กราฟขนาดเล็กที่มีช่องว่างระหว่างหมายเลขสีและเวกเตอร์สี

12

ฉันกำลังมองหากราฟขนาดเล็ก $G$ มีเวกเตอร์สีจำนวนที่มีขนาดเล็กกว่าจำนวนรงค์ $\chi_v(G)<\chi(G)$ )

( มีเวกเตอร์สีจำนวนถ้ามีการมอบหมายที่สังหรณ์ใจเวกเตอร์ที่เกี่ยวข้องกับที่อยู่ใกล้เคียงจุดที่อยู่ห่างไกลออกจากกันความต้องการคือ. ตัวอย่างเช่นสำหรับจุดยอดของสามเหลี่ยมพอเพียง) $G$ $q$ $x\colon V \rightarrow \mathbf R^d$ $\langle x(v), x(w)\rangle \leq -1/(q-1)$ $q=3$

เวกเตอร์สีจำนวนกราฟเป็นขนาดไม่เกินจำนวนสี: )ตัวอย่างที่เป็นที่รู้จักของกราฟกับ δ(กระดาษต้นฉบับโดย Karger, Motwani, ซูดาน [JACM, 45: 246-265] ( ต้นฉบับ ) แสดงให้เห็นกราฟกราฟ Kneser ทั่วไปกระดาษล่าสุดใช้การก่อสร้างตามเวกเตอร์หน่วยสุ่ม) $\chi_v(G)\leq \chi(G)$ $\chi_v(G)=3$ $\chi(G)=n^\delta$

ฉันคิดว่าฉันมีกราฟตัวอย่าง $K$ มี $\chi_v(K)=4$ และ $\chi(K)=8$ (ขึ้นอยู่กับการคำนวณด้วยคอมพิวเตอร์) กราฟนี้มี 20 จุดยอดและ 90 ขอบ

มีตัวอย่างเล็กลงหรือไม่? อเวนิวที่น่าดึงดูดใจคือให้เวกเตอร์คอนกรีต 3 สีของกราฟ Chvatal หรือGrötzschหากมีสัตว์เช่นนั้นอยู่

( $\chi_v$ ไม่จำเป็นต้องเป็นจำนวนเต็ม แต่มันจะดี Update: ตามที่ระบุไว้ด้านล่างกรณีที่ไม่ได้กล่าวถึงเป็นเรื่องง่ายแน่นอนขอบคุณ)

อัปเดต: GrötzschและChvátal

ฉันไม่สามารถต้านทานการคิดเกี่ยวกับเวกเตอร์ 3 สีกราฟChvátalและGrötzsch

กราฟGrötschสามารถเป็นเวกเตอร์ 3 สีดังต่อไปนี้วางโหนดห้าองศาบนขั้วโลกเหนือ โหนด 5 องศา -4 ถูกวางอย่างเท่าเทียมกันในละติจูดเดียวกันประมาณ 77 องศาจากทิศเหนือลองนึกภาพเพนตาแกรมที่ทาสีบนซีกโลกเหนือ ส่วนที่เหลืออีก 5 โหนด (จากระดับ 3) จบลงที่ซีกโลกใต้ประมาณ 135 องศาจากทางเหนือ The ลองจิจูดเหมือนกับ 5 คนอื่น ๆ (ฉันจะอัปโหลดภาพวาดเมื่อฉันมี แต่มันยากที่จะวาดเส้นมาตรใน TikZ กว่าที่ฉันคิด)

ตามการแก้ปัญหาของ SDP Chvátalยังยอมรับเวกเตอร์ 3 สี แต่ผลลัพธ์นั้นเป็นเพียงเวกเตอร์จำนวนมากใน 5 มิติที่ฉันมีปัญหาในการตีความ

(ความพยายามครั้งที่สามล้มเหลว: ได้แรงบันดาลใจจากการก่อสร้างของ Yury ใช้เวลา 5 รอบและเพิ่มจุดสุดยอดที่อยู่ติดกับคนอื่น ๆ กราฟนี้มีจำนวนสี 4 แต่ตามที่นักแก้ปัญหาของฉันมันไม่ใช่เวกเตอร์ 3-colourable)

— Thore Husfeldt
แหล่งที่มา

1

คุณสามารถให้ลิงค์หรือ defn สำหรับจำนวนเวกเตอร์สีได้หรือไม่?

