ตัดวงจรขอบเขตที่ต่ำกว่าชุดประตูโดยพลการ

ในปี 1980 Razborov มีชื่อเสียงแสดงให้เห็นว่ามีฟังก์ชั่นบูลีนเสียงเดียวที่ชัดเจน (เช่นฟังก์ชั่น CLIQUE) ที่ต้องการประตู AND และ OR จำนวนมากเพื่อการคำนวณ อย่างไรก็ตามพื้นฐาน {AND, OR} เหนือโดเมนบูลีน {0,1} เป็นเพียงตัวอย่างหนึ่งของชุดเกทที่น่าสนใจซึ่งขาดความเป็นสากล สิ่งนี้นำไปสู่คำถามของฉัน:

มีชุดประตูอื่น ๆ ที่น่าสนใจแตกต่างไปจากประตูโมโนโทนซึ่งเป็นที่รู้จักกันในขอบเขตล่างที่อธิบายขนาดของวงจร (ไม่มีความลึกหรือข้อ จำกัด อื่น ๆ ในวงจร)? ถ้าไม่มีมีชุดประตูอื่น ๆ ที่มีความน่าเชื่อถือสำหรับขอบเขตที่ต่ำกว่านั้น --- ขอบเขตที่ไม่จำเป็นต้องทำลายกำแพง Natural Proofs ในขณะที่ผลการทดสอบเสียงโมโนโทนวงจรเดียวของ Razborov ไม่?

หากชุดประตูมีอยู่แน่นอนว่ามันจะเป็นตัวอักษร k-ary สำหรับk≥3 เหตุผลก็คือเพราะตัวอักษรเลขฐานสองนั้น

(1) ประตูเสียงเดียว ({AND, OR})

(2) ประตูเชิงเส้น ({NOT, XOR}) และ

(3) ประตูสากล ({AND, OR, NOT})

โดยทั่วไปหมดความเป็นไปได้ที่น่าสนใจดังนี้จากทฤษฎีการจำแนกประเภทของโพสต์ (โปรดสังเกตว่าฉันสมมติว่าค่าคงที่ --- 0 และ 1 ในกรณีไบนารี - จะใช้ได้ฟรีเสมอ) เมื่อใช้เกตเชิงเส้นทุกฟังก์ชันบูลีน f: {0,1} ⁿ → {0,1} นั่นคือ คำนวณได้ทั้งหมดคำนวณโดยวงจรเชิงเส้นขนาด ด้วยชุดที่เป็นสากลแน่นอนว่าเรากำลังต่อต้านข้อพิสูจน์ตามธรรมชาติและอุปสรรคที่น่ากลัวอื่น ๆ

ในทางกลับกันถ้าเราพิจารณาชุดประตูมากกว่าตัวอักษรสัญลักษณ์ 3 หรือ 4 ตัว (ตัวอย่าง) จากนั้นความเป็นไปได้ที่กว้างขึ้นจะเปิดขึ้น --- และอย่างน้อยที่สุดฉันก็รู้ว่าความเป็นไปได้เหล่านั้นไม่เคยถูกแมปอย่างเต็มที่ จากมุมมองของทฤษฎีความซับซ้อน (โปรดแก้ไขฉันหากฉันผิด) ฉันรู้ว่าชุดประตูที่เป็นไปได้มีการศึกษาอย่างกว้างขวางภายใต้ชื่อ "โคลน" ในพีชคณิตสากล ฉันหวังว่าฉันจะคุ้นเคยกับวรรณคดีนั้นมากขึ้นเพื่อที่ฉันจะได้รู้ว่าถ้าผลลัพธ์จากพื้นที่นั้นมีความหมายสำหรับความซับซ้อนของวงจร

ไม่ว่าในกรณีใดดูเหมือนว่าไม่มีคำถามว่ามีวงจรละครล่างอื่น ๆ ที่สุกงอมสำหรับการพิสูจน์ถ้าเราเพียงแค่ขยายคลาสของชุดเกทผ่านตัวอักษรที่ จำกัด ที่เรายินดีพิจารณา ถ้าฉันผิดโปรดบอกฉันทีว่าทำไม!

