ทฤษฎีบทที่น่าสนใจใน TCS ใดขึ้นอยู่กับสัจพจน์ของทางเลือก (หรืออีกนัยหนึ่งความจริงของความมุ่งมั่น?)

บางครั้งนักคณิตศาสตร์ต้องกังวลเกี่ยวกับสัจพจน์ของทางเลือก (AC) และสัจพจน์ของความมุ่งมั่น (AD)

จริงของการเลือก : ให้คอลเลกชันใด ๆชุด nonempty มีฟังก์ชั่นฉว่าได้รับชุดSในCกลับเป็นสมาชิกของS${\cal C}$$f$$S$${\cal C}$$S$

สัจพจน์ของความมุ่งมั่น : ให้เป็นชุดของสตริงบิตที่มีความยาวไม่สิ้นสุด อลิซและบ็อบเล่นเกมที่อลิซเลือกที่ 1 บิตb 1 , Bob เลือกที่ 2 บิตb 2และต่อไปเรื่อย ๆ จนกระทั่งสตริงที่ไม่มีที่สิ้นสุดx = b 1 b 2 ⋯ถูกสร้างขึ้น อลิซชนะเกมถ้าx ∈ Sบ๊อบชนะเกมถ้าx ∉ S สมมติฐานคือสำหรับทุกSมีกลยุทธ์การชนะสำหรับหนึ่งในผู้เล่น (ตัวอย่างเช่นหากSประกอบด้วยสายอักขระทั้งหมดเท่านั้น Bob สามารถชนะได้ในหลายจังหวะการเคลื่อนไหว)$S$$b_1$$b_2$$x = b_1 b_2 \cdots$$x \in S$$x \not \in S$ $S$$S$

เป็นที่รู้กันว่าสัจพจน์ทั้งสองนี้ไม่สอดคล้องกัน (ลองคิดดูหรือไปที่นี่ )

นักคณิตศาสตร์คนอื่นให้ความสนใจเพียงเล็กน้อยหรือไม่มีเลยในการใช้สัจพจน์เหล่านี้ในการพิสูจน์ พวกเขาดูเหมือนจะไม่เกี่ยวข้องกับวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์เชิงทฤษฎีเนื่องจากเราเชื่อว่าเราทำงานกับวัตถุที่มีขอบเขต จำกัด อย่างไรก็ตามเนื่องจาก TCS กำหนดปัญหาการตัดสินใจการคำนวณให้เป็นสตริงบิทอนันต์และเราวัด (ตัวอย่าง) เวลาที่ซับซ้อนของอัลกอริทึมในฐานะฟังก์ชันซีมโทติคเหนือธรรมชาติเราจึงมีความเป็นไปได้ที่การใช้หนึ่งในสัจพจน์เหล่านี้ เป็นหลักฐานบางอย่าง

เป็นตัวอย่างที่โดดเด่นมากที่สุดใน TCS ที่คุณรู้ว่าที่หนึ่งของหลักการเหล่านี้เป็นสิ่งที่จำเป็น ? (คุณรู้ตัวอย่างหรือไม่)

เพียงเพื่อบอกล่วงหน้าเล็กน้อยโปรดทราบว่าการโต้แย้งในแนวทแยง (เหนือชุดของทัวริงเครื่องจักรพูด) ไม่ใช่แอปพลิเคชั่นของสัจพจน์ของทางเลือก ถึงแม้ว่าภาษาที่ทัวริงกำหนดไว้จะเป็นสตริงบิทอนันต์ แต่ทัวริงแต่ละเครื่องมีคำอธิบายที่ จำกัด ดังนั้นเราจึงไม่จำเป็นต้องมีฟังก์ชั่นทางเลือกสำหรับเซตอนันต์จำนวนมากที่นี่

(ฉันใส่แท็กจำนวนมากเพราะฉันไม่รู้ว่าตัวอย่างมาจากไหน)

คำแถลงเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ใด ๆ ที่พิสูจน์ได้ใน ZFC สามารถพิสูจน์ได้ใน ZF และด้วยเหตุนี้จึงไม่ "ต้องการ" ความจริงของการเลือก โดยคำสั่ง "เลขคณิต" ฉันหมายถึงคำสั่งในภาษาลำดับแรกของเลขคณิตหมายความว่ามันสามารถระบุได้โดยใช้เพียงปริมาณมากกว่าจำนวนธรรมชาติ ("สำหรับจำนวนธรรมชาติทั้งหมด x" หรือ "มีจำนวนธรรมชาติ x") โดยไม่ต้องนับจำนวนชุดของตัวเลขธรรมชาติ เมื่อดูอย่างรวดเร็วครั้งแรกอาจดูเหมือนมีข้อ จำกัด มากในการห้ามการทำปริมาณมากกว่าชุดจำนวนเต็ม อย่างไรก็ตามชุดเลขจำนวนเต็มจำกัดสามารถ "เข้ารหัส" โดยใช้เลขจำนวนเต็มเดียวดังนั้นจึงเป็นเรื่องปกติที่จะหาจำนวนชุดจำนวนเต็ม จำกัด

