ผลรวมของตัวแปรสุ่มแบบเอกซ์โปเนนเชียลอิสระ


12

เราสามารถพิสูจน์ผลความเข้มข้นที่คมชัดในผลรวมของตัวแปรสุ่มอิสระชี้แจงคือให้เป็นตัวแปรสุ่มอิสระดังกล่าวว่าlambda_i} ให้x_i เราสามารถพิสูจน์ขอบเขตของฟอร์ม2} สิ่งนี้ตามมาโดยตรงหากเราใช้รูปแบบความแปรปรวนของ chernoff ขอบเขตและด้วยเหตุนี้ฉันเชื่อว่าเป็นจริง แต่ขอบเขตที่ฉันอ่านต้องการขอบเขตที่ จำกัด หรือมีการพึ่งพาขอบเขตขอบเขตของตัวแปร ใครช่วยชี้ให้ฉันเห็นหลักฐานข้างต้น P r ( X i < x ) = 1 - e - x / λ ฉัน Z = X i P r ( | Z - μ Z | > t ) < e - t 2 /( λ i ) 2X1,XrPr(Xi<x)=1ex/λiZ=XiPr(|ZμZ|>t)<et2/(λi)2


เพียงทำตามหลักฐานของ chernoff: มันง่ายที่จะ จำกัด ช่วงเวลาของเลขชี้กำลังของตัวแปรสุ่มแบบเลขชี้กำลัง
Sasho Nikolov

ฉันพยายามที่จะพิสูจน์ซ้ำของ chernoff ฉันไม่ได้สำหรับกรณีที่เรียบง่ายเมื่อทุกλi=λ λ ฉันจะได้รับชนิดของความสัมพันธ์ที่ฉันกำลังมองหาอยู่ภายใต้สภาวะรุนแรงของt<nλ λ เงื่อนไขดังกล่าวเกิดขึ้นตามธรรมชาติหรือเป็นเพราะการแก้ปัญหาของฉันไม่ค่อยดี
NA

3
ตรวจสอบเลมม่า 2.8 ที่นี่eprint.iacr.org/2010/076.pdf
Sasho Nikolov

ใช่มันสมเหตุสมผลแล้ว แม้จะอยู่ในบทแทรกของพวกเขาพวกเขามีสภาพบนtเป็นพอขนาดเล็ก ตกลงแล้ววิธีแก้ปัญหาของฉันดูเหมือนจะถูกต้อง ขอบคุณมากสำหรับลิงค์และข้อเสนอแนะ
NA

1
x Pr [ X i < x ] = 1 - e - λ i x λ - 2 iPr[Xi<x]=eλixxPr[Xi<x]=1eλixλi2

คำตอบ:


7

สำหรับ concreteness ให้บอกว่า pdf ของ rvคือXi

p(Xi=x)=12λieλi|x|.

นี่คือการแจกแจงแบบ Laplace หรือการแจกแจงเลขชี้กำลังสองเท่า ความแปรปรวนของมันคือ2} cdf คือ2λi2

Pr[Xix]=112eλix
สำหรับ0x0

ฟังก์ชั่นสร้างช่วงเวลาของคือXi

E euXi=11u2/λi2,
สำหรับ<\การใช้ข้อเท็จจริงนี้และวิธีโมเมนต์เอ็กซ์โพเนนเชียลซึ่งเป็นมาตรฐานในการพิสูจน์ขอบเขตของ Chernoff คุณจะได้รับและ , ความไม่เท่าเทียมกันดังต่อไปนี้|u|<λiX=iXiσ2=2iλi2

Pr[X>tσ]<et2/4,
ตราบเท่าที่lambda_i} คุณสามารถค้นหารายละเอียดที่มาในหลักฐานของ Lemma 2.8 ของเอกสารนี้t2σminiλi


ขอบคุณมากสำหรับคำตอบ อย่างไรก็ตามในการประยุกต์ใช้ของฉันมันไม่เป็นความจริง necessaily ว่า_i แต่ใครจะคาดคิดความเข้มข้นแข็งแกร่งยิ่งขึ้นในกรณี_i เราสามารถได้ผลลัพธ์เช่นนั้นถ้าเราไม่ใช้การประมาณซึ่ง จำกัด ช่วงของในการพิสูจน์ แต่การวิเคราะห์นั้นไม่สามารถจัดการได้ในกรณีที่แตกต่างกัน's ข้อเสนอแนะใด ๆ ที่อยู่ข้างหน้า? ที>t2σminiλi1/(1-x)e c x tλฉัน st>2σminiλi1/(1x)ecxtλis
NA

นี่จะเป็นการโบกมืออย่างแรง แต่ฉันคาดหวังว่าค่าที่มากเช่นนี้น่าจะเกิดขึ้นเมื่อจำนวนน้อยเกินค่ามัธยฐานของโดยมาก แต่ตัวแปรเลขชี้กำลังสองเท่านั้นมีหางที่หนักกว่า gaussians และมีจำนวนน้อยที่ไม่สามารถตั้งสมาธิได้อย่างแน่นหนาX i | X i |XXi|Xi|
Sasho Nikolov

