เกี่ยวกับ Inverse 3-SAT

บริบท : Kavvadias และ Sideriได้แสดงให้เห็นว่าปัญหา Inverse 3-SAT นั้นเป็น coNP Complete: เมื่อได้รับชุดของแบบจำลองบนตัวแปรมีสูตร 3-CNF ที่เป็นชุดแบบจำลองที่แน่นอนหรือไม่? สูตรผู้สมัครทันทีเกิดขึ้นซึ่งเป็นการรวมกันของข้อ 3 ข้อที่ทุกรุ่นพอใจใน $\phi$ $n$ $\phi$ $\phi$ φ

เนื่องจากมันมีทั้งหมด 3 ข้อมันหมายถึงสูตรผู้สมัครนี้สามารถเปลี่ยนเป็นสูตรที่เทียบเท่าซึ่งเป็น 3 ปิดภายใต้ความละเอียด - ปิด 3 ของสูตรเป็นชุดย่อยของการปิดภายใต้ความละเอียดที่มีเพียงส่วนของ ขนาด 3 หรือน้อยกว่า สูตร CNF ถูกปิดตามมติถ้า resolvents ที่เป็นไปได้ทั้งหมดจะวิทยโดยข้อของสูตร - ข้อวิทยโดยประโยคถ้าตัวอักษรทั้งหมดของอยู่ใน 1 $F_{\phi}$ $c_1$ $c_2$ $c_2$ $c_1$

ป.ร. ให้ไว้ , การกำหนดบางส่วนของตัวแปรดังกล่าวว่าไม่ได้เป็นส่วนหนึ่งของรูปแบบของการใด ๆφ $I$ $I$ $\phi$

โทรหาสูตรที่เกิดจากการใช้เพื่อ : ข้อใด ๆ ที่มีตัวอักษรซึ่งจะประเมินให้ภายใต้ถูกลบออกจากสูตรและตัวอักษรใด ๆ ที่ประเมินภายใต้ $F_{\phi|I}$ $I$ $F_{\phi}$ $true$ $I$ $false$ $I$ ถูกลบออกจากคำสั่งทั้งหมด .

โทรหาสูตรที่ได้มาจากโดยความเป็นไปได้ทั้งหมด 3 ข้อ จำกัด ที่เป็นไปได้ (ซึ่งตัวแก้ไขและตัวถูกดำเนินการมีได้สูงสุด 3 ตัวอักษร) และการประกาศ $G_{\phi|I}$ $F_{\phi|I}$

คำถาม : Is ปิดไป 3 ครั้ง $G_{\phi|I}$

— Xavier Labouze
แหล่งที่มา

"P = NP"? จาก K&S fig1 "รุ่น" มีความคล้ายคลึงกับ bitvectors คำถามจำเป็นต้องกำหนดอย่างชัดเจนว่าแบบจำลองเหล่านั้นมีการนำเสนออย่างไร (และอาจจะปรับปรุงในแง่ของ bitvector ที่น่าพอใจคำตอบจะชัดเจนยิ่งขึ้น?) ถ้าวิธีแก้ปัญหานั้นถูกแทนด้วย bitvectors สำหรับบางสูตร 3SAT นั้นมี bitvectors ที่น่าพอใจจำนวนมากที่อธิบายขนาดของสูตร นั่นคือ "การระเบิดขนาด" ที่คาดหวัง ขวา? บางส่วนเอกสารอื่น ๆ เช่นการพิสูจน์ธรรมชาตินอกจากนี้ยังหมายถึง "ความจริงตาราง" ของสูตรซึ่งจะเป็นประโยชน์ในการที่เกี่ยวข้องกับมันเพื่อความพึงพอใจของ bitvectors ....

— vzn

ชัดเจนหรือไม่ว่าขั้นตอนที่สามสามารถคำนวณได้อย่างมีประสิทธิภาพ? (นั่นคือการตัดสินใจว่ามีการมอบหมายบางส่วนที่

ไม่ได้อยู่ใน

เช่นนั้นที่

ไม่ได้มีประโยคที่ว่างเปล่า) ฉันจะต้องหายไปบางสิ่งบางอย่าง แต่นี้ไม่ชัดเจนสำหรับฉัน

I

$I$

ϕ

$\phi$

F_{ϕ | I}

$F_{\phi |I}$

— Daniel Apon

การแก้ไขมันอาจจะเกี่ยวข้องกับ coNP = P มากขึ้น? หรืออาจจะเป็น coNP = NP? ไม่แน่ใจ ด้วยวิธีนี้ยังทำให้ฉันนึกถึงคู่มากที่สามารถ "แทน" รุ่นด้วย DNF ดูตัวอย่างการอ้างอิงนี้เกี่ยวกับการทำให้เป็นคู่โดย Bioch / Ibaraki

