ตัวกำหนดและการคูณเมทริกซ์ - ความเหมือนและความแตกต่างในความซับซ้อนของอัลกอริทึมและขนาดวงจรคณิตศาสตร์

ฉันพยายามที่จะเข้าใจความสัมพันธ์ระหว่างความซับซ้อนของอัลกอริทึมและความซับซ้อนของวงจรของตัวกำหนดและการคูณเมทริกซ์

เป็นที่รู้จักกันว่าปัจจัยของนั้นเมทริกซ์สามารถคำนวณในเวลาที่เป็นเวลาขั้นต่ำที่จำเป็นในการคูณสองเมทริกซ์ เป็นที่ทราบกันว่าความซับซ้อนของวงจรที่ดีที่สุดของดีเทอร์มิแนนต์คือพหุนามที่ระดับความลึกและเลขชี้กำลัง $n\times n$ $\tilde{O}(M(n))$ $M(n)$ $n\times n$ $O(\log^{2}(n))$ ที่ความลึก 3 แต่ความซับซ้อนของวงจรของการคูณเมทริกซ์สำหรับความลึกคงที่ใด ๆ เป็นเพียงพหุนาม

เหตุใดจึงมีความแตกต่างในความซับซ้อนของวงจรสำหรับตัวกำหนดและการคูณเมทริกซ์ในขณะที่เป็นที่ทราบกันว่าจากการคำนวณดีเทอร์มิแนนต์มุมมองของอัลกอริทึมนั้นคล้ายกับการคูณเมทริกซ์ โดยเฉพาะทำไมซับซ้อนวงจรมีช่องว่างที่ชี้แจง depth- ? $3$

อาจอธิบายได้ง่าย แต่ฉันไม่เห็นมัน มีคำอธิบายเกี่ยวกับ 'ความแม่นยำ' หรือไม่?

ดูเพิ่มเติมที่: สูตรที่เล็กที่สุดที่รู้จักกันดี

— T ....
แหล่งที่มา

คำตอบ:

พิจารณาปัญหาค่าวงจรและการประเมินสูตรบูลีนสำหรับคลาสความซับซ้อนขนาดเล็กต่างๆ ความซับซ้อนของเวลาตามลำดับที่กำหนดของพวกมันคล้ายกันเท่าที่เรารู้ แต่พวกมันแตกต่างจากมุมมองความซับซ้อนของวงจร ความคล้ายคลึงกันในทรัพยากรประเภทหนึ่งในรุ่นหนึ่งไม่ได้หมายความถึงความคล้ายคลึงกันสำหรับทรัพยากรอื่นในรุ่นอื่น ปัญหาหนึ่งอาจเป็นเช่นนั้นเราสามารถใช้ประโยชน์จากการคำนวณแบบขนานสำหรับหนึ่งในขณะที่เราไม่สามารถทำเช่นนั้นสำหรับอีกคนหนึ่ง แต่ความซับซ้อนของลำดับเวลาของพวกเขาสามารถเหมือนกัน

เมื่อใดที่เราสามารถคาดหวังความสัมพันธ์ที่แข็งแกร่งระหว่างความซับซ้อนของปัญหาสองข้อในแบบจำลองและทรัพยากรที่แตกต่างกัน เมื่อพวกเขากำลังลดลงอย่างแข็งแกร่งระหว่างพวกเขาทั้งสองทิศทางที่เคารพทรัพยากรในรูปแบบเหล่านั้น

แก้ไข: การคูณมีขนาดความลึกเอ็กซ์โพเนนเชียลขนาด 3 วงจร การพิสูจน์ขอบเขตล่างของชนิดนั้นสำหรับดีเทอร์มิแนนต์จะแสดงว่ามันไม่ได้อยู่ในแยกออกจากซึ่งไม่ทราบ $\mathsf{NL}$ $\mathsf{NC^2}$

— Kaveh
แหล่งที่มา

"การคูณมีวงจรเชิงลึกขนาด 3 เอ็กซ์โพเนนเชียล" ฉันคิดว่าการคูณมีขนาดวงจร

ที่ระดับความลึกใด ๆ เนื่องจากมันเกี่ยวข้องกับการดึงตัวแปร

และคูณพวกมันตามลำดับและเพิ่มผลิตภัณฑ์ระดับกลาง

O (n^{3})

$O(n^{3})$

n^{2}

$n^{2}$

— T ....

คูณของจำนวนเต็มสองจำนวนเป็นที่สมบูรณ์แบบสำหรับ

และดังนั้นจึงไม่ได้อยู่ใน

T C^{0}

$\mathsf{TC^0}$

A C^{0}

$\mathsf{AC^0}$

— Kaveh

ตอนนี้ฉันกำลังดูความซับซ้อนแบบเรียงลำดับเท่านั้น

— T ....

ฉันไม่แน่ใจว่าฉันทำตามความคิดเห็นของคุณ ฉันคิดว่าโพสต์ของฉันตอบคำถามในการตั้งค่าบูลีน (คำถามไม่ได้พูดถึงวงจรเลขคณิต IIRC เดิม) สำหรับการตั้งค่าวงจรคณิตศาสตร์ฉันไม่รู้มากหวังว่าคนอื่นจะตอบคำถาม

— Kaveh

ฉันจะบอกว่าช่องว่างในการตั้งค่าเลขคณิตบอกเราว่าการคูณเมทริกซ์นั้นโดยเนื้อแท้แล้วเป็นงานที่ขนานมากกว่าตัวกำหนด กล่าวอีกนัยหนึ่งในขณะที่ความซับซ้อนตามลำดับของปัญหาทั้งสองนั้นมีความสัมพันธ์กันอย่างใกล้ชิด แต่ความสลับซับซ้อนแบบขนานนั้นไม่ได้อยู่ใกล้กัน

$D(n)$ $n\times n$

O (เข้าสู่ระบบ n) \leq D (n) \leq O ({เข้าสู่ระบบ}^{2} n) .

$O(\log n)\le D(n) \le O(\log^2 n).$

3

$3$ วงจรคณิตศาสตร์คำนวณคูณเมทริกซ์ได้รับโดยสูตร

(A \cdot B)_{i j} = \sum_{k} A_{i k} B_{k j}

$(A\cdot B)_{ij}=\sum_k A_{ik}B_{kj}$

— บรูโน่
แหล่งที่มา

ฉันไม่รู้ว่านี่เป็น anwser หรือไม่ "เพราะเหตุใดความซับซ้อนของวงจรจึงมีช่องว่างแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลที่ระดับความลึก -3?" แต่อย่างน้อยคุณก็มีข้อพิสูจน์เรื่องนี้ว่าเป็นกระดาษของ Csanky

— Bruno

หากฉันเข้าใจอย่างถูกต้องแสดงว่าคุณมีตัวประมวลผลพหุนามจำนวนหนึ่งต้องการความลึกแบบลอการิทึมหรือไม่

— T ....

ฉันจำรุ่น Csanky ไม่ได้เลย ที่จริงแล้วเขากำลังพิจารณาสิ่งที่เราทุกวันนี้เรียกว่าวงจรเลขคณิตที่มีแฟนๆ ดังนั้นขอบเขตล่างนั้นค่อนข้างเล็กน้อยและการเปรียบเทียบของฉันกับการคูณเมทริกซ์ไม่เกี่ยวข้อง

— บรูโน่