อัลกอริทึมที่มีประสิทธิภาพอย่างสร้างสรรค์โดยไม่มีความถูกต้องแม่นยำและการพิสูจน์ประสิทธิภาพ

ฉันกำลังมองหาตัวอย่างตามธรรมชาติของอัลกอริทึมที่มีประสิทธิภาพ (เช่นในเวลาพหุนาม) st

ความถูกต้องและประสิทธิภาพของพวกเขาสามารถพิสูจน์ได้อย่างสร้างสรรค์ (เช่นในหรือ ) แต่ $PRA$ $HA$
ไม่มีการพิสูจน์ว่าใช้แนวคิดที่มีประสิทธิภาพเท่านั้น (เช่นเราไม่รู้วิธีพิสูจน์ความถูกต้องและประสิทธิภาพในหรือ ) $TV^0$ $S^1_2$

ฉันสามารถประดิษฐ์ตัวอย่างเองได้ อย่างไรก็ตามฉันต้องการตัวอย่างที่เป็นธรรมชาติที่น่าสนใจเช่นอัลกอริทึมที่ศึกษาเพื่อประโยชน์ของตนเองไม่ใช่สร้างขึ้นเพื่อตอบคำถามประเภทนี้

— Kaveh
แหล่งที่มา

บางทีสิ่งที่มาจากทฤษฎีออโตมาตะซึ่งอัลกอริทึมนั้นง่าย แต่การแสดงให้เห็นว่ามันใช้งานได้เราต้องพิจารณาเซตย่อยทั้งหมดของบางอย่างหรืออย่างอื่น?

— Andrej Bauer

วิธีการเกี่ยวกับการตรวจสอบแบบพหุนามเวลา? พิสูจน์ให้เห็นว่ามีแนวโน้มที่จะมีความซับซ้อนมากพอที่จะเป็นเรื่องยากที่จะติดภายใน ?

S_{2}^{1}

$S^1_2$

— Andrej Bauer

@Neel จริง ๆ แล้ววิทยานิพนธ์ของ Emil " หลักการนกพิราบที่อ่อนแอและการคำนวณแบบสุ่ม " เป็นเรื่องเกี่ยวกับอัลกอริธึมที่น่าจะเป็นทางการ ความจริงหลักที่จำเป็นสำหรับการอย่างเป็นทางการของเหล่านี้ดูเหมือนว่าจะมีการนับโดยประมาณซึ่งไม่ได้เป็นส่วนหนึ่งของหรือSฉันคิดว่ามันอาจจะง่ายในการติดกรณี polytime กำหนดกับและS

T V^{0}

$TV^0$

S_{2}^{1}

$S^1_2$

T V^{0}

$TV^0$

S_{2}^{1}

$S^1_2$

— Kaveh

ps: มันจะน่าสนใจมากขึ้นถ้าเราสามารถพิสูจน์ได้ว่าความถูกต้อง / ประสิทธิภาพของอัลกอริทึมไม่สามารถพิสูจน์ได้ในทฤษฎีเหล่านี้หรืออย่างน้อยก็เทียบเท่ากับข้อความที่เชื่อว่าไม่สามารถพิสูจน์ได้ อย่างไรก็ตามการขอสิ่งนั้นอาจมากเกินไปกับสิ่งที่เรารู้ในปัจจุบัน

— Kaveh

@Neel ความน่าจะเป็นที่เกี่ยวข้องส่วนใหญ่สามารถทำได้ในระบบการสั่งซื้อครั้งแรกเนื่องจากคุณไม่จำเป็นต้องทราบความน่าจะเป็นที่แน่นอนของเหตุการณ์คุณมักจะต้องเปรียบเทียบความน่าจะเป็นนั้นกับตัวเลขที่มีเหตุผลบางอย่างเท่านั้น

— François G. Dorais

คำตอบ:

นี่เป็นแนวคิดเดียวกันกับคำตอบของ Andrej แต่มีรายละเอียดเพิ่มเติม

Krajicek และ Pudlak [ LNCS 960, 1995, pp. 210-220 ] ได้แสดงให้เห็นว่าถ้าเป็น - คุณสมบัติที่กำหนดช่วงเวลาในรูปแบบมาตรฐานและจากนั้นจะมีอัลกอริทึมการแยกตัวประกอบเวลาแบบพหุนาม นี่เป็นตัวอย่างจำนวนมากเนื่องจากอัลกอริธึม NP สำหรับการทดสอบแบบสูตรโดยเฉพาะอย่างยิ่งการทดสอบแบบดั้งเดิมของ AKS ให้สูตรดังกล่าว (เมื่อทำการแต่งใหม่ด้วยภาษา ) บทความของ Krajicek และ Pudlak ให้ตัวอย่างที่เกี่ยวข้องกับการเข้ารหัสมากกว่านี้ แต่ก่อนหน้านี้ AKS และความก้าวหน้าที่เกี่ยวข้องในอีกไม่กี่ปีข้างหน้า $P(x)$ $\Sigma^b_1$