— vzn

@Daniel, IMHO ใช่ขั้นตอนที่สามสามารถคำนวณได้อย่างมีประสิทธิภาพตราบเท่าที่ขั้นตอนที่ 1 และ 2 สามารถ: เนื่องจากชุดของการมอบหมายบางส่วนที่ไม่ได้อยู่ใน

นั้นมีขนาดที่ จำกัด จึงง่ายต่อการคำนวณ

(สำหรับทุกคน

ไม่ได้อยู่ใน

) และตรวจสอบว่าคำสั่งที่ว่างเปล่าที่อยู่ในนั้น ข้อผิดพลาดที่เป็นไปได้จะเกิดขึ้นในขั้นตอนที่ 1 (ฉันเห็นข้อผิดพลาดที่ฉันพยายามแก้ไข)

ϕ

$\phi$

F_{ϕ | I}

$F_{\phi|I}$

I

$I$

ϕ

$\phi$

— Xavier Labouze

@XavierLabouze: ให้ดูที่กระดาษอย่างรวดเร็วเพียงแค่ทราบ: หลักฐานที่พิสูจน์ได้ว่า

สามารถคำนวณได้ในเวลาพหุนามไม่ชัดเจนเกินไป (สำหรับฉัน)

F_{ϕ}

$F_\phi$

— Marzio De Biasi

คำตอบ:

คำตอบ: ใช่ (แม้ว่าจะเป็นส่วนย่อยของบางรุ่นของ ) $I$ $\phi$

ให้ชุดของข้อที่มาจากโดยความเป็นไปได้ที่มีอยู่อย่าง จำกัด ทั้งหมด 3 ข้อ จำกัด ( เป็นการปิดแบบ จำกัด 3 ครั้ง) ได้รับประโยคโดยนัยโดยมันมีอยู่อย่างน้อยหนึ่งส่วนย่อยของข้อของแปลว่า . ชื่อ เช่นชุดย่อย $R_{|I}$ $F_{\phi} \cup F_{\phi|I}$ $R_{|I}$ $F_{\phi}\cup F_{\phi|I}$ $c$ $F_{\phi}$ $R_{|I}$ $c$ $R_c$

ให้คุณสมบัติต่อไปนี้: สำหรับทั้งหมด โดยนัยเช่นนั้น , $P(k)$ $c$ $F_{\phi}$ $|c_{|I}| \le 3$

เช่นที่วิทยด้วยประโยคบางส่วน $[\exists R_c \subseteq R_{|I}$ $|R_c|\le k \Rightarrow c_{|I}$ $\in G_{\phi|I}]$

การเกิดซ้ำที่นี่จะเริ่มต้นขึ้น รับโดยนัยโดยเช่นนั้นเช่น 3 ปิดผม $c$ $F_{\phi}$ $|c_{|I}|\le 3$ $c_{|I} \in$ $F_{\phi|I}$