$P\ne NP$

แต่เดี๋ยวก่อนคุณอาจพูดได้ว่าข้อความเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ที่มีข้อพิสูจน์ต้องการอะไรเช่นบทแทรกของนิกหรือทฤษฎีต้นไม้ของ Kruskal? สิ่งเหล่านี้ไม่จำเป็นต้องมีสัจพจน์ที่อ่อนแอหรือไม่? คำตอบคือขึ้นอยู่กับว่าคุณระบุผลลัพธ์ในคำถามอย่างไร ตัวอย่างเช่นหากคุณระบุกราฟย่อยของทฤษฎีบทในรูปแบบ "กำหนดกราฟที่ไม่มีป้ายกำกับที่ไม่มีที่สิ้นสุดใด ๆ จะต้องมีสองของพวกเขาเช่นที่หนึ่งเป็นเล็กน้อยของอื่น ๆ " แล้วจำนวนทางเลือกบางอย่างที่จะเดินผ่าน ชุดข้อมูลที่ไม่มีขีด จำกัด ของคุณการเลือกจุดยอดกราฟย่อย ฯลฯ[แก้ไข:ฉันทำผิดพลาดที่นี่ ดังที่Emil Jeřábekอธิบายทฤษฎีบทกราฟย่อย - หรืออย่างน้อยที่สุดข้อความที่เป็นธรรมชาติที่สุดในกรณีที่ไม่มี AC - สามารถพิสูจน์ได้ใน ZF แต่โมดูโล่ความผิดพลาดนี้สิ่งที่ฉันพูดด้านล่างยังคงถูกต้องเป็นหลัก ]อย่างไรก็ตามหากคุณเขียนการเข้ารหัสพิเศษโดยใช้ตัวเลขธรรมชาติของความสัมพันธ์รองบนกราฟ จำกัด แน่นอนและวลีทฤษฎีบทกราฟเล็กน้อยเป็นคำสั่งเกี่ยวกับคำสั่งบางส่วนนี้คำสั่งนั้นจะกลายเป็นเชิงคณิตศาสตร์และไม่จำเป็นต้องใช้ AC หลักฐาน

คนส่วนใหญ่รู้สึกว่า "combinatorial แก่นแท้" ของทฤษฎีบทย่อยของกราฟถูกจับแล้วโดยรุ่นที่แก้ไขการเข้ารหัสเฉพาะและที่จำเป็นต้องเรียก AC เพื่อติดฉลากทุกอย่างในกรณีที่คุณนำเสนอด้วยชุดทั่วไป - รุ่นทฤษฎีของปัญหาเป็นสิ่งประดิษฐ์ที่ไม่เกี่ยวข้องกับการตัดสินใจที่จะใช้ทฤษฎีเซตแทนที่จะใช้เลขคณิตเป็นพื้นฐานเชิงตรรกะ หากคุณรู้สึกแบบเดียวกันทฤษฎีบทย่อยของกราฟก็ไม่จำเป็นต้องใช้ AC (ดูโพสต์นี้โดย Ali Enayatไปยังรายชื่อผู้รับจดหมายของมูลนิธิคณิตศาสตร์ซึ่งเขียนขึ้นเพื่อตอบคำถามที่คล้ายกันซึ่งครั้งหนึ่งฉันเคยมี)

ตัวอย่างของจำนวนสีของระนาบเป็นเรื่องของการตีความเช่นเดียวกัน มีคำถามต่าง ๆ ที่คุณสามารถถามได้ว่าจะเทียบเท่าได้หรือไม่ถ้าคุณถือว่า AC แต่เป็นคำถามที่แตกต่างถ้าคุณไม่สมมติ AC จากมุมมองของ TCS หัวใจของคำถามนี้คือความสามารถในการระบุสีของกราฟย่อยของเครื่องบินและความจริงที่ว่าคุณสามารถใช้ (ถ้าคุณต้องการ) ใช้อาร์กิวเมนต์ของความกะทัดรัด (นี่คือที่ AC เข้ามา) เพื่อสรุปบางสิ่ง เกี่ยวกับจำนวนสีของระนาบทั้งหมดนั้นน่าขบขัน แต่ก็ค่อนข้างน่าสนใจ ดังนั้นฉันไม่คิดว่านี่เป็นตัวอย่างที่ดีจริงๆ

