การเป็นตัวแทนอย่างเป็นทางการของลำดับชั้นนามธรรม

บทนำ

ฉันกำลังเขียนวิทยานิพนธ์ระดับปริญญาเอกของฉันเกี่ยวกับAbstract Delta Modeling (ADM) ซึ่งเป็นคำอธิบายเกี่ยวกับพีชคณิตนามธรรมของการดัดแปลง (รู้จักกันในชื่อdeltas ) ที่สามารถทำหน้าที่เกี่ยวกับผลิตภัณฑ์ (เช่นเดียวกับใน 'ผลิตภัณฑ์ซอฟต์แวร์') สิ่งนี้สามารถใช้ในการจัดระเบียบชุดผลิตภัณฑ์ที่เกี่ยวข้อง ('สายผลิตภัณฑ์') เป็นผลิตภัณฑ์หลักอย่างง่ายและชุดของ delta ที่ใช้แบบมีเงื่อนไขและทำให้สามารถใช้งานสิ่งประดิษฐ์ที่อยู่ข้างใต้ได้มากขึ้น

รายละเอียดของการสร้างแบบจำลองของเดลต้าไม่ได้จริงๆที่สำคัญกับคำถามของฉัน แต่ ADM ทำหน้าที่เป็นตัวอย่างที่ดีที่จะอธิบายปัญหาดังนั้นผมจะแนะนำแนวคิดที่สำคัญที่สุด

พื้นหลัง

โครงสร้างหลักที่น่าสนใจคือเดลทอยด์ $(\mathcal P, \mathcal D, \cdot, \epsilon, \mathbf{[\kern-1pt[-]\kern-1pt]})$. ผลิตภัณฑ์มาจากชุดสากล$\mathcal P$. สันดอนมาจากหนังสือกับผู้ประกอบการองค์ประกอบและองค์ประกอบที่เป็นกลางD การประเมินความหมายของโอเปอเรเตอร์เปลี่ยนเป็น 'syntactic' deltaเป็นความสัมพันธ์ซึ่งตัดสินใจว่าสามารถแก้ไขผลิตภัณฑ์ได้อย่างไร$(\mathcal D, \cdot, \epsilon)$$\cdot : \mathcal D \times \mathcal D \to \mathcal D$$\epsilon \in \mathcal D$$\mathbf{[\kern-1pt[-]\kern-1pt]} : \mathcal D \to 2^{\mathcal P \times \mathcal P}$$d \in \mathcal D$$\mathbf{[\kern-1pt[}\,d\,\mathbf{]\kern-1.5pt]} \subseteq \mathcal P \times \mathcal P$$d$

คำถาม

เนื่องจาก ADM เป็นพีชคณิตนามธรรมบทคัดย่องานส่วนใหญ่ของฉันมาจากลักษณะที่เป็นรูปธรรมของผลิตภัณฑ์และ deltas และผลลัพธ์จำนวนหนึ่งได้รับการพิสูจน์โดยไม่ลดระดับลงไปมากขึ้น ผลลัพธ์เหล่านั้นคาดว่าจะส่งต่อไปยังโดเมนที่เป็นรูปธรรมมากขึ้น แต่ฉันยังไม่ได้ทำให้เป็นทางการนี้

มีตัวอย่างและกรณีศึกษาที่ทำงานในโดเมนที่เป็นรูปธรรม: รหัสที่มาเชิงวัตถุ $\small\mathrm{\LaTeX}$รหัสตัวเลขธรรมชาติโปรไฟล์โทรศัพท์มือถือ ฯลฯ นอกจากนี้ยังมีขั้นตอนกลางบางอย่างของสิ่งที่เป็นนามธรรมเช่นคู่คีย์ - ค่าที่ซ้อนกัน สำหรับฉันทุกคนกำหนดใหม่ (หรือ 'ปรับแต่ง')$(\mathcal P, \mathcal D, \cdot, \epsilon, \mathbf{[\kern-1pt[-]\kern-1pt]})$.

