ฟังก์ชั่นบูลีนที่ไม่คงที่ในเลียนแบบซับสเปซที่มีขนาดใหญ่พอ

ฉันสนใจฟังก์ชั่นบูลีนที่ชัดเจนพร้อมด้วยคุณสมบัติต่อไปนี้: ถ้าคงที่ในบางพื้นที่ย่อยของเลียนแบบแล้วมิติของสเปซนี้คือ(n)$f \colon \\{0,1\\}^n \rightarrow \\{0,1\\}$$f$ o ( n $\\{0,1\\}^n$$o(n)$

มันไม่ยากที่จะแสดงให้เห็นว่าฟังก์ชั่นสมมาตรไม่พอใจคุณสมบัตินี้โดยพิจารณาพื้นที่ย่อย\\} ใด ๆมีตรง 's และด้วยเหตุคือคงสเปซของมิติ 2$A=\\{x \in \\{0,1\\}^n \mid x_1 \oplus x_2=1, x_3 \oplus x_4=1, \dots, x_{n-1} \oplus x_n=1\\}$n / 2 1 f A n /$x \in A$$n/2$ $1$$f$$A$$n/2$

ข้ามโพสต์: /mathpro/41129/a-boolean-function-that-is-not-constant-on-affine-subspaces-of-large-enough-dimen

วัตถุที่คุณกำลังค้นหาเรียกว่าseedless affine dispersers ที่มีเอาต์พุตบิตหนึ่ง โดยทั่วไปการกระจายเมล็ดด้วยบิตหนึ่ง output สำหรับครอบครัวที่ของส่วนย่อยของ{ 0 , 1 } nเป็นฟังก์ชั่นF : { 0 , 1 } n → { 0 , 1 }ดังกล่าวว่าในเซตS ∈ Fที่ ฟังก์ชั่นfไม่คงที่ ที่นี่คุณมีความสนใจในFเป็นตระกูลย่อยเลียนแบบ$\mathcal{F}$$\{0,1\}^n$$f : \{0,1\}^n \to \{0,1\}$$S \in \mathcal{F}$$f$$\mathcal{F}$

เบน Sasson และ Kopparty ใน "เลียนแบบจากสเปซ dispersers พหุนาม"อย่างชัดเจนสร้างเลียนแบบไม่มีเมล็ด dispersers สำหรับ subspaces ของมิติอย่างน้อย 5 รายละเอียดทั้งหมดของตัวแจกจ่ายมีความซับซ้อนเกินกว่าที่จะอธิบายได้ที่นี่ $6n^{4/5}$

กรณีที่เรียบง่ายนอกจากนี้ยังกล่าวถึงในบทความคือเมื่อเราต้องการกระจายเลียนแบบสำหรับ subspaces ของมิติ 10 จากนั้นมุมมองการก่อสร้างของพวกเขาF n 2เป็นF 2 nและระบุตัวกระจายที่เป็นf ( x ) = T r ( x 7 )โดยที่T r : F 2 n → F 2หมายถึงแผนที่การติดตาม: T r ( x ) = ∑ $2n/5+10$${\mathbb{F}}_2^n$${\mathbb{F}}_{2^n}$$f(x) = Tr(x^7)$$Tr: {\mathbb{F}}_{2^n} \to {\mathbb{F}}_2$ฉัน คุณสมบัติที่สำคัญของแผนที่ร่องรอยคือTR(x+Y)=TR(x)+TR(Y) $Tr(x) = \sum_{i=0}^{n-1} x^{2^i}$$Tr(x+y) = Tr(x) + Tr(y)$

ฟังก์ชั่นที่ตอบสนองสิ่งที่คล้ายกับ ( แต่อ่อนแอกว่า) สิ่งที่คุณต้องการคือปัจจัยของเมทริกซ์กว่า 2 ก็สามารถที่จะแสดงให้เห็นว่าปัจจัยของนั้นn × nเมทริกซ์จะไม่คงที่ในสเปซเลียนแบบใด ๆ ของมิติอย่างน้อยn 2 - n$\mathbb{F}_2$$n\times n$$n^2 - n$