การกดปุ่มตั้งค่าด้วยอนุวงศ์

ปล่อย $F$ เป็นครอบครัวของ $d$- องค์ประกอบย่อยของจักรวาล จำกัด $U$ของวัตถุ ครอบครัว$H$ ของ $k$- องค์ประกอบย่อยของ $U$กับ $1 \le k < d$, คือ $(k,d)$- การกดปุ่มชุดของ$F$ ถ้าสำหรับแต่ละ $V \in F$ มีอยู่อย่างน้อยหนึ่งชุด $W \in H$ ดังนั้น $W \subset V$.

รับชุด $F$ ดังกล่าวข้างต้น $(k,d)$- ปัญหาการตั้งค่าการกดปุ่มคือการหาที่เล็กที่สุด$(k,d)$-hitting ชุด $H$ สำหรับ $F$.

เมื่อไหร่ $k = 1$เรามีปัญหาการตั้งค่าการกดปุ่มมาตรฐานและมีผลลัพธ์ก่อนหน้ามากมายสำหรับมัน ฉันรู้ว่าการวิเคราะห์แบบกำหนดพารามิเตอร์สำหรับเคสด้วย$k = 1$ และ $d \le 3$(ดูตัวอย่างของBrankovic และ Fernau )

ไม่มีใครทราบผลลัพธ์ที่เกี่ยวข้องกับความซับซ้อนหรือความแข็งของการประมาณ $(k,d)$- ปัญหาการตั้งค่าด้วย:

1. $k = 1$ และ $d = 4$?
2. $d = 4$ และ $1 < k < d$?
3. $1 \le k < d$ และ $d$ พล?

สำหรับค่าคงที่ $d$ $(k,d)$- ปัญหาการตั้งค่าการกดปุ่มนั้นไม่ได้ยากกว่าของจริง $d$- ตั้งค่าการกดปุ่ม (เช่น $k=1$) ในมุมมองของทั้งการประมาณและความซับซ้อนที่ซับซ้อน มีการลดลงอย่างง่ายจาก$kd$-HS ถึง $d$-HS ตัวอย่างเช่น$(U,\mathcal{F},d,k)$ ของปัญหาแรกที่เราได้รับจาก $(U',\mathcal{F'},d)$ ขององค์ประกอบที่สองที่ทุกองค์ประกอบ $e \in U'$ สอดคล้องกับ $k$- องค์ประกอบย่อยของ $U$และแต่ละชุดใน $\mathcal{F'}$ สอดคล้องกับชุดใน $\mathcal{F}$ ในทำนองเดียวกัน (เช่นการทำแผนที่ทั้งหมด $k$- องค์ประกอบย่อยของ $U$ ถึงองค์ประกอบใน $U'$) ตั้งแต่$k$ เป็นค่าคงที่ขนาดของอินสแตนซ์ใหม่คือฟังก์ชันพหุนามของขนาดของอินสแตนซ์แรก ($O(n^k)$) ชุดการกดปุ่มสำหรับปัญหาแรกสอดคล้องกับชุดการกดปุ่มของ cardinality เดียวกันสำหรับปัญหาที่สองและในทางกลับกันการลดจึงเป็นการประมาณที่จะรักษาไว้