Gap-3SAT NP-complete แม้สำหรับสูตร 3CNF ที่ไม่มีตัวแปรคู่ใดที่ปรากฏในส่วนคำสั่งมากกว่าค่าเฉลี่ยอย่างมีนัยสำคัญหรือไม่?

ในคำถามนี้สูตร 3CNF หมายถึงสูตร CNF ข้อที่เกี่ยวข้องกับแต่ละตรงสามที่แตกต่างกันตัวแปร สำหรับค่าคงที่ 0 < s <1 Gap-3SAT _sเป็นปัญหาสัญญาต่อไปนี้:

Gap-3SAT _s
Instance : A 3CNF formula φ
ใช่สัญญา : φเป็นที่น่าพอใจ
ไม่มีสัญญา : ไม่มีการมอบหมายงานจริงตอบสนองมากกว่าsส่วนของคำสั่งของφ

หนึ่งในวิธีที่เทียบเท่าในการระบุทฤษฎีบท PCP ที่มีชื่อเสียง [AS98, ALMSS98] คือมีค่า 0 < s <1 ที่คงที่เช่น Gap-3SAT _sคือ NP-complete

เราบอกว่าสูตร 3CNF นั้นมีขอบเขตเป็นแบบ B จับคู่ถ้าตัวแปรที่แตกต่างกันทุกคู่ปรากฏในข้อBส่วนใหญ่ ตัวอย่างเช่นสูตร 3CNF ( x ₁ ∨ x ₂ ∨ x ₄ ) ∧ (￢x ₁ ∨￢x ₃ ∨ x ₄ ) ∧ ( x ₁ ∨ x ₃ ∨￢x ₅ ) เป็นคู่ตามลำดับ แต่ไม่เป็นคู่ 1 1 มีขอบเขตเนื่องจากเช่นคู่ ( x ₁ , x ₄ ) ปรากฏในประโยคมากกว่าหนึ่งประโยค

คำถาม ทำมีอยู่คงB ∈ℕ, > 0 และ 0 < s <1 ดังกล่าวว่า Gap-3SAT _sเป็น NP-สมบูรณ์แม้สำหรับสูตร 3CNF ซึ่งเป็นคู่B -bounded และประกอบด้วยอย่างน้อย²ข้อที่nจำนวนของตัวแปรคืออะไร?

ขอบเขตขอบเขตของคู่อย่างชัดเจนแสดงให้เห็นว่ามีเพียง O ( n ² ) ข้อ เมื่อรวมกับขอบเขตล่างของกำลังสองที่มีต่อจำนวนคำสั่งคร่าว ๆ ก็บอกว่าไม่มีตัวแปรที่แตกต่างกันสองคู่ที่ปรากฏในส่วนคำสั่งมากกว่าค่าเฉลี่ย

สำหรับ Gap-3SAT เป็นที่ทราบกันว่ากรณีที่กระจัดกระจายนั้นยาก : มี 0 < s <1 ที่คงที่เช่นนั้น Gap-3SAT _sนั้นเป็น NP-complete แม้สำหรับสูตร 3CNF ที่แต่ละตัวแปรเกิดขึ้นห้าครั้ง [Fei98] บนมืออื่น ๆ , กรณีหนาแน่นเป็นเรื่องง่าย : Max-3SAT ยอมรับ PTAS สำหรับสูตร 3CNF กับΩ ( n ³ ) ข้อแตกต่างกัน [AKK99] และดังนั้นจึงทำให้เกิดช่องว่าง-3SAT _sในกรณีนี้ที่อยู่ใน P ทุกคงที่ 0 < s <1 คำถามถามเกี่ยวกับตรงกลางของสองกรณีนี้

คำถามข้างต้นเกิดขึ้นในการศึกษาความซับซ้อนของการคำนวณควอนตัมโดยเฉพาะอย่างยิ่งระบบพิสูจน์แบบโต้ตอบรอบเดียวสองสุภาษิตที่มีผู้พิสูจน์พันกัน ( MIP ^* (2,1) ) แต่ฉันคิดว่าคำถามอาจน่าสนใจในสิทธิของตนเอง

