ประมาณอันดับสัญญาณของเมทริกซ์

อันดับสัญญาณของเมทริกซ์ A ที่มี + 1, -1 รายการเป็นอันดับที่น้อยที่สุด (เหนือ reals) ของเมทริกซ์ B ซึ่งมีรูปแบบเครื่องหมายเดียวกันกับ A (เช่นสำหรับiทั้งหมด, ญ ) ความคิดนี้มีความสำคัญในการสื่อสารที่ซับซ้อนและทฤษฎีการเรียนรู้$A_{ij}B_{ij}>0$$i,j$

คำถามของฉันคือ: มีอัลกอริธึมที่รู้จัก (เวลาเอ็กซ์โปแนนเชียล) ใดบ้างที่ใกล้เคียงกับเครื่องหมายการจัดอันดับของเมทริกซ์ภายในปัจจัย ?$o(n)$

(ฉันรู้ว่าขอบเขตล่างของฟอร์สเตอร์นั้นอยู่ที่ระดับสัญญาณในแง่ของบรรทัดฐานสเปกตรัม แต่สิ่งนี้ไม่ได้ให้อัตราส่วนประมาณที่ดีกว่าโดยทั่วไป)$\Omega(n)$

ฉันเชื่อว่านี่เป็นคำถามเปิด

Lee และ Schraibman ใน"อัลกอริทึมการประมาณอันดับที่ประมาณ"แสดงให้เห็นว่าอันดับการประมาณสามารถประมาณเป็นปัจจัยคงที่โดยอัลกอริทึมเวลาพหุนาม ต้องการทำเช่นนั้นพวกเขาเกี่ยวข้องกับปริมาณการเขียนโปรแกรม semidefinite ยศประมาณที่αบางมากขึ้นกว่าพารามิเตอร์ จำกัด 1. การαถึงขีด จำกัด ของอินฟินิตี้ผลตอบแทนถัวเฉลี่ยที่เครื่องหมายยศ แต่ผลของพวกเขาไม่ได้ให้อะไรในเรื่องนี้ การตั้งค่า$\gamma_2^\alpha$$\alpha$$\alpha$

งานล่าสุดโดย Alon, Moran และ Yehudayoffให้อัลกอริทึมการประมาณLet dเป็น VC-มิติของสัญญาณเมทริกซ์S แนวคิดก็คือ$O(n/\log n)$$d$$S$

• มีเมทริกซ์ที่คำนวณได้อย่างมีประสิทธิภาพพร้อมรูปแบบเครื่องหมายSเช่นนั้นr a n k M = O ( n 1 - 1 / d ) ;$M$$S$$\mathrm{rank}\ M = O(n^{1-1/d})$
• อันดับสัญญาณของอย่างน้อยd$S$$d$

$M$$O(n^{1-1/d}/d)$$d = \Theta(\log n)$