1ถ้าจากนั้น ( subsumes ) และเป็นวิทยโดย (โปรดทราบว่าส่วนใดของ $k=1$ $\exists R_c \subseteq R_{|I} / |R_c|=1$ $R_c=\{d\}$ $d \in F_{\phi}\cup F_{\phi|I}$ $c$ $c_{|I}$ $d_{|I} \in F_{\phi|I}$ $F_{\phi|I}$ ถูกรวมย่อยโดยประโยคบางส่วนของ ) ดังนั้น ) $G_{\phi|I}$ $P(1)$
สมมติว่าสำหรับ 1ถ้าเช่นที่ (และอื่น ๆ ไม่มีขนาด 1 ดังกล่าวว่าและ ) จากนั้นสมมติว่าที่ $P(k)$ $k\ge1$ $\exists R_{c}\subseteq R_{|I}$ $|R_{c}|\le k+1$ $R_{c}$ $c\notin F_{\phi}$ $|c|>3$ $c=(\alpha \beta \gamma L_{I})$ $\alpha ,\beta ,\gamma$ เป็นตัวอักษรที่ไม่ได้ถูกกำหนดโดยและเป็นเซตย่อยของตัวอักษรทั้งหมดประเมินเป็น 0 ภายใต้เช่นกับไม่แตกต่างจำเป็นต้อง $I$ $L_{I}$ $I (L_I \neq \varnothing)$ $c_{|I}=(\alpha \beta \gamma)$ $\alpha ,\beta ,\gamma$
ลบส่วนจากเช่นนั้นกล่าวอีกอย่างหนึ่งว่ามีตัวอักษรจาก (อย่างน้อยหนึ่งประโยคในตั้งแต่ ) และ 2 $d_{i}$ $R_{c}$ $|d_{i|I}|<|d_{i}|\le3$ $d_{i}$ $L_{I}$ $R_{c}$ $L_I \neq \varnothing$ $|d_{i|I}|\leq 2$
ขนาดของส่วนที่เหลืออีกชุดเป็น kถ้าประโยคบางบอกเป็นนัย ๆ โดย (ที่เป็นส่วนหนึ่งของตัวอักษรทั้งหมดประเมินถึง 0 ภายใต้ ) แล้วและ $R_{c}\setminus d_{i}$ $\le k$ $c'=(\alpha \beta \gamma L'_{I})$ $R_{c}\setminus d_{i}$ $L'_{I}$ $I$ $|c'_{|I}|=3$ เช่นที่. โดย,วิทยแล้วโดยข้อบางชักนำสำหรับค $\exists R_{c'}=R_{c}\setminus d_{i}\subseteq R_{|I}$ $|R_{c'}|\le k$ $P(k)$ $c'_{|I}=(\alpha \beta \gamma)$ $\in G_{\phi|I}$ $P(k+1)$ $c$
ถ้ามีหรือหรือจากนั้นไม่มีประโยชน์ที่จะบ่งบอกถึง [ประโยคบาง ค จากนั้นหมายถึงทำให้เกิดตามที่แสดงก่อนหน้านี้ $d_{i|I}$ $\bar \alpha$ $\bar \beta$ $\bar \gamma$ $d_{i|I}$ $c$ $R_{c}\setminus d_{i}$ $c$ $P(k+1)$
ถ้าย่อยแล้วเป็นที่พอใจสำหรับค $d_{i|I}\in F_{\phi|I}$ $c_{|I}$ $P(k+1)$ $c$
ถ้าไม่ได้เพิ่มและไม่ได้มีหรือหรือแล้วทั้งหรือหรือที่และ $d_{i|I}$ $c_{|I}$ $\bar \alpha$ $\bar \beta$ $\bar \gamma$ $d_{i|I}=(x)$ $d_{i|I}=(ax)$ $d_{i|I}=(xy)$ $x$ $y$ $\notin\{\alpha \beta \gamma \}$ และไม่ได้กำหนดโดยและ } $I$ $a \in\{\alpha \beta \gamma \}$
- ถ้าแล้วหมายถึง (จำได้ว่าหมายความบางข้อหมายถึงหมายความประโยคซึ่ง subsumes ) ตั้งแต่ความละเอียดใด ๆ กับเป็นตัวถูกดำเนินการลบจากตัวถูกดำเนินการอื่นแล้วไม่มีข้อของ $d_{i|I}=(x)$ $R_{c}\setminus d_{i}$ $(\bar{x}\alpha \beta \gamma L_{I})$ $C$ $C$ $d_{i|I}=(x)$ $\bar{x}$ $R_{c}\setminus d_{i}$ มี (ตั้งแต่ซึ่งเป็นการปิดแบบ จำกัด 3 ครั้งของ ) จากนั้นหมายถึงชักนำตามที่แสดงใน Point (4) $\bar x$ $R_{c}\setminus d_{i} \subseteq R_{|I}$ $F_{\phi}\cup F_{\phi|I}$ $R_{c}\setminus d_{i}$ $(\alpha \beta \gamma L_{I})$ $P(k+1)$
- ถ้าแล้วหมายถึง )แทนที่โดยในแต่ละ clause ที่เป็นไปได้ของ (ถ้า clause ใหม่ถูก subsumed โดย clause ใน , ให้ clum subsuming clause แทนอย่างไรก็ตาม clause ที่อยู่ใน ) ชื่อ $d_{i|I}=(ax)$ $R_{c}\setminus d_{i}$ $(\bar{x}\alpha \beta \gamma L_{I})$ $\bar{x}$ $a$ $R_{c}\setminus d_{i}$ $R_{|I}$ $R_{|I}$ ชุดผลลัพธ์ ( ) จากนั้นหมายถึงชักนำดังกล่าวข้างต้น $R_{c,d_{i}}$ $R_{c,d_{i}}\subseteq R_{|I}$ $R_{c,d_{i}}$ $(\alpha \beta \gamma L_{I})$ $P(k+1)$
- ถ้าแล้วหมายถึงและ )แทนที่ด้วยในแต่ละส่วนคำสั่งที่เป็นไปได้ของ (ดังกล่าวข้างต้นถ้าประโยคใหม่ได้รับการย่อยโดยข้อบางส่วนใน $d_{i|I}=(xy)$ $R_{c}\setminus d_{i}$ $(\bar{x}\alpha \beta \gamma L_{I})$ $(\bar{y}\alpha \beta \gamma L_{I})$ $\bar{x}$ $y$ $R_{c}\setminus d_{i}$ $R_{|I}$ ให้รักษาประโยคย่อยแทน) ชื่อชุดผลลัพธ์ ( ) จากนั้นหมายถึง )เพราะมันหมายถึงยังแล้วมันหมายถึง resolvent ชักนำ $R_{c,d_{i}}$ $R_{c,d_{i}}\subseteq R_{|I}$ $R_{c,d_{i}}$ $({y}\alpha \beta \gamma L_{I})$ $(\bar{y}\alpha \beta \gamma L_{I})$ $(\alpha \beta \gamma L_{I})$ ) $P(k+1)$