อ้างอิง

[AKK99] Sanjeev Arora, David Karger และ Marek Karpinski แบบประมาณเวลาพหุนามสำหรับอินสแตนซ์ที่หนาแน่นของปัญหา NP-hard วารสารวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์และระบบ , 58 (1): 193–210, ก.พ. 1999. http://dx.doi.org/10.1006/jcss.1998.1605

[ALMSS98] Sanjeev Arora, Carsten Lund, Rajeev Motwani, Madhu Sudan และ Mario Szegedy การพิสูจน์การพิสูจน์และความแข็งของปัญหาการประมาณ วารสาร ACM , 45 (3): 501–555, พฤษภาคม 1998 http://doi.acm.org/10.1145/278298.278306

[AS98] Sanjeev Arora และ Shmuel Safra การตรวจสอบความน่าจะเป็นของการพิสูจน์: ลักษณะใหม่ของ NP วารสาร ACM , 45 (1): 70–122, ม.ค. 1998. http://doi.acm.org/10.1145/273865.273901

[Fei98] Uriel Feige threshold ของ ln nสำหรับการครอบคลุมชุดที่ประมาณ วารสาร ACM , 45 (4): 634–652, กรกฎาคม 1998 http://doi.acm.org/10.1145/285055.285059

cc.complexity-theory sat approximation-hardness

— Tsuyoshi Ito
แหล่งที่มา

@ Tsuyoshi: ฉันถูกในการสันนิษฐานว่าไม่มีอะไรเป็นที่รู้จักเกี่ยวกับกรณีกลางอื่น ๆ ระหว่าง

และ

m = O (n)

$m = O(n)$

m = Ω (n^{3})

$m = \Omega(n^3)$

— András Salamon

@ András: ฉันไม่ได้ตระหนักถึงผลลัพธ์ก่อนหน้าใด ๆ เกี่ยวกับคดีระดับกลาง แต่ฉันมีสิ่งที่ฉันคิดว่าเป็นข้อพิสูจน์ของความสมบูรณ์แบบของกรณีต่อไปนี้ (1) มีขอบเขต จำกัด ไว้ที่ Pairwise

clauses แต่ไม่มีช่องว่าง (2) ด้วยช่องว่างส่วนคำสั่ง

สำหรับค่าคงที่ d <3 แต่ไม่จำเป็นต้อง จำกัด ขอบเขตไว้ด้วยกัน (3) ด้วยช่องว่างคู่สิ้นสุด

ข้อสำหรับการใด ๆ คง d <2 หลักฐานของ (1) เป็นการลดลงอย่างง่ายจาก [Fei98] หลักฐานการ (2) ใช้เป็นส่วนหนึ่งของผลโดยAilon และ Alon 2007 หลักฐานของ (3) ใช้ตัวขยาย

Ω (n^{2})

$\Omega(n^2)$

Ω (n^{d})

$\Omega(n^d)$

Ω (n^{d})

$\Omega(n^d)$

— Tsuyoshi Ito

@Tsuyoshi: รอคอยที่จะอ่านกระดาษของคุณ

— András Salamon

ไม่มีคำตอบ แต่ฉันจะตรวจสอบว่าวิธีการรับรองว่าข้อ 3CNF แบบสุ่มของข้อไม่น่าพอใจสามารถประสบความสำเร็จได้ที่นี่ในการแสดงปัญหานี้เป็นเรื่องง่ายอย่างน้อยถ้าคุณต้องการความสมบูรณ์

ใกล้กับ 7/8 ผลงานเหล่านี้ประสบความสำเร็จครั้งเดียวมีมากกว่า

คำสั่งและได้รับการขยายไปยังรูปแบบกึ่งสุ่ม (ดู Feige FOCS 07 ใน refuting เรียบ 3CNF) อย่างไรก็ตามดูเหมือนว่า Tsuyoshi แสดงให้เห็นว่าแม้ในกรณีของ