(ย้ายจากความคิดเห็นตามที่ Suresh แนะนำหมายเหตุข้อผิดพลาดบางอย่างในความคิดเห็นได้รับการแก้ไขที่นี่)

ขอบคุณ Scott สำหรับคำถามที่ยอดเยี่ยม

สกอตต์ดูเหมือนจะแนะนำว่าเหตุผลของความยากลำบากในการลดขอบเขตอาจเป็นภาษาที่ จำกัด ของการดำเนินงานในกรณีบูลีน อาร์กิวเมนต์การนับของแชนนอนที่แสดงวงจรส่วนใหญ่จะต้องอาศัยขนาดใหญ่ขึ้นอยู่กับช่องว่างระหว่างพลังการแสดงออกที่นับได้และหลายวงจร ช่องว่างนี้ดูเหมือนจะหายไปเมื่อตัวอักษรมีสัญลักษณ์อย่างน้อย 3 ตัว

ขนาดตัวอักษร 2 (กรณีบูลีน), ตาข่ายโคลนเป็นอนันต์วท์และถูกเรียกว่าตาข่ายโพสต์

โครงตาข่ายของโพสต์ยังทำให้ชัดเจนว่าทำไมมีฐานปฏิบัติการที่น่าสนใจเพียงเล็กน้อยสำหรับเคสบูลีน

สำหรับขนาดตัวอักษร 3 ขึ้นไปโครงข่ายของโคลนจะนับไม่ได้ นอกจากนี้ขัดแตะไม่พึงพอใจตัวตนขัดแตะใด ๆ ดังนั้นจึงเป็นไปไม่ได้ที่จะให้คำอธิบายที่สมบูรณ์ของขัดแตะ สำหรับขนาดตัวอักษร 4 หรือมากกว่านั้นแท้จริงแล้วการโคลนนิ่งของโคลนนิ่งนั้นประกอบไปด้วยตาข่ายอัน จำกัด ทุกอันในรูปแบบย่อย ดังนั้นจึงมีฐานปฏิบัติการที่น่าสนใจมากมายที่จะต้องพิจารณาเมื่อตัวอักษรมีสัญลักษณ์ตั้งแต่ 3 ตัวขึ้นไป

• Bulatov, Andrei A. , เงื่อนไขที่พึงพอใจจากการโปรยโคลน , พีชคณิต Universalis 46 237–241, 2001. ดอย: 10.1007 / PL00000340

สกอตต์ถามเพิ่มเติม: ตาข่ายของโคลนนิ่งยังคงนับไม่ได้ถ้าเราคิดว่าค่าคงที่มีให้ฟรีหรือไม่?

คำตอบก็คือมันดูตัวอย่าง

• Gradimir Vojvodić, Jovanka Pantovićและ Ratko Tošić, จำนวนของโคลนนิ่งที่มีฟังก์ชันเป็นเอกภาพ , NSJOM 27 83-87, 1997. ( PDF )
• J. Pantovićหม่อมราชวงศ์Tošićและ G. Vojvodić ความสำคัญเชิงพีชคณิตของพีชคณิตเสร็จสมบูรณ์ตามหน้าที่ในชุดองค์ประกอบสามชุด Algebra Universalis 38 136–140, 1997 ดอย: 10.1007 / s000120050042

แม้ว่าจะเห็นได้ชัดว่านี่ถูกตีพิมพ์ก่อนหน้านี้:

• Ágoston, I. , Demetrovics, J. และHannák, L. จากจำนวนโคลนนิ่งที่มีค่าคงที่ทั้งหมด Coll คณิตศาสตร์. Soc János Bolyai 43 21–25, 1983

ข้อความเฉพาะที่ดีคือจาก:

• A. Bulatov, A. Krokhin, K. Safin และ E. Sukhanov, บนโครงสร้างของโปรยโคลน , ใน: "พีชคณิตทั่วไปและคณิตศาสตร์ไม่ต่อเนื่อง", บรรณาธิการ: K. Denecke และ O. Lueders, 27–34 Heldermann Verlag, Berlin, 1995. ( PS )

$k \ge 3$$\mathcal{L}_k$$2^{\aleph_0}$

ในการสรุปผมไม่ได้ตระหนักถึงงานใด ๆ ในการใช้โคลนนิ่งที่ไม่ใช่บูลีนเพื่อลดขอบเขตของวงจร ดูเหมือนว่าคุ้มค่าที่จะตรวจสอบในเชิงลึกมากขึ้น เมื่อพิจารณาถึงจำนวนเล็กน้อยที่เป็นที่รู้จักเกี่ยวกับโครงร่างของโคลนอาจมีฐานปฏิบัติการที่น่าสนใจรอการค้นพบ