ฉันต้องการทำให้ลำดับชั้นนี้ชัดเจน: (1)เพื่อให้ความชัดเจนมากขึ้นสำหรับผู้อ่านและ (2)เพื่อแสดงความเป็นธรรมโดยใช้ผลลัพธ์จากระดับนามธรรมมากขึ้น

คำถามของฉัน:ฉันควรจัดระเบียบระดับของสิ่งที่เป็นนามธรรมเหล่านี้อย่างเป็นทางการได้อย่างไร

ฉันหวังว่าจะสามารถให้เหตุผลกับความสัมพันธ์ในการปรับแต่งง่ายๆ $\sqsubseteq$บน deltoids และฉันรู้สึกว่ามันสามารถนิยามได้ง่ายๆโดยการดึงดูดความสนใจของเซ็ตย่อย$\mathcal P$ และ $\mathcal D$. แต่ฉันยังไม่แน่ใจ มีแนวทางในการแก้ไขปัญหาที่ฉันกำลังอธิบายอยู่หรือไม่? สิ่งพิมพ์ที่ฉันควรอ่าน

ลำดับขั้นของ Deltoid

เพื่อให้คุณมีความคิดที่ดีขึ้นเกี่ยวกับสิ่งที่ฉันหมายถึงนี่คือลำดับชั้นนามธรรมของ deltoid ที่ฉันมีอยู่ในใจ:

• Abstract Deltoid : นี่คือ deltoid พื้นฐานซึ่งผลิตภัณฑ์และ deltas ยังคงเป็นอะไรก็ได้ ทฤษฎีส่วนใหญ่อยู่บนพื้นฐานของสิ่งนี้และผลลัพธ์ส่วนใหญ่ได้รับการพิสูจน์ในระดับนี้
  • Deltoid เชิงสัมพันธ์ : ที่นี่ delta มีความสัมพันธ์กับ$\mathcal P$ และ $\mathbf{[\kern-1pt[-]\kern-1pt]}$ เป็นฟังก์ชั่นตัวตน
    • Functional Deltoid : ที่นี่ deltas ใช้งานได้ (หรือ 'deterministic')
  • Natural Number Deltoid : นี่คือเดลทอยด์คอนกรีตที่ง่ายที่สุดที่สร้างขึ้นเพื่อแสดงให้เห็นถึงการปรับแต่งเดลทอยด์ ที่นี่ผลิตภัณฑ์$\mathcal P = \mathbb N$ เป็นตัวเลขธรรมชาติและเดลต้า $\mathcal D = \mathbb N^+$ เป็นลำดับหมายเลขอย่างง่ายที่แสดงการดำเนินการพหุนาม
  • คู่ของคีย์ - ค่าที่ซ้อนกัน Deltoid : ระดับกลางของ abstraction สำหรับลำดับชั้นใด ๆ ที่คีย์ถูกแม็พกับค่าหรือกับลำดับชั้นย่อย เดลตาสามารถทำการแก้ไขใน 'ต้นไม้' นี้ได้ทุกระดับความลึก
    • OOP Deltoid : สำหรับภาพนามธรรมของโปรแกรมเชิงวัตถุ โดยทั่วไปแล้วจะเป็นคู่ของคีย์ - ค่าที่ซ้อนกันเนื่องจากโปรแกรมจับคู่ชื่อโมดูลกับชุดของคลาสซึ่งจับคู่ชื่อคลาสกับชุดของเมธอด
      • ABS Deltoid : ABS เป็นภาษาโปรแกรมเชิงวัตถุ
    • Phone Profile Deltoid : ที่นี่ผลิตภัณฑ์เป็นการจับคู่แบบเรียบ ๆ ของการตั้งค่า (เช่นระดับเสียงความสว่างของหน้าจอ ฯลฯ ) กับค่าจากโดเมนที่เกี่ยวข้อง
  • $\small\mathrm{\LaTeX}$Deltoid : ผลิตภัณฑ์คือ$\small\mathrm{\LaTeX}$ เอกสารและ delta แก้ไขโดยการกำหนดแมโครใหม่

นั่นควรทำให้คุณมีความคิดที่เป็นธรรมเกี่ยวกับสิ่งที่ฉันมีอยู่ในใจ โปรดทราบว่าสำหรับเดลทอยด์ใด ๆ$\mathbf{[\kern-1pt[-]\kern-1pt]}$ เป็น monomorphism จาก monoid $\mathcal D$ ไปที่ $\mathcal D'$ เป็นของ deltoid เชิงสัมพันธ์ที่สอดคล้องกัน