ที่นี่ยังคงเป็นปัญหา NP-hard ดังนั้นบางทีนี่อาจแสดงว่างานเหล่านี้ไม่เกี่ยวข้อง

s

$s$

n^{1.5}

$n^{1.5}$

n^{1.9}

$n^{1.9}$

— Boaz Barak

Boaz, คุณสามารถ "ทำลาย" อินสแตนซ์ของ 3SAT โดยการแทนที่ทุกตัวแปรด้วยการคัดลอก

และจากนั้นแทนที่ทุกประโยคด้วย

คำสั่งแทนที่แต่ละตัวแปรในมาตราต้นฉบับด้วยสำเนาในรูปแบบที่เป็นไปได้ทั้งหมด สิ่งนี้ให้อินสแตนซ์ที่ส่วนคำสั่งเหมือนเดิมเป็นที่น่าพอใจ แต่คุณเปลี่ยนจาก n ตัวแปรและ m clauses เป็น nM variable และ

clauses ดังนั้นโดยไม่มีข้อ จำกัด เพิ่มเติมเกี่ยวกับจำนวนของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นคุณสามารถเก็บ ความมั่นคง

แม้ในสูตรที่มี

ตัวแปรและ

เบ็ดเตล็ด

M

$M$

M^{3}

$M^3$

m M^{3}

$mM^3$

7 / 8 + ϵ

$7/8 + \epsilon$

N

$N$

N^{2.999}

$N^{2.999}$

— Luca Trevisan

ไม่ใช่คำตอบที่สมบูรณ์ แต่หวังว่าจะปิด นี่ใกล้เคียงกับความคิดเห็นของ Luca ด้านบน ฉันเชื่อว่าคำตอบคืออย่างน้อยก็มีค่าคงที่B ∈ℕ, a > 0, และ 0 < s <1 เช่นนั้น Gap-3SAT _sนั้นเป็น NP-complete แม้สำหรับสูตร 3CNF ซึ่งเป็นB -paired คู่และประกอบด้วย อย่างน้อยเบ็ดเตล็ดสำหรับค่าคงที่ใด ๆε $an^{2-\epsilon}$ $\epsilon$

หลักฐานมีดังนี้ พิจารณาอินสแตนซ์ GAP-3SAT บนตัวแปรซึ่งแต่ละตัวแปรจะปรากฏมากที่สุด 5 ครั้ง นี่คือปัญหา NP-Complete ดังที่คุณพูดในคำถาม $_s$ $\phi$ $N$

ตอนนี้เราสร้างอินสแตนซ์ใหม่ดังนี้: $\Phi$

สำหรับตัวแปรทุกใน , มีตัวแปรเจ $x_i$ $\phi$ $\Phi$ $n$ $y_{ij}$
สำหรับการตั้งค่าทุกดัชนี , และกับ , มีคู่ของข้อและฉันจะอ้างถึงสิ่งเหล่านี้เป็นข้อเปรียบเทียบเนื่องจากพวกเขามั่นใจว่าหากพวกเขาพอใจ $i$ $a$ $b$ $a\neq b$ $\Phi$ $y_{ia}∨￢y_{ib}∨￢y_{ib}$ $y_{ib}∨￢y_{ia}∨￢y_{ia}$ $y_{ia} = y_{ib}$
สำหรับทุกประโยคในทำหน้าที่เกี่ยวกับตัวแปร , และ , สำหรับทุกและ , มีประโยคเทียบเท่า, โดยที่ถูกแทนที่ด้วย , ถูกแทนที่ด้วยและถูกแทนที่ด้วย (ที่นี่นอกจากนี้ทำ modulo ) ฉันจะอ้างถึงสิ่งเหล่านี้เป็นคำสั่งที่สืบทอด $\phi$ $x_i$ $x_j$ $x_k$ $a$ $b$ $\Phi$ $x_i$ $y_{ia}$ $x_j$ $y_{jb}$ $x_k$ $y_{k(a+b)}$ $n$