การเชื่อมโยงเพิ่มเติมระหว่างทฤษฎีการโคลนนิ่งและวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์อาจเป็นที่สนใจของนักคณิตศาสตร์ที่ทำงานในพีชคณิตสากล ตัวอย่างก่อนหน้าของการโต้ตอบประเภทนี้เกิดขึ้นเมื่อ Peter Jeavons แสดงให้เห็นว่า algebras สามารถเชื่อมโยงกับภาษาที่มีข้อ จำกัด ในวิธีที่ช่วยให้ผลลัพธ์การเปลี่ยนแปลงได้ง่ายในการแปลเป็นคุณสมบัติของพีชคณิต Andrei Bulatov ใช้สิ่งนี้เพื่อพิสูจน์การแบ่งขั้วสำหรับ CSP ที่มีขนาดโดเมน 3 ไปทางอื่นมีการฟื้นฟูความสนใจในทฤษฎีความสอดคล้องเชื่องอันเป็นผลมาจากการประยุกต์ใช้วิทยาการคอมพิวเตอร์ ฉันสงสัยว่าจะตามมาจากการเชื่อมโยงระหว่างทฤษฎีโคลนและความซับซ้อนของวงจรที่ไม่ใช่บูลีน

สิ่งนี้ถูกย้ายจากความคิดเห็นตามที่ Suresh แนะนำ

$f:{0,1}^n \rightarrow {0,1}^n$$\Omega(\frac{n^2}{\log(n)})$

$\frac{n^2}{\log(n) * c}$$c$

$\Omega(n log n)$$\Omega(n^{3/2})$

แก้ไข 2อุปสรรคสำคัญคือเราไม่มีวิธีการใด ๆ ในการพิสูจน์ขอบเขตล่างที่ไม่เป็นเชิงเส้นแม้กระทั่งสำหรับประตูเชิงเส้นเท่าที่ฉันรู้ ขอบเขตที่ไม่เชิงเส้น) แม้ว่ามันจะดูเหมือนว่าวิธีการบางอย่างจากพีชคณิตเชิงเส้นจริงๆต้องเป็นประโยชน์ ดังนั้นการเลือกผู้สมัครที่ดี แต่วิธีการใหม่บางอย่างก็มีความจำเป็นอยู่แล้ว

1. $\{0,1\}$$a$$Z_3^n=\{0,1,2\}^n$$\min(x,y)$$xy\mod{2}$$f(a)=0$$a$$0$$2$'s ในอย่างน้อยจำนวน ' s แสดงให้เห็นว่าเขาว่าวงจรใด ๆ (มากกว่าที่ MIN / แฮคเกอร์) พื้นฐานต้องใช้ประมาณประตูคำนวณฉแต่นั่นคือ! ฉันไม่ได้ตระหนักถึงผลลัพธ์เพิ่มเติมใด ๆ ในความโปรดปรานที่คล้ายกัน (จะมีขนาดใหญ่ขึ้น แต่ก็ยังมีขอบเขต จำกัด ) ยกเว้นแน่นอนเนื้อหาของวงจรเลขคณิต แต่สำหรับวงจร - สำหรับโปรแกรมการแบรนช์ไปยังโดเมนขนาดใหญ่ทำให้งานของขอบเขตที่ต่ำกว่าค่อนข้างง่ายขึ้น $a$$1$$2^n/\sqrt{n}$$f$

2. บนวงจรที่มีประตูแฮคเกอร์ ที่นี่แม้กระทั่งกรณีของความลึกเปิดอย่างกว้างขวาง สูงสุดขอบเขตที่ต่ำกว่าสำหรับการแปลงเชิงเส้นอย่างชัดเจนกว่ามีรูปแบบ n เพื่อพิสูจน์ขอบเขตเช่นสำหรับค่าคงที่แม้ในระดับความลึกและแม้ว่าจะอนุญาตให้เฉพาะประตู XOR เท่านั้นก็เป็นสิ่งที่ท้าทาย$2$$y=Ax$$GF(2)$$n\log^{3/2}n$$n^{1+c}$$c>0$$2$