ขอบเขตความถี่ตั้งค่า จำกัด ขอบเขต - ความสำคัญ: ความแข็งของการประมาณ

พิจารณาปัญหาการตั้งค่าขั้นต่ำโดยมีข้อ จำกัด ดังต่อไปนี้: แต่ละชุดมีองค์ประกอบมากที่สุดและองค์ประกอบของจักรวาลแต่ละชุดเกิดขึ้นในชุดมากที่สุด$k$$f$

• ตัวอย่าง: กรณีและเทียบเท่ากับปัญหาการครอบคลุมจุดสุดยอดขั้นต่ำในกราฟที่มีองศาสูงสุด 4$k = 4$$f = 2$

ให้เป็นค่าที่ใหญ่ที่สุดเช่นการหา - การประมาณค่าของปัญหา cover set ขั้นต่ำที่มีพารามิเตอร์และคือ NP-hard$a(k,f) > 1$$a(k,f)$$k$$f$

• ตัวอย่าง: ( Berman & Karpinski 1999 )$a(4,2) \ge 1.0128$

คำถาม:เรามีข้อมูลอ้างอิงที่สรุปขอบเขตล่างที่รู้จักมากที่สุดในหรือไม่? โดยเฉพาะอย่างยิ่งที่ฉันสนใจค่าคอนกรีตในกรณีที่ว่าทั้งสองและเป็นเล็ก ๆ แต่2$a(k,f)$$k$$f$$f > 2$

รุ่นที่ จำกัด ของปัญหาฝาครอบชุดมักจะสะดวกในการลด โดยทั่วไปจะมีอิสระในการเลือกค่าของและและข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับจะช่วยในการเลือกค่าที่เหมาะสมที่ให้ผลลัพธ์ความแข็งที่แข็งแกร่งที่สุด อ้างอิงที่นี่ , ที่นี่และที่นี่ให้เป็นจุดเริ่มต้น แต่ข้อมูลที่ล้าสมัยและไม่เป็นชิ้นเป็นอันบ้าง ฉันสงสัยว่ามีแหล่งข้อมูลที่สมบูรณ์และทันสมัยกว่านี้หรือไม่?$k$$f$$a(k,f)$

โดยใช้สัญกรณ์พารามิเตอร์ร่วมกันมากขึ้นแทนนี้จะเทียบเท่ากับ (และผมคิดว่าการที่รู้จักกันทั่วไปว่าเป็น) ปัญหา Vertex ปกใน hypergraphs -uniform ของระดับสูงสุด\เพื่อเน้นสำหรับความสอดคล้องกับวรรณคดีฉันใช้ที่คุณใช้และที่คุณใช้k$(\Delta,k)$$(k,f)$$k$$\Delta$$k$$f$$\Delta$$k$

สำหรับค่าคงที่ผลลัพธ์จะไม่รวม$\varepsilon > 0$$\Delta$

• $\sup_\Delta\{ a(\Delta,k) \}\leq k$จากชุดฝาครอบทั่วไป
• $\sup_\Delta\{ a(\Delta,k) \}\geq k-1-\varepsilon$ (Dinur et al., 2004)ตามที่ระบุไว้โดย Lev
• หากเกมที่ไม่ซ้ำกันคาดเดาเป็นจริงแล้วซึ่งเป็นแน่น(คตและจีฟ, 2008)$\sup_\Delta \{a(\Delta,k)\} \geq k-\varepsilon$

ละเว้น ,$k$

• $\sup_k\{ a(\Delta,k) \}\leq \Delta$ (เล็กน้อย)
• $\sup_k\{ a(4,k) \}\geq 2-\varepsilon$ (Holmerin, 2002)

ผลลัพธ์เดียวที่ฉันรู้ว่าการรวมสองพารามิเตอร์คือ

• $a(\Delta,k) \leq k - (1-o(1))\left(\frac{k(k-1)\ln\ln\Delta}{\ln(\Delta)}\right)$สำหรับ คงที่หรือเติบโตช้าๆด้วย (Halperin, 2002)$k$$k$$\Delta$

มีการเชื่อมต่อระหว่างปัญหานี้กับปัญหาชุดอิสระ (อ่อนแอ) แต่ฉันไม่แน่ใจว่าเกี่ยวข้องกันอย่างไรในแง่ของการประมาณได้ ฉันจะแนะนำการตรวจสอบนี้อาจจะเริ่มต้นที่นี่: [PDF]

ใช้เช่นเดียวกับคำตอบของ James King สัญกรณ์สำหรับการประมาณเวลาพหุนามที่ดีที่สุดที่เป็นไปได้ของการครอบคลุมจุดยอดใน -uniform hypergraphs ระดับสูงสุดเรายังมี$a(\Delta,k)$$k$$\Delta$

(1)$a(\Delta,k) \leq \ln \Delta + O(1)$

จากขั้นตอนวิธีการประมาณโลภสำหรับชุดปก: ปกจุดสุดยอดใน hypergraphs ของระดับที่มากที่สุดเป็นเช่นเดียวกับปัญหาที่เกิดขึ้นปกชุดกับชุดขนาดที่มากที่สุดซึ่งขั้นตอนวิธีโลภมีอัตราส่วนประมาณที่มากที่สุด , โดยที่เป็นฟังก์ชันฮาร์มอนิก$\Delta$$\Delta$$H_\Delta$$H_n = 1 + 1/2 + \ldots 1/n \leq \ln n + O(1)$

ในบทความนี้ฉันแสดงให้เห็นว่า

(2)$\sup_k \{ a(\Delta ,k) \} \geq \ln \Delta - O(\ln\ln \Delta)$

ยกเว้นโดยการเปลี่ยนพารามิเตอร์ในการลด Feige$P=NP$

ในกรณีที่คุณไม่ได้พบมัน ผลลัพธ์ความแข็งล่าสุดสำหรับปก Vertex-bounded degree ที่ฉันพบในการค้นหาล่าสุดคือChlebik & Chlebikovaเช่นประมาณ1.01-ความแข็งในลูกบาศก์กราฟ

นี่ไม่ค่อยตอบคำถามของคุณ แต่อาจช่วยได้ - มีกระดาษ [Dinur et al 2004] ซึ่งครอบคลุม f> 2 (แต่ดูเหมือนว่าจะไม่แก้ไข k)