meta-undecidability เป็นไปได้หรือไม่

มีปัญหาที่สามารถตัดสินใจได้มีบางอย่างที่ไม่สามารถตัดสินใจได้มีความสามารถในการ semidecidability ฯลฯ

ในกรณีนี้ฉันสงสัยว่าปัญหาสามารถเมตาดาต้า - ตัดสินใจไม่ได้ ซึ่งหมายความว่า (อย่างน้อยในหัวของฉัน) เราไม่สามารถบอกได้ว่ามันจะเป็น decidable หรือไม่

บางทีอาจเป็นที่รู้จักกันดีว่า decidability นั้นไม่สามารถตัดสินใจได้ (ทุกอย่างคือ meta-undecidable) และไม่มีอัลกอริธึมที่จะพิสูจน์ว่า decidability สำหรับสิ่งใดดังนั้น decidability ต้องได้รับการพิสูจน์ด้วยมือเป็นกรณี ๆ ไป

บางทีคำถามของฉันอาจไม่มีเหตุผล บางทีฉันคิดว่าเราเป็นเครื่องจักรคาร์บอนที่ใช้อัลกอริธึมที่ซับซ้อนมากและนั่นเป็นสาเหตุที่คำถามนี้มีเหตุผลเฉพาะในหัวของฉัน

โปรดแจ้งให้เราทราบหากคำถามนั้นต้องการคำชี้แจงเพิ่มเติม ฉันอาจต้องการตัวเองในขณะนี้

ขอบคุณ.

computability decidability undecidability

— Trylks
แหล่งที่มา

ให้เราพิจารณาคำแถลง "ทฤษฎี monadic (ลำดับที่สอง) ของคำสั่งเชิงเส้นทั้งหมดคำนวณได้" มีเหตุผลที่จะเชื่อ (แต่ฉันไม่แน่ใจว่าความเป็นอิสระได้รับการพิสูจน์แล้ว) ว่าคำสั่งนี้มีความเป็นอิสระ (กล่าวคือไม่สามารถตัดสินใจได้) ใน ZFC รายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับเหตุผลสามารถพบได้ในbooks.google.es/books?id=y3YpdW-sbFsC&pg=PA397

— boumol

เมื่อคุณพูดว่า "decidability ไม่สามารถตัดสินใจได้" อินพุตคืออะไร

— Mahdi Cheraghchi

เขาอาจสนใจen.wikipedia.org/wiki/Turing_degreeแต่ก็ไม่ชัดเจนว่าจะระบุคำถามอย่างไร :)

— Daniel Apon

@ Boumol Shelah ("ทฤษฎีของคำสั่ง monadic", Ann. Math. 102 (3), 1975) พิสูจน์ (สมมติว่า CH) ว่า "ทฤษฎี monadic ของคำสั่งคือ undecidable" (ทฤษฎีบท 7 (B), p. 409)

— Yuval Filmus

L = {\begin{cases} halting problem & if the continuum hypothesis holds \\ \emptyset & otherwise \end{cases}

$L = \begin{cases} \text{halting problem} & \text{if the continuum hypothesis holds} \\ \emptyset & \text{otherwise} \end{cases}$

— sdcvvc

คำตอบ:

นี่คือร่างย่อที่แสดงให้เห็นว่าไม่มีเครื่องทัวริงที่จะตัดสินว่าปัญหาที่เกิดขึ้นตามอำเภอใจนั้นสามารถตัดสินใจได้หรือไม่

ฉันควรอธิบายสิ่งที่ฉันหมายถึงโดยชั้นของปัญหา: ชั้นของปัญหา $T$ เป็นเครื่องทัวริงซึ่งระบุองค์ประกอบ (จำนวนธรรมชาติพูด) ของชุดนับซ้ำที่ซ้ำกันหลังจากที่อื่น ๆ เช่นว่าแต่ละองค์ประกอบในชุดในที่สุดก็พิมพ์ ปัญหาที่จับได้โดยสัญชาตญาณ $T(n)$ คือ: "คือตัวเลข $n$ ในชุดนี้? "สิ่งนี้จะจับปัญหาตามปกติในด้านการคำนวณเช่น" คือดัชนีของเครื่องทัวริงที่หยุดการป้อนข้อมูลเปล่าหรือไม่ "

สมมติว่ามีเครื่อง $M$ ซึ่งกำหนดให้เป็นคลาสของปัญหา $T$ ตอบ $\mathit{true}$ ถ้าคลาสนั้นสามารถตัดสินใจได้และ $\mathit{false}$ มิฉะนั้น.