— Suresh Venkat

4

χ_{v} (C_{5}) = \sqrt{5} < 3 = χ (C_{5})

$\chi_v(C_5) = \sqrt{5} < 3 = \chi(C_5)$

C_{5}

$C_5$

C_{5}

$C_5$

G

$G$

χ_{v} (G) \neq χ (G)

$\chi_v(G) \neq \chi(G)$

7

$\chi_v(G)$ $G=C_5$

χ_{v} (C_{5}) = \sqrt{5} < 3 = χ (C_{5}) . [Lovász]

$\chi_v(C_5) = \sqrt{5} < 3 = \chi(C_5) . \qquad\text{[Lovász]}$

$\chi_v(G)$ $G_1$ $C_5^{(1)}$ $C_5^{(2)}$ $C_5^{(1)}$ $C_5^{(2)}$ $G_2=K_5$ $G$ $G_1$ $G_2$

\begin{aligned} χ (G) & = max (χ (G_{1}), χ (G_{2})) = χ (G_{1}) = 6. \\ χ_{v} (G) & = max (χ_{v} (G_{1}), χ_{v} (G_{2})) = max (2 \cdot \sqrt{5}, 5) = 5. \end{aligned}

$\begin{align*} \chi(G) &= \max(\chi(G_1), \chi(G_2)) = \chi(G_1) = 6.\\ \chi_v(G) &= \max(\chi_v(G_1), \chi_v(G_2)) = \max(2\cdot \sqrt{5}, 5) = 5. \end{align*}$

— Yury
แหล่งที่มา

3

นี่คือการฝังกราฟGrötzschบนทรงกลมยูนิต: ป้อนคำอธิบายรูปภาพที่นี่ สิ่งนี้สอดคล้องกับการระบายสีแบบเวกเตอร์ในวิธีที่ชัดเจน เช่นจุดยอดที่ขั้วโลกเหนือมีสีด้วยเวกเตอร์ (0,0,1)

กราฟGrötschมีโหนด 3 ประเภท โหนดระดับเดียว 5 โหนด (ที่ทิศเหนือ) ห้าองศา 4 โหนด (ในซีกโลกเหนือ, เท่ากับระยะทาง N, คุณสามารถสร้างได้ 3 โหนด) ห้าองศา 3 โหนด (ในซีกโลกใต้ซึ่งเท่ากับ N คุณสามารถสร้างได้ 3 โหนด)

N เชื่อมต่อกับ 5 ประเทศในซีกโลกใต้ที่มีขอบสีเขียว (โปรดสังเกตว่าขอบสีเขียวดูเหมือนว่าจะเกิดขึ้นที่ระดับ 4 จุดยอดในซีกโลกเหนือ แต่นั่นเป็นสิ่งประดิษฐ์ของการฝัง)

เมื่อดูจากด้านบนคุณสามารถสร้างรูปดาวห้าแฉกที่อธิบายโดยโหนดระดับ 4 คล้ายกับการฝังของ Lovasz ในระนาบ: $C_5$ ป้อนคำอธิบายรูปภาพที่นี่

ในที่สุดมุมมองจากด้านบนขั้วโลกใต้: ป้อนคำอธิบายรูปภาพที่นี่

หากเชื่อว่าการคำนวณของฉันเป็นจริงจุดยอดใกล้เคียงทั้งหมดอยู่ที่มากกว่า 120 องศาจากกันดังนั้นนี่จึงถือว่าเป็นเวกเตอร์ 3 สีที่ถูกต้อง กราฟGrötzschมี 4 สี 11 จุดยอด 20 ขอบ ฉันมีความสุขเป็นพิเศษเกี่ยวกับตัวอย่างนี้เนื่องจากการระบายสีแบบเวกเตอร์มี 3 มิติเพื่อให้คุณเห็นภาพได้ (และวาดไฮเปอร์เพลนแบบสุ่มเพื่ออธิบายขั้นตอนวิธีการระบายสีกราฟ KMS)

— Thore Husfeldt
แหล่งที่มา