อัลกอริธึมแบบเอ็กซ์โปเนนเชียลเวลาที่แน่นอนสำหรับการเขียนโปรแกรม 0-1

10

มีอัลกอริทึมที่รู้จักกันดีสำหรับปัญหาต่อไปนี้ที่เอาชนะอัลกอริทึมไร้เดียงสาหรือไม่?

อินพุต: ระบบของความไม่เชิงเส้นเชิงเส้น $Ax \le b$ $m$

เอาต์พุต: ทางออกที่เป็นไปได้หากมีอยู่ $x^*\in \{0,1 \}^n$

สมมติว่าและมีรายการจำนวนเต็ม ฉันสนใจในขอบเขตกรณีที่เลวร้ายที่สุด $A$ $b$

np-hardness integer-programming exp-time-algorithms

14

ถ้าเป็น superlinear อัลกอริธึมดังกล่าวจะพิสูจน์หักล้างการคาดเดาเวลาแบบเอ็กซ์โปเนนเชียล Strong เนื่องจากสูตรในรูปแบบปกติซึ่งเชื่อมต่อกันเป็นกรณีพิเศษของการเขียนโปรแกรม 0-1 และ Sparsification Lemma ช่วยให้เราลด -SAT ถึง CNF-SAT . $m$ $k$

อย่างไรก็ตามมีอัลกอริธึมอันเนื่องมาจากImpagliazzo, Paturi และตัวฉันเองที่สามารถแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันได้หากจำนวนของสายไฟเช่นจำนวนของสัมประสิทธิ์ที่ไม่ใช่ศูนย์ในเป็นเส้นตรง โดยเฉพาะอย่างยิ่งหากจำนวนสายเป็นอัลกอริทึมจะทำงานในเวลาโดยที่ $A$ $cn$ $2^{(1-s)n}$ ) $s=\frac1{c^{O(c^2)}}$

— Stefan Schneider
แหล่งที่มา

1

หากมีขนาดเล็กพอคุณสามารถทำได้ดีกว่าอัลกอริธึมไร้เดียงสาเช่นดีกว่าเวลา ที่นี่ "พอเล็ก" หมายความว่ามีขนาดเล็กกว่าสิ่งที่ต้องการ nเวลาทำงานจะยังคงเป็นเลขชี้กำลัง - เช่นอาจเป็นเวลา - แต่จะเร็วกว่าอัลกอริธึมไร้เดียงสา $m$ $2^n$ $m$ $n/\lg n$ $2^{n/2}$

ดูเหมือนว่านี่จะช่วยให้เราสามารถแก้ปัญหาได้เร็วกว่าเวลาสำหรับบางกรณีที่เมทริกซ์มีจำนวนเส้นตรงเป็นจำนวนมาก ฉันไม่ทราบวิธีการยกกำลังสองที่มีคำตอบอื่นที่ให้ไว้ที่นี่ ดังนั้นคุณควรตรวจสอบคำตอบของฉันอย่างรอบคอบ: มันอาจบ่งบอกว่าฉันทำผิดร้ายแรงบางแห่ง $2^n$ $A$

วิธีการพื้นฐาน: เขียนโดยที่ถือองค์ประกอบแรกของและเก็บส่วนประกอบล่าสุด และในทำนองเดียวกันที่มีซ้ายคอลัมน์ของและขวา $x=(x_0,x_1)$ $x_0$ $n/2$ $x$ $x_1$ $n/2$ $A=(A_0,A_1)$ $A_0$ $n/2$ $A$ $A_1$ คอลัมน์ ตอนนี้สามารถใหม่เขียนในรูปแบบ $n/2$ $Ax \le b$

A_{0} x_{0} + A_{1} x_{1} \leq b,

$A_0 x_0 + A_1 x_1 \le b,$

หรือเทียบเท่า

A_{0} x_{0} \leq b - A_{1} x_{1} .

$A_0 x_0 \le b - A_1 x_1.$

แจกแจงความเป็นไปได้ทั้งหมดสำหรับและให้แทนเซตของค่าที่เป็นไปได้เช่น $2^{n/2}$ $A_0 x_0$ $S$

S = {A_{0} x_{0} : x_{0} \in {0, 1}^{n / 2}} .

$S=\{A_0 x_0 : x_0 \in \{0,1\}^{n/2}\}.$

$T$ $2^{n/2}$ $b - A_1 x_1$

T = {b - A_{1} x_{1} : x_{1} \in {0, 1}^{n / 2}} .

$T = \{b - A_1 x_1 : x_1 \in \{0,1\}^{n/2}\}.$

ตอนนี้ปัญหากลายเป็น

$S,T \subseteq \mathbb{Z}^{m}$ $2^{n/2}$ $s\in S$ $t \in T$ $s\le t$

$\le$ $s_i \le t_i$ $i$

$O(2^{n/2} (n/2)^{m-1})$ $m$ $n/\lg n$ $2^n$

$m=1$ $m=1$ $x_i=1$ $A_{1,i}\le 0$ $x_i=0$ $x$

— ใบสำคัญแสดงสิทธิอนุพันธ์
แหล่งที่มา

1

อัลกอริทึมจากคำตอบของฉันยังลดปัญหาเวกเตอร์ที่อธิบายไว้ในคำตอบของคุณโดยใช้วิธีเดียวกันเช่นแบ่งตัวแปรและรายการการมอบหมายทั้งหมด

— Stefan Schneider

2

2^{O (m)}

$2^{O(m)}$