ลำดับชั้นที่แท้จริงอาจใหญ่กว่านี้ มันอาจมีการจัดระเบียบแตกต่างกันไปตามทฤษฎีการปรับแต่งที่ฉันใช้ ตัวอย่างเช่นถ้าฉันไปหาเซตย่อย ๆ$\mathcal P$ และ $\mathcal D$ABS Deltoid จะไม่พอดีภายใต้คู่คีย์ - ค่าที่จับคู่ซ้อนกันสำหรับผลิตภัณฑ์และ deltas เป็นข้อความธรรมดา (ซอร์สโค้ด) แต่ลำดับชั้นที่ได้รับอาจยังคงใช้ได้ถ้าฉันใช้โฮโมมอร์ฟิซึม

ฉันเชื่อว่ามันจะเป็นประโยชน์สำหรับคุณในการค้นหาทฤษฎีการตีความเชิงนามธรรมซึ่งให้คำตอบอย่างละเอียดสำหรับคำถามที่คล้ายกันในพื้นที่ที่แตกต่างกันเล็กน้อยของการวิเคราะห์โปรแกรมที่ใช้โครงตาข่าย

ดูเหมือนว่าคุณกำลังใช้เฟรมเวิร์กโดยใช้ algebras ฉันใช้พีชคณิตคำตรงนี้ในความหมายของพีชคณิตสากลที่ซึ่งฉันคิดว่าข้อ จำกัด ในโครงสร้างของพีชคณิตนั้นได้มาจากความเท่าเทียมกันระหว่างคำ มีประสาทสัมผัสทั้งสองที่แตกต่างกันซึ่ง abstractions (หรือลำดับชั้น) เข้าสู่รูปภาพ

1. Abstraction เป็นความสัมพันธ์ระหว่างพีชคณิตสองตัวคุณอาจต้องการพูดว่าพีชคณิตหนึ่งมีโครงสร้างที่สมบูรณ์ยิ่งขึ้นกว่าพีชคณิตอื่นหรือว่าปัญหาทุกปัญหาที่คุณสามารถแก้ได้ด้วยพีชคณิตหนึ่งคุณสามารถแก้ปัญหาได้ ความสัมพันธ์แบบนี้คือสิ่งที่จะทำให้เป็นโฮโมมอร์ฟิซึมซื้อหรือทำแผนที่อื่น ๆ ระหว่างจีบราส์
2. ลำดับชั้นนามธรรมที่เป็นครอบครัวของจีบราส์ ในกรณีของคุณสิ่งเหล่านี้จะเป็นตระกูลเดลต้าที่มีคุณสมบัติบางอย่าง เพื่อเป็นตัวอย่างทั่วไปให้พิจารณาชุดที่สั่งซื้อบางส่วนทั้งหมด เราสามารถนึกถึงการขัดแตะการแจกแจงแบบกระจายและการบูลีนแบบบูลเป็นลำดับของตระกูลย่อยที่มีคุณสมบัติที่สมบูรณ์ยิ่งขึ้น

แนวคิดทั้งสองนั้นมีความสัมพันธ์กันอย่างใกล้ชิด แต่แตกต่างกัน

สิ่งที่เป็นนามธรรมระหว่างสองโครงสร้าง

ความเข้าใจลึกซึ้งของการตีความเชิงนามธรรมคือมีประโยชน์ในการมอบโครงสร้างที่คุณพิจารณาด้วยแนวคิด พิจารณาสองโครงสร้าง

$(M, f_M)$ และ $(N, f_N)$กับ $f_M: M \to M$ และ $f_N:N \to N$ เป็นการดำเนินงานที่น่าสนใจ

โฮโมมอร์ฟิซึมในแง่พีชคณิตสากลจะมีลักษณะดังนี้:

$h:M \to N$ เป็นฟังก์ชั่นที่ตอบสนองความเท่าเทียมกัน $h(f_M(a)) = f_N(h(a))$.

We can view the two structures appearing above as pre-ordered structures

$(M, =, f_M)$ และ $(N, =, f_N)$

และโฮโมมอร์ฟิซึมเราสามารถเขียนใหม่ให้เป็นหน้าที่ที่น่าพอใจ

1. ว่าถ้า $a = b$ แล้วก็ $h(a) = h(b)$และ
2. เพื่อทุกสิ่ง $a$ ใน $M$, $h(f_M(a)) = f_N(h(a))$.

