ขอบเขตล่างสำหรับดีเทอร์มิแนนต์และถาวร

ในแง่ของช่องว่างล่าสุดที่ความลึก -3ผลลัพธ์ (ซึ่งเหนือสิ่งอื่นใดผลผลิต$2^{\sqrt{n}\log{n}}$ลึก 3 วงจรทางคณิตศาสตร์สำหรับ$n \times n$ปัจจัยมากกว่า$\mathbb{C}$) ฉันมีคำถามต่อไปนี้: Grigoriev และ Karpinskiพิสูจน์แล้วว่าขอบเขตล่างสำหรับการใด ๆ ลึก 3 คอมพิวเตอร์วงจรเลขคณิต ตัวกำหนดของเมทริกซ์บนฟิลด์ จำกัด (ซึ่งฉันเดาว่าจะเป็นแบบถาวร) สูตร Ryser ของสำหรับการคำนวณถาวรให้ลึก 3 วงจรเลขคณิตของขนาด(n)} นี่แสดงให้เห็นว่าผลลัพธ์มีความสำคัญอย่างยิ่งสำหรับวงจรความลึก -3 สำหรับการถาวรเหนือทุ่ง จำกัด ฉันมีสองคำถาม: n × n O ( n 2 2 n ) = 2 O ( n $2^{\Omega{(n)}}$$n \times n$$O(n^2 2^n) = 2^{O(n)}$

1) มีสูตรความลึก -3 สำหรับตัวกำหนดดีเทอร์มินัลกับสูตรของไรเซอร์สำหรับการถาวรหรือไม่?

2) ขอบเขตล่างของขนาดเลขคณิตของคอมพิวเตอร์คำนวณพหุนามดีเทอร์มิแนล \ textit {เสมอ} ให้ขอบเขตล่างสำหรับพหุนามถาวรหรือไม่ (สูงกว่าพวกมันเป็นพหุนามเดียวกัน)$\mathbb{F}_2$

แม้ว่าคำถามของฉันจะเกี่ยวกับพหุนามเหล่านี้ในฟิลด์ จำกัด แต่ฉันก็อยากจะรู้สถานะของคำถามเหล่านี้เกี่ยวกับฟิลด์ที่กำหนดเอง

ถาวรจะเสร็จสมบูรณ์สำหรับ VNP ภายใต้ p-projections เหนือฟิลด์ใด ๆ ที่ไม่มีคุณลักษณะ 2 ซึ่งจะให้คำตอบที่ดีสำหรับคำถามที่สองของคุณ หากการลดลงนี้เป็นเชิงเส้นก็จะให้คำตอบในเชิงบวกกับคำถามแรกของคุณ แต่ฉันเชื่อว่ายังคงเปิดอยู่

ในรายละเอียดเพิ่มเติม: มีพหุนามเช่นนั้นคือd e t n ( X )คือการประมาณการของp e r m q ( n ) ( Y ) , นั่นคือมีการทดแทนบางอย่างที่ส่งแต่ละตัวแปรy ฉันjเช่นกัน ไปยังตัวแปรx k ℓหรือค่าคงที่หลังจากการแทนที่นี้q ( n ) × q ( n )เป็นการคำนวณแบบถาวร$q(n)$$det_n(X)$$perm_{q(n)}(Y)$$y_{ij}$$x_{k\ell}$$q(n) \times q(n)$ปัจจัย$n \times n$

1) ดังนั้นสูตรของ Ryser ให้ผลความลึก 3 สูตร (ความลึกไม่เพิ่มขึ้นภายใต้การฉายภาพเนื่องจากการทดแทนสามารถทำได้บนประตูทางเข้า) ขนาดสำหรับดีเทอร์มิแนนต์ การอัปเดต : @Ramprasad ชี้ให้เห็นในความคิดเห็นนี่เป็นเพียงบางสิ่งที่ไม่จำเป็นหากq ( n ) = o ( n log n )เนื่องจากมีสูตรความลึก 2 ระดับเล็กน้อยn ⋅ n ! = 2 O ( n log n $2^{O(q(n))}$$q(n) = o(n \log n)$$n \cdot n! = 2^{O(n \log n)}$สำหรับเดชอุดม ฉันอยู่กับ Ramprasad ในการที่ดีที่สุดที่ฉันรู้คือการลดผ่าน ABPS ซึ่งผลตอบแทนถัวเฉลี่ย )$q(n)=O(n^3)$

2) ถ้าสามารถคำนวณได้อย่างถาวร - อีกครั้งในบางลักษณะที่ไม่ใช่ 2 - ด้วยวงจรขนาดs ( m )ดังนั้นn × n ดีเทอร์มิแนนต์สามารถคำนวณได้โดยวงจรขนาดs ( q ( n ( n) ) ) ดังนั้นขอบเขตล่างของb ( n )สำหรับขนาดวงจรสำหรับd e t nให้ค่าขอบเขตล่างของb ( q - 1 ( n ) )กับขนาดวงจรสำหรับถาวร (นั่นคือ$m \times m$$s(m)$$n \times n$$s(q(n))$$b(n)$$det_n$$b(q^{-1}(n))$ผกผันไม่ใช่ 1 / q ( n ) ) ดังกล่าวข้างต้น Q ( n ) = O ( n 3 )อัตราผลตอบแทนข( n 1 / 3 )ดัดผูกพันลดลงจาก B ( n )เดชอุดมขอบเขตล่าง$q$ $1/q(n)$$q(n)=O(n^3)$$b(n^{1/3})$$b(n)$

มันเป็นไปได้มากที่ดีเทอร์มิแนนต์คือยากกว่าถาวร พวกเขาเป็นพหุนามทั้งสอง, Waring Rank (ผลรวมของพลัง n ของรูปแบบเชิงเส้น) ของถาวรคือประมาณ 4 ^ n, Chow Rank (ผลรวมของรูปแบบเชิงเส้น) ประมาณ 2 ^ n เห็นได้ชัดว่าอันดับ Waring \ leq 2 ^ {n-1} Chow Rank สำหรับดีเทอร์มิแนนต์ตัวเลขเหล่านั้นเป็นขอบเขตที่ต่ำกว่า ในทางกลับกันฉันได้พิสูจน์เมื่อครู่ที่แล้วว่าอันดับของ Waring ของดีเทอร์มิแนนต์ถูกล้อมรอบด้วย (n + 1)! และนี่อาจใกล้เคียงกับความจริง