ตอนนี้ใช้เครื่องมือทัวริงโดยพลการ $T$ . เราสร้างคลาสของปัญหาดังต่อไปนี้ $T'$ ในลักษณะดังต่อไปนี้:

จำลอง $T$ .
ถ้า $T$ หยุดการแจกแจงดัชนีของเครื่องทัวริงที่หยุดที่อินพุตว่าง

ตอนนี้มันชัดเจนว่าถ้า $T$ หยุดแล้ว $M(T')$ ผลตอบแทน $\mathit{false}$ เนื่องจากชุดของดัชนีหยุดการทำงานของเครื่องจักรทัวริงไม่ได้เป็นชุด (เรียกซ้ำ)

ถ้า $T$ ไม่ได้หยุดแล้ว $T'$ ไม่ได้ระบุตัวเลขใด ๆซึ่งทำให้เป็นชั้นของปัญหาที่ไม่มีดัชนี! ดังนั้น $M(T')$ คำตอบ $\mathit{true}$ เนื่องจากคลาสนั้นสามารถถอดรหัสได้ (โดยเครื่องที่ปฏิเสธเสมอ)

ดังนั้น, $M(T')$ ผลตอบแทน $\mathit{true}$ IFF $T$ ไม่หยุดและ $\mathit{false}$ มิฉะนั้น. ดังนั้นการดำรงอยู่ของ $M$ ช่วยให้เราสามารถแก้ปัญหาการหยุดชะงักสำหรับเครื่องโดยพลการ $T$ ซึ่งเป็นข้อขัดแย้ง

— Cody
แหล่งที่มา

เฮ้โคดี้! ฉันหวังว่าคุณจะทำได้ดี. คุณจะอยู่ที่พิตส์เบิร์กในฤดูร้อนนี้หรือไม่?

— Michael Wehar

เฮ้! ฉันไม่แน่ใจ. ส่งอีเมลถึงฉัน!

— ดี้

ความคิดที่ยอดเยี่ยมมาก!

แนวคิด: เราสามารถใช้ประโยชน์จากสัจพจน์ความเข้าใจในทฤษฎีเซต ZF เพื่อกำหนดภาษาที่ขึ้นอยู่กับคำแถลงอิสระ

ขั้นตอนที่ 1: จดคำสั่งที่คุณชื่นชอบซึ่งไม่ขึ้นกับ ZF เช่น AC - ความจริงที่คุณเลือก

ขั้นตอนที่ 2: กำหนดภาษา L = {x ใน {0,1} | x = 0 ถ้า AC และ x = 1 ถ้าไม่ใช่ AC} โปรดสังเกตว่า L คือ {0} หรือ {1} ตอนนี้ L สามารถตัดสินใจได้ แต่เราไม่สามารถจัดหาโปรแกรมที่ตัดสินใจได้ว่า L. เราสามารถจัดหาโปรแกรมที่ตัดสินใจ {0} หรือเราสามารถจัดหาโปรแกรมที่ตัดสินใจ {1} แต่เราไม่ทราบแน่ชัด อันไหนตัดสินใจแอล

ขั้นตอนที่ 3: ใช้แนวคิดนี้เพื่อกำหนดภาษาที่สามารถตัดสินใจได้ถ้า AC และ undecidable ถ้าไม่ใช่ AC ให้ H เป็นเซตที่หยุดนิ่งซึ่งไม่สามารถตัดสินใจได้ กำหนด L = {x | x เป็นสตริงถ้า AC และ x อยู่ใน H ถ้าไม่ใช่ AC} ถ้า AC, ดังนั้น L = ชุดของสตริงทั้งหมดและ L สามารถถอดรหัสได้ ถ้าไม่ใช่ AC ดังนั้น L = H และ L จะไม่สามารถตัดสินใจได้ ไม่ว่า L จะสามารถตัดสินใจได้หรือไม่นั้นเป็นอิสระจาก ZF

— Michael Wehar
แหล่งที่มา