เพิ่ม MST (G [S]) ให้กับกราฟย่อยย่อยทั้งหมดที่เหนี่ยวนำให้เกิด G [S] ในกราฟเมตริก

เคยศึกษาปัญหานี้มาก่อนหรือไม่?

เมื่อให้กราฟที่ไม่ได้บอกทิศทาง G (ความยาวของขอบสนองความไม่เท่าเทียมกันของสามเหลี่ยม) ให้หาชุด S ของจุดยอดเช่น MST (G [S]) ถูกขยายให้ใหญ่สุดโดยที่ MST (G [S]) เป็นต้นไม้ทอดต่ำสุดของกราฟย่อย S. เคยมีการศึกษาปัญหานี้มาก่อนหรือไม่? มันเป็น NP-hard หรือไม่? ขอบคุณมาก.

มันสมบูรณ์แบบ NP โดยการลดลงจากยอดปก

ให้เป็นกราฟที่หาจุดยอดที่เหมาะสมที่สุดหายาก สร้างกราฟใหม่Hกับสองเท่าจุดจำนวนมากโดยการแนบใหม่ระดับหนึ่งจุดสุดยอดจุดสุดยอดของแต่ละG เปิดHเข้าไปในพื้นที่ตัวชี้วัดโดยการทำให้ระยะห่างระหว่างจุดที่อยู่ติดกันเท่ากับ1และระยะห่างระหว่างจุดที่ไม่ใช่ที่อยู่ติดกันเท่ากับ2 สำหรับพื้นที่ตัวชี้วัดนี้น้ำหนักของต้นไม้ทอดต่ำสุดของกราฟย่อยที่เหนี่ยวนำจะเท่ากับจำนวนของจุดยอดรวมกับจำนวนขององค์ประกอบที่เชื่อมต่อกันของกราฟย่อยลบหนึ่ง$G$$H$$G$$H$$1$$2$

เราสามารถสรุปได้ว่ากราฟย่อยที่มี MST ที่หนักที่สุดนั้นรวมถึงจุดยอดองศาทั้งหมดเนื่องจากการเพิ่มหนึ่งในจุดยอดเหล่านี้ไปยังชุดย่อยจะไม่สามารถลดจำนวนขององค์ประกอบได้ ดังนั้นจุดที่ถูกถอดออกไปในรูปแบบกราฟย่อยเป็นส่วนหนึ่งของGเราสามารถสรุปได้ว่าสิ่งเหล่านี้ยังมีจุดที่นำออกไปในรูปแบบปกจุดสุดยอดของG สำหรับหากมีกราฟย่อยที่เหนี่ยวนำอื่นเกิดขึ้นโดยการลบจุดยอดที่ไม่ได้เป็นจุดสุดยอดและu vเป็นขอบที่ไม่ครอบคลุมการเอาvนำไปสู่กราฟย่อยที่เหนี่ยวนำอย่างน้อยก็ดี: มันมีน้อย จุดสุดยอด แต่องค์ประกอบหนึ่งเชื่อมต่อมากขึ้นสร้างขึ้นโดยการศึกษาระดับปริญญาหนึ่งจุดสุดยอดของHที่แนบมากับวี$G$$G$$uv$$v$$H$$v$

ดังนั้น subgraph ที่ดีที่สุดของจะเกิดขึ้นโดยถอดฝาครอบจุดสุดยอดจากG กราฟย่อยดังกล่าวจะมีองค์ประกอบnแน่นอน(หนึ่งจุดสำหรับแต่ละจุดยอดหนึ่งองศาที่เพิ่มในHไม่ว่าจะด้วยตัวเองหรือเชื่อมต่อกับจุดยอดของG ) และจำนวนจุดยอดเท่ากับ2 n - kโดยที่n = | V ( G ) | และkคือขนาดของฝาครอบ ดังนั้นน้ำหนักของ MST ของมันจะเป็น3 n - k + 1 เพื่อเพิ่มนี้เราจะต้องลดk$H$$G$$n$$H$$G$$2n-k$$n=|V(G)|$$k$$3n-k+1$$k$