ทีนี้สมมติว่าคุณมีแนวคิดอื่น ๆ เกี่ยวกับการประมาณที่เหมาะสม ตัวอย่างเช่นเมื่อเราจัดการกับชุดของรัฐในการตรวจสอบโปรแกรมการรวมส่วนย่อยทำให้รู้สึกสำหรับการใช้งานบางอย่างหรือเมื่อจัดการกับสูตรในการหักอัตโนมัติการมีความหมายทำให้รู้สึก โดยทั่วไปเราสามารถพิจารณา

$(M, \preceq, f_M)$ และ $(N,\sqsubseteq, f_N)$ที่ไหน $\preceq$ และ $\sqsubseteq$ เป็น preorders

ตอนนี้แทนที่จะเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมเราสามารถมีฟังก์ชันนามธรรมได้

$\alpha: M \to N$ ซึ่งเป็น

1. เสียงเดียวหมายความว่าเมื่อใดก็ตาม $a \preceq b$ เรามี $\alpha(a) \sqsubseteq \alpha(b)$และ
2. commutes กึ่งกับการดำเนินงาน: $\alpha(f_M(a)) \sqsubseteq f_N(\alpha(a))$ เพื่อทุกสิ่ง $a$ ใน $M$.

ฟังก์ชั่นนามธรรมทำให้ชัดเจนความคิดที่ว่าถ้าโครงสร้างมากกว่า $N$ เป็นนามธรรมของโครงสร้างมากกว่า $M$จากนั้นประเมินคำหนึ่งใน $N$ ไม่สามารถให้ผลลัพธ์ที่แม่นยำมากขึ้น (ด้วยความเคารพต่อแนวคิดเรื่องการประมาณค่าใน $N$) กว่าการประเมินคำเดียวกันใน $M$ จากนั้นทำการแมปกับ $N$.

ตอนนี้เราสามารถถามได้ว่ามีความจำเป็นที่จะเข้าหาปัญหาในแง่ของการเป็นนามธรรมซึ่งตรงข้ามกับการปรับแต่งหรือไม่ ความหมายเราไม่สามารถพูดได้$M$ เป็นการปรับแต่งของ $N$และกำหนดเงื่อนไขในข้อกำหนด ตรงนี้เป็นสิ่งที่ฟังก์ชั่น concretisationไม่

ฟังก์ชั่น concretisation $\gamma: N \to M$เป็นเสียงเดียวและตอบสนองความไม่เท่าเทียมกัน$f_M(\gamma(b)) \preceq \gamma(f_N(b))$.

เงื่อนไขนามธรรมและ concretisation เรียกว่าเงื่อนไขความสมบูรณ์ในการตีความนามธรรม ในกรณีพิเศษนั้น$\alpha$ และ $\gamma$รูปแบบการเชื่อมต่อ Galois, สิ่งที่เป็นนามธรรมและ concretisation เทียบเท่า โดยทั่วไปแล้วพวกเขาจะไม่เทียบเท่า

ทุกสิ่งที่เราทำจนถึงตอนนี้เป็นเพียงความคิดที่เป็นนามธรรมของสิ่งที่เป็นนามธรรมระหว่างคู่ของโครงสร้าง สิ่งที่ฉันพูดสามารถสรุปได้อย่างชัดเจนมากขึ้นในภาษาของทฤษฎีหมวดหมู่ ฉันได้หลีกเลี่ยงหมวดหมู่เนื่องจากความคิดเห็นของคุณด้านบน

ลำดับชั้นนามธรรม

สมมติว่าเรามีโครงสร้าง $\mathcal{M}$endowed กับการสั่งซื้อล่วงหน้าและการดำเนินงานบางอย่าง เราสามารถพิจารณาโครงสร้างทั้งหมด$\mathcal{N}$ ดังนั้น $\mathcal{N}$ เป็นสิ่งที่เป็นนามธรรม $\mathcal{M}$ในแง่ข้างต้น หากเรามีสิ่งนั้น$\mathcal{N}_1$ เป็นสิ่งที่เป็นนามธรรม $\mathcal{N}_2$ และทั้งคู่เป็น abstractions ของ $\mathcal{M}$เรามีสามองค์ประกอบของลำดับชั้น ความสัมพันธ์`เป็นนามธรรมของ 'ช่วยให้เราสามารถกำหนดลำดับล่วงหน้าระหว่างโครงสร้าง ขอให้เราโทรหาครอบครัวของโครงสร้างได้รับคำสั่งจากนามธรรมลำดับชั้น

