกว่า$n^2\log n$ และพยายามละเมิด $\log(m!)$ ขอบเขตล่างสำหรับการเปรียบเทียบที่จำเป็นในการจัดเรียงองค์ประกอบ m ฉันมีสองคำตอบที่ขัดแย้งกัน:

1. เราสามารถรับรายการเรียงลำดับของ $n^2$ องค์ประกอบจากเมทริกซ์เรียงใน $O(n^2)$ /math/298191/lower-bound-for-matrix-sorting/298199?iemail=1#298199
2. คุณไม่สามารถรับรายการที่เรียงลำดับจากเมทริกซ์ได้เร็วกว่า /programming/4279524/how-to-sort-amxn-matrix-which-has- ทุก-M-แถวของมันเรียงและ n-คอลัมน์เรียง$Ω(n^2\log(n))$

อันไหนที่ถูก?

ขอบเขตล่างถูกต้อง (2) - คุณไม่สามารถทำได้ดีกว่านี้ $\Omega(n^2 \log n)$และแน่นอน (1) ผิด ให้เรากำหนดว่าอะไรคือเมทริกซ์ที่เรียงลำดับ - มันคือเมทริกซ์ที่องค์ประกอบในแต่ละแถวและคอลัมน์จะเรียงลำดับตามลำดับที่เพิ่มขึ้น

ตอนนี้มันเป็นเรื่องง่ายที่จะตรวจสอบว่าแต่ละเส้นทแยงมุมอาจมีองค์ประกอบที่อยู่ในลำดับใด ๆ - คุณเพียงแค่ต้องทำให้พวกเขามีขนาดใหญ่พอ โดยเฉพาะอย่างยิ่งการเรียงลำดับเมทริกซ์หมายถึงการจัดเรียงแต่ละเส้นทแยงมุมเหล่านี้ $i$เส้นทแยงมุมมี $i$ รายการและเป็นเช่นนี้ $i!$การสั่งซื้อที่เป็นไปได้ ดังนั้นเมทริกซ์ที่เรียงลำดับสามารถกำหนดได้อย่างน้อย$X = \prod_{i=1}^n i!$ orderings ที่แตกต่างกัน ตอนนี้มันง่ายต่อการตรวจสอบว่า$\log_2 X = \Omega(n^2 \log n)$หมายความว่าในแบบจำลองการเปรียบเทียบ (และในขณะที่เจฟฟ์ชี้ให้เห็นด้านล่างในรูปแบบแผนภูมิการตัดสินใจแบบไบนารีใด ๆ ) อย่างน้อยนี่เป็นขอบเขตที่ต่ำกว่าในเวลาการเรียงลำดับ