นับจำนวนต้นไม้ที่กางเร็ว

ให้แทนจำนวนต้นไม้ที่ทอดในกราฟมีจุดยอดมีอัลกอริทึมที่คำนวณในการดำเนินการทางคณิตศาสตร์อัลกอริทึมนี้คือการคำนวณโดยที่Qคือ Laplacian ของGและJเป็นเมทริกซ์ที่ประกอบด้วย1เท่านั้น สำหรับข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับอัลกอริทึมนี้ให้ดูทฤษฎีกราฟขนาดใหญ่ - พีชคณิตหรือคำถามทางคณิตศาสตร์ SE$t(G)$$G$$n$$t(G)$$O(n^3)$QGJ$\frac{1}{n^2} \det(J + Q)$$Q$$G$$J$$1$

ฉันสงสัยว่ามีวิธีคำนวณ$t(G)$ได้เร็วขึ้นไหม (ใช่มีเร็วกว่า$O(n^3)$อัลกอริทึมสำหรับการคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ แต่ฉันสนใจในวิธีการใหม่บางอย่าง)

นอกจากนี้ยังมีความสนใจในการพิจารณากราฟของตระกูลพิเศษ (ระนาบหรืออาจ?)

ตัวอย่างเช่นสำหรับกราฟ circulant สามารถคำนวณ$t(G)$ใน$O(n \lg n)$การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ผ่าน identity $t(G) = \frac{1}{n} \lambda_1 \dotsm \lambda_{n-1}$โดยที่$\lambda_i$ไม่ใช่ค่าลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์ Laplacian ของ$G$ซึ่งสามารถคำนวณได้อย่างรวดเร็วสำหรับกราฟหมุนเวียน (แทนแถวแรกเป็นพหุนามแล้วคำนวณบนรากที่$n$ของความสามัคคี - ขั้นตอนนี้ใช้การแปลงฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่องและสามารถทำได้ในการดำเนินการทางคณิตศาสตร์$O(n \lg n)$ )

ขอบคุณมาก!

เป็นที่ทราบกันดีว่าสำหรับของ treewidth ที่มีขอบเขต จำกัด Tutte polynomialสามารถประเมินได้ที่ใด ๆโดยใช้การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ หากมีการเชื่อมต่อแล้ว1,1)$G$$T(G;x,y)$$(x,y)$$O(n)$$G$$t(G)=T(G;1,1)$