หากฉันพิจารณาตัวอย่างของคุณปรากฏว่านามธรรมของคุณอาจเป็นตัวเลือกสำหรับองค์ประกอบสูงสุดในลำดับชั้นบางอย่าง ฉันไม่แน่ใจทั้งหมดเพราะ deltoid เชิงนามธรรมดูเหมือนจะเป็นครอบครัวของ deltoids มากกว่า deltoid ที่เฉพาะเจาะจง

สิ่งที่คุณสามารถทำได้คือพิจารณาลำดับชั้นที่แตกต่างกัน ลำดับชั้นของ deltoids ทั้งหมด ลำดับชั้นย่อยตามการพิจารณาต่างๆที่คุณมีด้านบน ตัวอย่างที่เฉพาะเจาะจงในบริบทการตีความที่เป็นนามธรรมเป็นลำดับชั้นของการขัดแตะสมบูรณ์ที่อยู่ในการเชื่อมต่อ Galois กับขัดแตะ powerset ที่กำหนดและลำดับชั้นย่อยประกอบด้วยการกระจายแบบกระจายหรือแบบบูลเดียวเท่านั้น

ในขณะที่มาร์ตินเบอร์เกอร์ชี้ให้เห็นในความคิดเห็นความคิดเกี่ยวกับสิ่งที่เป็นนามธรรมระหว่างลำดับชั้นนี้จะถูกบันทึกโดยคำต่อท้ายระหว่างหมวดหมู่

มุมมองที่เป็นหมวดหมู่

มีความคิดเห็นที่ขอความคิดเห็นเพิ่มเติมเกี่ยวกับหมวดหมู่ ความคิดเห็นนั้นไม่มีอีกต่อไป แต่ฉันจะตอบกลับ

ลองย้อนกลับไปดูสิ่งที่คุณกำลังทำในการออกแบบ deltoids และสิ่งที่ฉันได้อธิบายไว้ข้างต้นจากมุมมองที่กว้างขึ้น เรามีความสนใจในการทำความเข้าใจโครงสร้างที่สำคัญของเอนทิตีที่เราจัดการในบริบทของซอฟต์แวร์และความสัมพันธ์ระหว่างเอนทิตีเหล่านี้

การตระหนักถึงสิ่งสำคัญอันดับแรกคือการที่เราไม่เพียง แต่สนใจในชุดขององค์ประกอบ แต่ในการดำเนินการที่เราสามารถดำเนินการกับองค์ประกอบเหล่านั้นและคุณสมบัติของการดำเนินการเหล่านั้น สัญชาตญาณนี้ผลักดันการออกแบบคลาสในการเขียนโปรแกรมเชิงวัตถุและความหมายของโครงสร้างพีชคณิต คุณได้ทำให้ปรีชานี้ชัดเจนในคำจำกัดความของเดลทอยด์ซึ่งระบุการดำเนินการที่น่าสนใจสองสามอย่าง โดยทั่วไปนี่เป็นกระบวนการคิดที่อยู่ภายใต้คำอธิบายเกี่ยวกับพีชคณิต เราจำเป็นต้องระบุการดำเนินงานของเราและสิ่งที่พวกเขามีคุณสมบัติ ขั้นตอนนี้บอกโครงสร้างประเภทที่เรากำลังทำงานด้วย

การรับรู้ที่สองคือเราไม่ได้สนใจแค่ชุดขององค์ประกอบ แต่เป็นความสัมพันธ์ที่เป็นนามธรรม วิธีคิดที่เป็นทางการที่ง่ายที่สุดที่ฉันจินตนาการได้ก็คือการพิจารณาเซตที่มีการกำหนดไว้ล่วงหน้า เราสามารถนึกถึงชุดที่สั่งไว้ล่วงหน้าว่าเป็นลักษณะทั่วไปที่เข้มงวดของบางสิ่งบางอย่างที่มาพร้อมกับความคิดเกี่ยวกับการอบโดยประมาณ

