เกี่ยวกับกราฟระนาบทั่วไปและกราฟด้านนอกโดยทั่วไป

ใดระนาบตามลำดับouterplanar กราฟ ความพึงพอใจ , ตามลำดับสำหรับทุก subgraphของG นอกจากนี้กราฟด้านนอก (ด้านนอก) สามารถรับรู้ได้ในเวลาพหุนาม| E ′ | ≤ 3 | V ′ | - 6 | E ′ | ≤ 2 | V ′ | - 3 G ′ = ( V ′ , E ′ ) $G=(V,E)$$|E'|\le 3|V'|-6$
$|E'|\le 2|V'|-3$$G'=(V',E')$$G$

สิ่งที่เป็นที่รู้จักกันในกราฟเช่นนั้น (resp. ) สำหรับทุกกราฟย่อยของ ? เป็นไปได้ไหมที่จะจดจำพวกมันในเวลาพหุนาม| E ′ | ≤ 3 | V ′ | - 6 | E ′ | ≤ 2 | V ′ | - 3 G ′ = ( V ′ , E ′ ) $G=(V,E)$$|E'|\le 3|V'|-6$$|E'|\le 2|V'|-3$$G'=(V',E')$$G$

แก้ไข (หลังจากคำตอบที่ดีของ Eppstein): กราฟระนาบใด ๆตรงตามสำหรับทุกกราฟย่อยของมีอย่างน้อย สามจุด3 ดังนั้น "กราฟระนาบทั่วไป" จะเป็นคนที่พอใจคุณสมบัตินี้และการรับรู้พวกเขาในเวลาพหุนามดูเหมือนว่าจะเป็นคำถามเปิด (น่าสนใจ)$G=(V,E)$$|E'|\le 3|V'|-6$$G'=(V',E')$$G$ $|V'|\ge 3$

ในรูปแบบของ Lee และ Streinu (การอ้างอิงด้านล่าง) คลาสที่สองที่คุณแสดงรายการคือ (2,3) - กราฟแบบเบาบาง พวกเขาให้อัลกอริทึมเพื่อทดสอบว่ากราฟเป็น (k, l) - เบาบางในเวลาพหุนาม อย่างไรก็ตามสถานการณ์ที่มีกราฟระนาบและนั้นซับซ้อนกว่าเล็กน้อยเนื่องจากความไม่เท่าเทียมนั้นไม่เป็นความจริงสำหรับทุกจุดยอด (ถ้าเป็นจริงจะไม่มีจุดยอดสองจุดที่เชื่อมต่อกันเนื่องจาก3 ⋅ 2 - 6 = $|E'|\le 3|V'|-6$$3\cdot 2-6=0$) ดังนั้นคลาสของ (3,6) - กราฟแบบเบาบาง (ในรูปแบบ) ประกอบด้วยกราฟที่ว่างเปล่าเท่านั้น อาจอัลกอริทึมของพวกเขาสามารถขยายไปยังกราฟที่มีความไม่เท่าเทียมกันสำหรับทุกชุดมากกว่าสองจุด

ลีออเดรย์; Streinu, Ileana (2008), "อัลกอริทึมเกม Pebble และกราฟเบาบาง" คณิตศาสตร์ไม่ต่อเนื่อง 308 (8): 1425-1437, ดอย: 10.1016 / j.disc.2007.07.104 , arXiv: คณิตศาสตร์ / 0,702,129

สิ่งที่เป็นที่รู้จักเกี่ยวกับ "กราฟชั้นนอกของกราฟ" หรือ (2,3) - กราฟแบบกระจาย ข้อเท็จจริงเพิ่มเติมเกี่ยวกับคำตอบของ DavidEppstein:

ในปี 1982 ในเอกสารนี้ (ข้อ 1 และ 2), Lovászและ Yemini โดดเด่นกราฟด้านนอกโดยทั่วไป (ในสัญกรณ์, กราฟอิสระทั่วไป ) เป็นกราฟที่มีคุณสมบัติที่สองเท่าของผลGในกราฟซึ่งเป็นขอบ - แยกสหภาพของสองป่า$G$$G$

ก่อนหน้านี้ในปี 1970 Henneberg และ Laman พิสูจน์แล้วว่ากราฟด้านนอกโดยทั่วไปสามารถหาได้จากแบบเรียกซ้ำโดยเรียกว่าHenneberg 3 ครั้ง (เพิ่มระดับจุดยอด -1 เพิ่มจุดสุดยอดระดับ -2 องศา -3 จุดสุดยอด)$K_2$

การจำแนกลักษณะเหล่านี้ให้การจดจำพหุนามครั้งแรกสำหรับกราฟ outerplanar ทั่วไป

ข้อสังเกตบางประการเกี่ยวกับกราฟระนาบทั่วไปสามารถพบได้ในส่วนสุดท้ายของบทความนี้ ฉันคิดว่าการกำหนดลักษณะและการรับรู้กราฟระนาบทั่วไปยังคงเป็นคำถามเปิดที่น่าสนใจมาก