ฉันคิดว่าท้ายที่สุดคุณอาจโชคดีกว่าที่ถามว่ามีคำถาม TCS ใด ๆ ที่ต้องใช้ความจริงที่สำคัญสำหรับการแก้ปัญหาของพวกเขา (แทนที่จะเป็น AC) งานของฮาร์วีย์ฟรีดแมนได้แสดงให้เห็นว่าข้อความบางประโยคในทฤษฎีกราฟสามารถต้องการสัจพจน์ขนาดใหญ่ (หรืออย่างน้อยความสอดคล้อง 1 ของสัจพจน์ดังกล่าว) จนถึงตอนนี้ตัวอย่างของฟรีดแมนนั้นถูกประดิษฐ์ขึ้นมาเล็กน้อย แต่ฉันไม่แปลกใจที่จะเห็นตัวอย่างที่คล้ายกันซึ่งทำให้ "ธรรมชาติ" ใน TCS ในช่วงอายุของเรา

ความเข้าใจของฉันคือการพิสูจน์ทฤษฎีบทของโรเบิร์ตสัน - เซย์มัวร์ใช้สัจพจน์ของทางเลือก (ผ่านทรีของทฤษฎีบท Kruskal) นี่เป็นเรื่องที่น่าสนใจอย่างมากจากมุมมองของ TCS เนื่องจากทฤษฎีบท Robertson-Seymour บอกเป็นนัยว่าการทดสอบการเป็นสมาชิกในตระกูลกราฟที่ปิดตัวเล็กน้อยสามารถทำได้ในเวลาพหุนาม กล่าวอีกนัยหนึ่งสัจพจน์ของทางเลือกสามารถใช้ทางอ้อมเพื่อพิสูจน์ว่าอัลกอริทึมเวลาพหุนามมีอยู่สำหรับปัญหาบางอย่างโดยไม่ต้องสร้างอัลกอริทึมเหล่านั้น

อย่างไรก็ตามนี่อาจไม่ใช่สิ่งที่คุณกำลังมองหาเนื่องจากยังไม่ชัดเจนว่าจำเป็นต้องใช้ AC จริงหรือไม่

สิ่งนี้เกี่ยวข้องกับคำตอบของ Janne Korhonen

มีกระแสของผลลัพธ์ในยุค 80 และ 90 ที่พยายามกำหนดลักษณะของระบบสัจพจน์ (ในคำอื่น ๆ ทฤษฎีเลขคณิต) ที่จำเป็นในการพิสูจน์ส่วนขยายของทฤษฎีบทต้นไม้ Kruskal (KTT; KTT ดั้งเดิมมาจาก 1960) โดยเฉพาะอย่างยิ่งฮาร์วีย์ฟรีดแมนได้พิสูจน์ผลลัพธ์หลายรายการตามบรรทัดนี้ (ดู SG Simpson ความสามารถในการพิสูจน์สมบัติเชิงกลบางอย่างของต้นไม้ จำกัดใน LA Harrington และคณะบรรณาธิการงานวิจัยของฮาร์วีย์ฟรีดแมนฐานรากคณิตศาสตร์ Elsevier, North-Holland, 1985) . ผลลัพธ์เหล่านี้แสดงให้เห็นว่า (ส่วนขยายบางส่วนของ) KTT ต้องใช้สัจพจน์ความเข้าใจที่ "แข็งแกร่ง" (เช่นสัจพจน์ที่บอกว่ามีความซับซ้อนเชิงตรรกะจำนวนมากอยู่) ฉันไม่รู้แน่ชัดเกี่ยวกับความสามารถในการพิสูจน์ของส่วนขยายของ KTT ใน ZF (โดยไม่มีความจริงที่เลือก)

ขนานกับผลลัพธ์นี้มีความพยายามเชื่อมต่อกับ ("ทฤษฎี B") TCS ผ่านระบบเขียนซ้ำ ความคิดคือการสร้างระบบการเขียนใหม่ (คิดว่ามันเป็นประเภทของการเขียนโปรแกรมการทำงานหรือโปรแกรมแลมบ์ดา - แคลคูลัส) ซึ่งการเลิกจ้างของพวกเขาขึ้นอยู่กับบางอย่าง (ส่วนขยาย) ของ KTT (การเชื่อมต่อเดิมระหว่าง KTT และการยกเลิกระบบการเขียนซ้ำ . Dershowitz (1982) นี่ก็หมายความว่าเพื่อแสดงให้เห็นว่าโปรแกรมบางโปรแกรมต้องมีสัจพจน์ที่รัดกุม (เนื่องจากส่วนขยายของ KTT ต้องการสัจพจน์ดังกล่าว) สำหรับผลลัพธ์ประเภทนี้ดูเช่น A. Weiermann ขอบเขตความซับซ้อนสำหรับบางรูปแบบ จำกัด ของทฤษฎีบท Kruskalวารสารการคำนวณสัญลักษณ์ 18 (1994), 463-488