เราต้องการที่จะทำงานในสภาพแวดล้อมที่ทั้งข้อมูลเชิงลึกด้านบนเป็นพลเมืองชั้นหนึ่ง ความหมายเราต้องการการตั้งค่าที่พิมพ์เช่นเดียวกับพีชคณิต แต่ยังเป็นการตั้งค่าการรับรู้ล่วงหน้าของการสั่งซื้อล่วงหน้า ขั้นตอนแรกในทิศทางนี้คือการพิจารณาขัดแตะ ขัดแตะเป็นโครงสร้างที่น่าสนใจทางแนวคิดเพราะเราสามารถนิยามมันได้สองวิธีที่เทียบเท่ากัน

1. เราสามารถกำหนดโครงตาข่ายอย่างเท่าเทียมกันเป็นเซต $(L, \sqcap, \sqcup)$พร้อมกับการพบปะและการดำเนินการเข้าร่วม จากนั้นเราสามารถหาคำสั่งบางส่วนได้โดยการกำหนด$a \sqsubseteq b$ ที่จะถือเมื่อใดก็ตามที่ $a \sqcap b = a$.
2. อีกทางเลือกหนึ่งคือการกำหนดขัดแตะเป็นชุดสั่งบางส่วน $(L, \sqsubseteq)$ พึงพอใจว่าองค์ประกอบทุกคู่มา $L$มีขอบเขตล่างที่ยิ่งใหญ่ที่สุดและขอบเขตบนน้อยที่สุด จากนั้นเราสามารถได้รับการตอบสนองและการเข้าร่วมจากการสั่งซื้อบางส่วน

ขัดแตะจึงเป็นโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ที่สามารถเข้าหาจากมุมมองเกี่ยวกับพีชคณิตหรือประมาณ ข้อบกพร่องที่นี่คือองค์ประกอบของขัดแตะตัวเองไม่ได้มีโครงสร้างประเภทที่เป็นปัจจัยในความสัมพันธ์ประมาณ ความหมายเราไม่สามารถเปรียบเทียบองค์ประกอบตามแนวคิดของการมีโครงสร้างมากหรือน้อย

ในบริบทของปัญหาของคุณคุณสามารถคิดว่าหมวดหมู่เป็นลักษณะทั่วไปตามธรรมชาติของ preorders ที่จับทั้งความคิดของการประมาณ (ใน morphisms) และโครงสร้างประเภทในการตั้งค่าเกี่ยวกับพีชคณิต การตั้งค่าของหมวดหมู่ทฤษฎีช่วยให้เราสามารถแจกจ่ายด้วยความแตกต่างที่ไม่จำเป็นและมุ่งเน้นไปที่โครงสร้างของเอนทิตีที่คุณสนใจและการประมาณของโครงสร้างนั้น คุณสมบัติสากลและส่วนเสริมให้คำศัพท์และเครื่องมือที่ทรงพลังแก่คุณในการทำความเข้าใจภูมิทัศน์ของโครงสร้างที่คุณสนใจและช่วยให้การรักษาทางคณิตศาสตร์อย่างเข้มงวดของแนวคิดที่ใช้งานง่ายเช่นระดับที่แตกต่างกันของสิ่งที่เป็นนามธรรม

เกี่ยวกับความคิดเห็นของฉันเกี่ยวกับนามธรรม deltoids ปรากฏว่าสิ่งที่คุณต้องการคือหมวดหมู่ abstract deltoid เป็นหมวดหมู่เฉพาะที่คล้ายคลึงกับหมวดหมู่ของชุด มีหมวดหมู่อื่นที่คุณกำลังพิจารณาอยู่ ในขั้นต้นฉันคิดว่าคุณกำลังนิยามเดลทอยด์ว่าในแง่ของทฤษฎีหมวดหมู่จะเป็นเทอร์มินัล (หรือสุดท้าย)

คุณกำลังศึกษาคำถามประเภทที่ทฤษฎีหมวดหมู่ให้คำตอบที่น่าพอใจมาก ฉันหวังว่าคุณจะสามารถสรุปได้ด้วยตนเอง

