ผลิตภัณฑ์เมทริกบูลีนที่กระจัดกระจายอย่างรวดเร็วพร้อมการประมวลผลล่วงหน้าที่เป็นไปได้

อะไรคืออัลกอริทึมที่มีประสิทธิภาพมากที่สุดสำหรับการคูณเมทริกซ์บูลีนที่กระจัดกระจายมากสองตัว (เช่น N = 200 และมีองค์ประกอบที่ไม่ใช่ศูนย์ 100-200)

ที่จริงแล้วฉันมีข้อได้เปรียบที่เมื่อฉันคูณ A ด้วย B, B ของถูกกำหนดไว้ล่วงหน้าและฉันสามารถทำการประมวลผลที่ซับซ้อนโดยพลการบนพวกเขา ฉันก็รู้ว่าผลลัพธ์ของผลิตภัณฑ์นั้นกระจัดกระจายเหมือนเมทริกซ์ดั้งเดิมเสมอ

อัลกอริทึม "ค่อนข้างไร้เดียงสา" (สแกน A เป็นแถวสำหรับแต่ละ 1 บิตของ A-row หรือผลลัพธ์ที่มีแถว B ตรงกัน) จะมีประสิทธิภาพมากและต้องใช้คำสั่ง CPU เพียงสองสามพันคำสั่งในการคำนวณผลิตภัณฑ์เดียว ดังนั้นมันจะไม่ง่ายเกินกว่าและเป็นเพียงปัจจัยที่คงที่เท่านั้น (เพราะมีหลายร้อยบิตในผลลัพธ์) แต่ฉันไม่สูญเสียความหวังและขอความช่วยเหลือจากชุมชน :)

ฉันลังเลที่จะตอบคำถามนี้เพราะผลลัพธ์ทางทฤษฎีเพียงอย่างเดียวที่ฉันรู้ตามบรรทัดเหล่านี้มีชื่อของฉันบนกระดาษ ...

$n \times n$$A$$A$$n$

(หมายเหตุ: อัลกอริธึมนี้มีประโยชน์จริง ๆ สำหรับกรณีที่เมทริกซ์ตัวหนึ่งมีความหนาแน่นสูงและอีกอันนั้นกระจัดกระจายกรณีนี้เกิดขึ้นมากมายเช่นเมื่อคำนวณการปิดของกราฟเบาบาง เทียบกับเมทริกซ์ adjacency เดิม)

กระดาษเป็น

Guy E. Blelloch, เวอร์จิเนีย Vassilevska, Ryan Williams: แนวทาง Combinatorial ใหม่สำหรับปัญหากราฟที่กระจัดกระจาย ICALP (1) 2008: 108-120

$\varepsilon > 0$$O(n^{2+\varepsilon})$$n \times n$$A$

$v$$t$$A v$$O(n(t/k + n/\ell)/\log n)$$\ell$$k$${\ell \choose k} \leq n^{\varepsilon}$$\ell=\log^c n$$k=\varepsilon(\log n)/\log \log n$$nt/\log n + n^2/\log^c n$$c$

- แถวและคอลัมน์การปรับปรุงสามารถคำนวณได้ในเวลา$A$$O(n^{1+\varepsilon})$

เราใช้โครงสร้างข้อมูลนี้เพื่อให้อัลกอริทึมทางทฤษฎีที่รวดเร็วขึ้นสำหรับ APSP ในกราฟที่ไม่กระจายน้ำหนัก

ฉันคิดว่าสิ่งที่คุณเรียกว่าเป็นเมทริกซ์ "hypersparse" (nnz <n) ฉันเขียนบทความสองสามปีย้อนกลับไปที่วิธีการคูณพวกเขา โดยพื้นฐานแล้วมันเป็นผลิตภัณฑ์ด้านนอกที่เข้าร่วมกับการผสานหลายทางที่ชาญฉลาดเพื่อกำจัดสำนึกของ triples ระดับกลาง

Buluc and Gilbert, IPDPS 2008: http://gauss.cs.ucsb.edu/publication/hypersparse-ipdps08.pdf