จำนวนรวมของตัวแปรแล้ว Nหมายเหตุมีข้อเปรียบเทียบและ $m = nN$ $\Phi$ $2Nn^2$ คำสั่งที่สืบทอดมารวมเป็น $\frac{5}{3}Nn^2$ ข้อ รับเรามีและจำนวนประโยคทั้งหมด $\frac{11}{3}Nn^2$ $n = N^k$ $m = N^{k+1}$ 1เราใช้ดังนั้นε $C = \frac{11}{3}N^{2k+1} = \frac{11}{3}m^{2-\frac{1}{k+1}}$ $k = \epsilon^{-1} - 1$ $C \propto m^{2-\epsilon}$

ถัดไปคือ 8 นิ้วที่จับคู่กัน (สูงสุด 2 จากข้อเปรียบเทียบและ 6 จากข้อสืบทอด) $\Phi$

$\phi$ $(1-s)N$ $y_{ia} \neq y_{ib}$ $a,b$ $n-1$ $(1-s)N$ $a,b$ $y_{:a}$ $y_{:b}$ $y_{:(a+b)}$ must differ at at least $\frac{1-s}{5}N$ positions, leaving at least $\frac{1-s}{5}N(n-1)$ comparison unsatisfiable clauses. This must hold for every choice of $a$ and $b$ , so at least $\approx \frac{1-s}{5}Nn^2 = \frac{3(1-s)}{11}C$ comparison clauses must remain unsatisfied in total for enough inherited clauses to be satisfied. If however you look at the other extreme where all comparison clauses are satisfied, then $(1-s)Nn^2 = (1-s)m^{\frac{2k+1}{k+1}} = (1-s)C$ clauses are unsatisfiable. Hence a gap remains (although reduced) with $s' = \frac{4+s}{5}$ .

The constants probably need to be double checked.

— Joe Fitzsimons
แหล่งที่มา

Thank you, Joe. Sorry if this was not clear, but in this question, I require the three variables in each clause to be all distinct, and therefore comparison clauses as they are written cannot be used. I have a proof of the same fact (pairwise bounded, Ω(n^(2−ε)) clauses, with gap) which uses expander graphs, but if it can be proved without using expanders, I am very interested.

— Tsuyoshi Ito

@Tsuyoshi: Ah I see. Actually, I had initially proved it to myself with distinct variables, so there is a very easy tweek to get it into the form you want. You simple assign the comparison clauses in a slighty different manner. Instead of the two clauses I gave you need 4:

y_{i a} \lor ￢ y_{i b} \lor ￢ y_{i (a + b)}

$y_{ia}∨￢y_{ib}∨￢y_{i(a+b)}$ ,

y_{i a} \lor ￢ y_{i b} \lor y_{i (a + b)}

$y_{ia}∨￢y_{ib}∨y_{i(a+b)}$ ,

￢ y_{i a} \lor y_{i b} \lor ￢ y_{i (a + b)}

$￢y_{ia}∨y_{ib}∨￢y_{i(a+b)}$ and

￢ y_{i a} \lor y_{i b} \lor y_{i (a + b)}

$￢y_{ia}∨y_{ib}∨y_{i(a+b)}$ . Clearly these reduce to the same 2 variable clauses as before. Obviously this tweeks the constants, but doesn't make any other difference.

— Joe Fitzsimons

Perhaps there is a way to get around the

ϵ

$\epsilon$ factor by taking

k = k (n)

$k = k(n)$ , though the most naive implementation of this gives instances that grow very slightly faster than polynomially.

— Joe Fitzsimons

I will check the details more carefully later, but the idea of using a, b, and (a+b) seems to work. This should free me from dealing with expanders explicitly. Thanks!

— Tsuyoshi Ito

No problem. Glad I could be of help.

— Joe Fitzsimons