อ้างอิง

1. การตีความเชิงนามธรรมและการประยุกต์ใช้กับโปรแกรมเชิงตรรกะ Patrick Cousot และ Radhia Cousot ครึ่งแรกของบทความนี้เป็นการแนะนำลักษณะทั่วไปเกี่ยวกับการตีความเชิงนามธรรม
2. กรอบการตีความที่เป็นนามธรรม , Patrick Cousot และ Radhia Cousot บทความนี้กล่าวถึงความเป็นไปได้ทั้งหมดที่ฉันวาดไว้ข้างต้นเกี่ยวกับฟังก์ชั่นนามธรรมและ concretisation ในรายละเอียดที่ดี
3. การออกแบบอย่างเป็นระบบของกรอบการวิเคราะห์โปรแกรมแพทริคคูสต์และเรดิเซียคูสต์ นี่เป็นบทความที่นำเสนอแนวคิดเรื่องลำดับชั้นของนามธรรมในบริบทการวิเคราะห์โปรแกรม
4. การเก็บรักษาที่แข็งแกร่งทั่วไปโดยการตีความนามธรรมฟรานเชสโก้ Ranzato และฟรานเชสโก Tapparo บทความนี้ใช้ความคิดเหล่านี้ในบริบทที่แตกต่างของ abstractions ที่รักษาสูตรตรรกะตรรกะ คุณจะพบตัวอย่างงานของ Boolean และ abstractions แบบกระจายได้ที่นี่
5. การตีความที่เป็นนามธรรม, ความสัมพันธ์เชิงตรรกะและส่วนขยายของ Kan , Samson Abramsky นำเสนอมุมมองทฤษฎีหมวดหมู่เกี่ยวกับเนื้อหาเชิงทฤษฎีเพื่อข้างต้น

คุณกำลังทำงานในระดับปริญญาเอกของคุณ พูดว่า "ฉันไม่มีความเชี่ยวชาญ$X$"ไม่ใช่ข้อแก้ตัวและถ้าคุณดีแล้วก็พูดว่า" ที่ปรึกษาของฉันไม่รู้ $X$"ไม่ใช่ข้อแก้ตัวเช่นกัน

คุณใช้ monoids ที่คุณควรใช้หมวดหมู่ การทำงานแบบ monoid ของคุณถือว่าคุณสามารถรวมสิ่งใดก็ได้$\delta$อยู่ด้วยกัน แต่สิ่งนี้สมเหตุสมผลหรือไม่ตัวอย่างเช่นคุณจะแต่ง "เพิ่มปลอกพลาสติก" และ "เพิ่มปลอกโลหะ" ได้อย่างไร ฉันคิดว่าคุณบางคน$\delta$มีความสัมพันธ์ที่ว่างเปล่าเพราะไม่มีเหตุผล คุณควรสงสัยสิ่งนั้น

ในฐานะผู้สังเกตการณ์ที่สนใจดูเหมือนว่าโมโนoidควรเป็นหมวดหมู่ดังนั้นเราจึงสามารถเขียนได้สองรายการ $\delta$เพียง แต่มันจะสมเหตุสมผลสำหรับพวกเขาที่จะแต่ง จากนั้นการประเมินความหมายของคุณเป็นเพียงนักแสดงในหมวดหมู่ของเซตและความสัมพันธ์ แล้วคุณจะเห็นว่ามีหมวดหมู่อื่น ๆ อีกมากมายที่คุณสามารถใช้ได้ ฟังก์ชั่น deltas จะตรงกับ functor ซึ่งแผนที่ในหมวดหมู่ของชุดและฟังก์ชั่น, ตัวเลขธรรมชาติ deltoid เป็น functor เข้าไปใน monoid ของชื่อที่ประกอบด้วยหลายคำในจำนวนธรรมชาติ (เห็นเป็นหมวดหมู่) ฯลฯ

ฉันไม่แน่ใจว่าคุณต้องการทำให้ LaTeX และโทรศัพท์มือถือ Nokia เป็นทางการมากเกินไปในทฤษฎีทั่วไป แต่แน่นอนว่าทฤษฏีของคุณควรใช้กับตัวอย่างเหล่านี้ (อย่าเพิ่งงงเมื่อคุณค้นพบว่าโทรศัพท์มือถือไม่มีความหมายที่ชัดเจน)

คุณกำลังย่อตัวเองจริงๆโดยยืนยันเทคโนโลยีที่กำหนดไว้ล่วงหน้า (โดยที่ปรึกษาของคุณ?) โดยดูจากมัน