จากการเกิดซ้ำนี้ประโยคใด ๆการปิด 3 ของวิทยด้วยประโยคบางส่วน (วิธีอื่นถือเช่นกัน) จากนั้นสอดคล้องกับการปิด 3 ของผม $\in$ $F_{\phi |I}$ $\in G_{\phi|I}$ $G_{\phi|I}$ $F_{\phi |I}$

— Xavier Labouze
แหล่งที่มา

-2

ผมไม่เห็นว่าสามารถคำนวณได้ในเวลาพหุนามเพราะทำมติตัวเองต้องใช้เวลาในการชี้แจง (ในกรณีที่เลวร้ายที่สุด) ตัวอย่างเช่นสมมติว่าผู้สมัครของคุณ 3-CNF สูตรมีดังนี้: $F_\phi$ $F_1$

F_{1} := {{a, b, c}, {d, e, \neg c}, {a, \neg b, f}, {d, e, \neg f}}

$F_1 := \{ \{a, b, c\}, \{d, e, \neg c\}, \{a, \neg b, f\}, \{d, e, \neg f\}\}$ จากนั้นผลลัพธ์ของการแก้ปัญหาใน

คือสูตร

ด้านล่าง:

F_{1}

$F_1$

F_{2}

$F_2$

ดังนั้นสูตร

มีดังนี้:

F_{2} := {{a, b, c}, {d, e, \neg c}, {a, \neg b, f}, {d, e, \neg f}, {a, b, d, e}, {a, \neg b, d, e}, {a, d, e}}

$F_2 := \{ \{a, b, c\}, \{d, e, \neg c\}, \{a, \neg b, f\}, \{d, e, \neg f\}, \{a,b,d,e\}, \{a,\neg b, d, e\}, \{a,d,e\}\}$

F_{ϕ}

$F_\phi$

F_{ϕ} := {{a, b, c}, {d, e, \neg c}, {a, \neg b, f}, {d, e, \neg f}, {a, d, e}}

$F_\phi :=\{\{a, b, c\}, \{d, e, \neg c\}, \{a, \neg b, f\}, \{d, e, \neg f\}, \{a,d,e\}\}$

อย่างไรก็ตามอย่างที่คุณเห็นเพื่อให้ได้ข้อสุดท้ายในคุณควรได้รับอนุประโยคสี่ตัวอักษรทั้งหมดก่อน ดังนั้นฉันไม่เห็นวิธีใด ๆ ในการกำจัดขั้นตอนต่าง ๆ สำหรับการแก้ปัญหาแบบเอ็กซ์โพเนนเชียล อันที่จริงสำหรับปัญหาบางอย่างเช่นหลักการของนกพิราบเรารู้ว่าความละเอียดไม่สามารถแก้ปัญหาได้ในหลายขั้นตอนน้อยกว่า (แต่จะยุติธรรมเท่าที่ฉันรู้ตัวอย่างเหล่านี้ไม่ได้อยู่ในรูปแบบ 3-CNF และความละเอียดอัจฉริยะบางอย่าง อาจมีอยู่เมื่อรับประกันว่าอินพุตจะอยู่ในรูปแบบ 3-CNF) $F_\phi$

— Shahab
แหล่งที่มา

F_{1}

$F_1$

ϕ

$\phi$