กราฟที่แต่ละตัวแยกน้อยที่สุดเป็นชุดอิสระ

พื้นหลัง: Let จะมีสองจุดของกราฟไม่มีทิศทางG = ( V , E ) จุดยอดชุดเป็น -separator ถ้าและ เป็นของชิ้นส่วนเชื่อมต่อที่แตกต่างกันของGSหากไม่มีเซตย่อยที่เหมาะสมของ -separatorคือ -separator ดังนั้นคือน้อยที่สุด -separator จุดสุดยอดชุดเป็นตัวคั่น (น้อยที่สุด) ถ้ามีจุดยอดเช่นนั้น$u, v$$G=(V,E)$$S\subseteq V$$u,v$$u$$v$$G-S$$u,v$$S$$u,v$$S$$u,v$$S\subseteq V$$u, v$$S$คือ (น้อยที่สุด) -separator$u,v$

ทฤษฎีบทที่รู้จักกันดีของ G. Dirac กล่าวว่ากราฟไม่มีวัฏจักรของความยาวอย่างน้อยสี่ (เรียกว่า triangulated หรือ chordal graph) ถ้าหากตัวแยกขั้นต่ำสุดแต่ละตัวเป็น clique เป็นที่ทราบกันดีว่ากราฟสามเหลี่ยมสามารถรับรู้ได้ในเวลาพหุนาม

คำถามของฉัน:กราฟใดที่ตัวคั่นขั้นต่ำทุกชุดเป็นชุดอิสระ? กราฟเหล่านี้ศึกษาหรือไม่? และความซับซ้อนในการรู้จำของกราฟเหล่านี้คืออะไร? ตัวอย่างสำหรับกราฟดังกล่าวรวมถึงต้นไม้และรอบ

กราฟของคุณได้รับการโดดเด่นด้วยกระดาษนี้http://arxiv.org/pdf/1103.2913.pdf

แก้ไข: ในกระดาษข้างต้นจะพิสูจน์ว่ากราฟที่ทุกตัวคั่นน้อยที่สุดเป็นชุดอิสระเป็นสิ่งที่ประกอบด้วยไม่มีรอบกับคอร์ดเดียว

กราฟที่มีวงจรตรงกับคอร์ดหนึ่งไม่ได้รับการศึกษาในเชิงลึกโดย Trotignon และ Vuskovic, ทฤษฎีบทโครงสร้างสำหรับกราฟไม่มีวงจรด้วยคอร์ดไม่ซ้ำกันและผลของมัน , เจกราฟทฤษฎี 63 (2010) 31-67 ดอย จากผลของบทความนี้กราฟเหล่านี้สามารถจดจำได้ในเวลาพหุนาม (อย่างไรก็ตามบทความนี้ไม่ได้ชี้ให้เห็นการเชื่อมต่อกับตัวแยกน้อยที่สุดที่เป็นอิสระ!)

แก้ไข (17 ก.ย. 2013): เร็ว ๆ นี้ (ดูที่นี่ ), Terry Mckee อธิบายกราฟทั้งหมดที่ตัวคั่นจุดสุดยอดต่ำสุดทุกอันเป็นกลุ่มหรือชุดอิสระ ปรากฎว่าสิ่งเหล่านี้คือ '' ผลรวมของขอบ '' ของกราฟ chordal และกราฟที่ตัวคั่นจุดสุดยอดน้อยที่สุดคือชุดอิสระ

ดูเหมือนว่าการจำแนกลักษณะที่เร็วที่สุดของกราฟที่แต่ละตัวแบ่งที่น้อยที่สุดเป็นชุดอิสระปรากฏใน TA McKee "กราฟตัวคั่นอิสระ" Utilitas Mathematica 73 (2007) 217--224 นี่คือกราฟที่แม่นยำซึ่งไม่มีวงใดที่มีคอร์ดที่ไม่ซ้ำกัน

มีสองบทความใหม่ในกราฟที่ไม่มีวงจรมีคอร์ดเดียว ทั้งการจัดการส่วนใหญ่กับการระบายสีกราฟเหล่านี้: http://arxiv.org/abs/1309.2749และhttp://arxiv.org/abs/1311.1928

ในภายหลังยังให้อัลกอริทึมการรับรู้แต่เร็วขึ้นหนึ่งครั้งในเวลาO ( m n )มีอยู่ในกระดาษโดย Trotignon และ Vuskovic (อ้างถึงคำตอบโดย user13136)$O(m^2n)$$O(mn)$