S_{2}^{1} ⊢ \neg P (x) \to (\exists Y_{1}, Y_{2}) (1 < Y_{1}, Y_{2} < x \land x = Y_{1} Y_{2})

$S^1_2 \vdash \lnot P(x) \to (\exists y_1,y_2)(1 < y_1, y_2 < x \land x = y_1y_2)$

Σ_{1}^{b}

$\Sigma^b_1$

S_{2}^{1}

$S^1_2$

— François G. Dorais
แหล่งที่มา

ตัวอย่างนี้อยู่ในลำดับชั้นที่ต่ำกว่าสิ่งที่ Kaveh ถาม แต่เป็นปัญหาที่เปิดไม่ว่าความสมบูรณ์ของอัลกอริทึมสม่ำเสมอสำหรับการหารจำนวนเต็มและการคูณซ้ำโดยHesse, Allender และ Barringtonสามารถพิสูจน์ได้ในสิ่งเดียวกัน ทฤษฎี 0 $\mathrm{TC}^0$ $\mathit{VTC}^0$

$\mathit{TV}^0$ $\mathit{VTC}^0$ $\mathrm{TC}^0$

$\left(\frac an\right)$

$p$ $\left(\frac ap\right)=1$ $a$ $p$

$S^1_2$

อีกตัวอย่างหนึ่งของการทดสอบแบบไม่ลดทอนและอัลกอริธึมการแยกตัวประกอบสำหรับพหุนาม (ส่วนใหญ่เหนือขอบเขตอัน จำกัด และส่วนปันส่วน) สิ่งเหล่านี้พึ่งพาทฤษฎีบทเล็ก ๆ น้อย ๆ ของแฟร์มาต์หรือลักษณะทั่วไปของมัน (รวมถึงอื่น ๆ ) และเป็นที่ทราบกันดีว่าไม่สามารถจัดรูปแบบได้อย่างเป็นทางการในทฤษฎีที่เหมาะสมของการคำนวณทางคณิตศาสตร์ โดยทั่วไปอัลกอริธึมเหล่านี้จะถูกสุ่ม แต่สำหรับตัวอย่างพหุนามแบบกำหนดเวลาเราสามารถทำการทดสอบความสามารถในการลดทอนของ Rabinหรืออัลกอริธึมสแควร์รูท - Tonelli - พระสาทิสลักษณ์ (สูตรเพื่อให้สมการกำลังสอง

— Emil Jeřábekสนับสนุน Monica
แหล่งที่มา

การทดสอบแบบดั้งเดิมของ AKSดูเหมือนจะเป็นตัวเลือกที่ดีถ้าจะต้องเชื่อใน Wikipedia

อย่างไรก็ตามฉันคาดหวังว่าตัวอย่างเช่นนี้จะหายาก หลักฐานที่มีอยู่จะถูกใช้เป็นประโยคเพื่อให้เห็นได้ชัดว่าไม่ได้ทำในการคำนวณทางคณิตศาสตร์ที่มีขอบเขต แต่พวกเขาก็น่าจะ "ปรับได้" เพื่อการคำนวณทางคณิตศาสตร์ที่มีขอบเขตด้วยความพยายามมากขึ้นหรือน้อยลง

— Andrej Bauer
แหล่งที่มา

S_{2}^{1}

$S^1_2$

S_{2}^{1}

$S^1_2$

S_{2}^{1}

$S^1_2$

มีกระดาษมหัศจรรย์จาก Krajicek และ Pudlak ที่ให้ตัวอย่างมากมาย: karlin.mff.cuni.cz/~krajicek/j-crypto.ps

— François G. Dorais

@ Françoisทำไมไม่โพสต์คำตอบ? :)

— Kaveh

ดังนั้นฉันได้รับการนับคะแนนสูงสุดสำหรับการคาดเดาก่อนใครในขณะที่คนอื่นรู้ว่าเกิดอะไรขึ้น คณิตศาสตร์ก็เหมือนกับ MTV

— Andrej Bauer