2
ฉันรู้ว่าสิ่งที่ฉันเขียนข้างต้นไม่ชัดเจน: ฉันคาดว่าทางออกในหางดูเหมือนหางของอีก rvซึ่งเป็นผลรวมของ rv เลขชี้กำลังสองเท่าจำนวนเล็กน้อยหางของดังกล่าวไม่ควรเป็น ย่อยเกาส์ X X XXX
Sasho Nikolov

3

สำหรับการกระจาย Laplace ถ้าคุณใช้การเชื่อมโยงของ Bernoulli คุณสามารถเขียนได้

σ2=2Σฉันλ - 2ฉัน

EeuiXi=i11u2/λi211u2σ2/2,
ที่2} จากนั้นวิธีการคลาสสิก Chernoff ที่จะให้σ2=2iλi2

ราคา[ΣผมXผมเสื้อσ]1+1+2เสื้อ22อี1-1+2เสื้อ2{(อีเสื้อ/2+1)อี-2เสื้ออี-เสื้อ2/2+เสื้อ4/8.

โปรดทราบว่าขอบเขตเหล่านี้ถือสำหรับค่าที่ไม่ จำกัด ของและ\ขอบเขตด้านขวาแสดงทั้งสองระบบที่เป็นไปได้ สำหรับค่าขนาดเล็กของเราจะได้รับความเข้มข้น `ปกติ 'ในขณะที่สำหรับค่าขนาดใหญ่ของเราจะได้รับซึ่งเป็น CDF สำหรับ ตัวแปรแบบกระจาย Laplace เดียวλ ฉันทีอี- ที2 / 2เสื้ออี- เสื้อλผมเสื้ออี-เสื้อ2/2เสื้ออี-2เสื้อ

ขอบเขตช่วยให้คุณสามารถสอดแทรกระหว่างสองสถานการณ์ แต่ฉันสงสัยว่าในเกือบทุกกรณีหนึ่งจะมีความมั่นคงในใหญ่หรือค่ายขนาดเล็ก tt1-1+2เสื้อ2เสื้อเสื้อ

สำหรับการกระจายชี้แจงเทคนิคเดียวกันให้เราที่1 ดังนั้น ดังนั้นคุณยังคงได้รับสิ่งที่ปกติเล็กน้อย แต่ด้วยมากกว่าอย่างที่เราหวังไว้ ฉันไม่รู้ว่ามันเป็นไปได้ไหมที่จะได้ความผูกพันในแง่ของความแปรปรวน คุณสามารถลองศึกษาแต่ดูเหมือนจะไม่ง่ายที่จะทำงานด้วย μ=Σผม1/λฉันPr[(ΣฉันXฉัน)-μเสื้อμ](T+1)E-Tอี-ที2/2+T3/3 tμtσEeu(Xi-μEอียูΣผมXผม11-ยูμμ=Σผม1/λผม

ราคา[(ΣผมXผม)-μเสื้อμ](เสื้อ+1)อี-เสื้ออี-เสื้อ2/2+เสื้อ3/3.
เสื้อμเสื้อσEอียู(ΣXผม-μ)2

ฉันไม่มีเวลาที่จะหารายละเอียด แต่ฉันมั่นใจว่า 99.9% ว่าเราจะได้รับขอบเขตของตัวแปรสุ่มแบบกระจายอย่างทวีคูณซึ่งขึ้นอยู่กับความแปรปรวน ขอบเขตของคุณในขณะสร้างฟังก์ชั่นที่ดูหลวมเกินไป
Warren Schudy

@Warren Schudy แนวทางของคุณคืออะไร?
โทมัส Ahle

สองวิธีที่เห็นได้ชัดที่ฉันเห็น: 1. ขอบเขตที่สองที่แสดงรายการไว้ที่en.wikipedia.org/wiki/…ดูเหมือนว่าควรจะใช้ได้ 2. ค้นหาขอบเขตที่แน่นขึ้นในฟังก์ชั่นสร้างช่วงเวลา
Warren Schudy

ราคา[ΣผมXผมเสื้อσ]อี-เสื้อ2/2เสื้อσนาทีผมλผม/2

คงหนีไม่พ้นขอบเขตสไตล์เกาส์เซียนที่จะหยุดในบางจุด แม้แต่ตัวแปรสุ่มแบบกระจายแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลเดี่ยวก็มีหางที่อ้วนกว่าแบบเกาส์ใด ๆ
Warren Schudy
โดยการใช้ไซต์ของเรา หมายความว่าคุณได้อ่านและทำความเข้าใจนโยบายคุกกี้และนโยบายความเป็นส่วนตัวของเราแล้ว
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.