${\mathbb R}^2$

ในShelah และ Soifer "สัจพจน์ของทางเลือกและจำนวนสีของระนาบ"ก็แสดงให้เห็นว่าถ้ากราฟย่อยอัน จำกัด ทั้งหมดของระนาบมีสี่สี

• หากคุณสมมุติความจริงที่คุณเลือกระนาบนั้นคือสี่สี
• หากคุณถือว่าหลักการของตัวเลือกที่ต้องพึ่งพาและเซตทั้งหมดนั้นสามารถวัดได้จาก Lebesgue แสดงว่าระนาบนั้นมีห้า - หกหรือเจ็ดสี

ผลงานบางส่วนของOlivier Finkelดูเหมือนจะเกี่ยวข้องกับคำถาม แต่ไม่จำเป็นต้องชัดเจนเกี่ยวกับสัจพจน์ของตัวเลือก --- และสอดคล้องกับคำตอบของ Timothy Chow ตัวอย่างเช่นการอ้างถึงบทคัดย่อของทฤษฎีความไม่สมบูรณ์, พระคาร์ดินัลขนาดใหญ่และออโตมาตะบนคำ จำกัด , บบส. 2017 ,

$T_n := ZFC + \text{``There exist (at least) $n$ inaccessible cardinals''}$$n \geq 0$

[นี่ไม่ใช่คำตอบที่ตรงกับคำถามของคุณ แต่อาจเป็นคำแนะนำและ / หรือข้อมูลสำหรับบางคน]

การสำรวจความคิดเห็น P vs. NPของ William Gasarch ให้สถิติบางอย่างเกี่ยวกับ "วิธีการที่ P กับ NP จะได้รับการแก้ไข":

1. 61 ความคิด P ≠ NP
2. 9 ความคิด P = NP
3. 4 คิดว่ามันเป็นอิสระ ในขณะที่ไม่มีระบบความจริงโดยเฉพาะอย่างยิ่งได้รับการกล่าวถึงผมถือว่าพวกเขาคิดว่ามันเป็นอิสระจาก ZFC
4. 3 เพิ่งระบุว่ามันไม่ได้เป็นอิสระจากการคำนวณแบบดั้งเดิม
5. 1 กล่าวว่ามันจะขึ้นอยู่กับรุ่น
6. 22 เสนอความคิดเห็นไม่

Wikipediaมีความเป็นอิสระที่น่าสนใจ:

... อุปสรรคเหล่านี้ทำให้นักวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์บางคนแนะนำว่าปัญหา P กับ NP อาจเป็นอิสระจากระบบสัจพจน์มาตรฐานเช่น ZFC (ไม่สามารถพิสูจน์ได้หรือพิสูจน์หักล้างได้) การแปลความหมายของผลลัพธ์ที่เป็นอิสระอาจเป็นได้ว่าไม่มีอัลกอริทึมพหุนามเวลาสำหรับปัญหา NP-Complete ใด ๆ และการพิสูจน์ดังกล่าวไม่สามารถสร้างใน (เช่น) ZFC หรืออัลกอริทึมพหุนามเวลาสำหรับปัญหา NP-Complete อาจมีอยู่ แต่มันเป็นไปไม่ได้ที่จะพิสูจน์ใน ZFC ว่าอัลกอริธึมนั้นถูกต้อง [ 1]] อย่างไรก็ตามถ้ามันสามารถแสดงให้เห็นได้โดยใช้เทคนิคการเรียงลำดับที่เป็นที่รู้จักกันในปัจจุบันว่าปัญหาไม่สามารถตัดสินใจได้แม้จะมีข้อสมมติที่อ่อนแอกว่าการขยาย Peano axioms (PA) สำหรับเลขคณิตจำนวนเต็ม อัลกอริธึมเวลาพหุนามสำหรับทุกปัญหาใน NP [ 2 ] ดังนั้นหากมีใครเชื่อ (ตามทฤษฎีที่ซับซ้อนที่สุด) ว่าไม่ใช่ปัญหาทั้งหมดใน NP ที่มีอัลกอริธึมที่มีประสิทธิภาพมันจะทำตามการพิสูจน์ความเป็นอิสระโดยใช้เทคนิคเหล่านั้นเป็นไปไม่ได้ นอกจากนี้ผลลัพธ์นี้ยังแสดงให้เห็นว่าการพิสูจน์ความเป็นอิสระจาก PA หรือ ZFC โดยใช้เทคนิคที่รู้จักกันในปัจจุบันนั้นไม่ได้ง่ายไปกว่าการพิสูจน์ว่ามีอัลกอริทึมที่มีประสิทธิภาพสำหรับปัญหาทั้งหมดใน NP

$ZF$

$G$$\chi(H)$$H$$G$$G$

$ZF$