ใช้ลำดับ de Bruijn เพื่อค้นหา

11

ฌอนแอนเดอร์สันตีพิมพ์แฮ็กแบบทวิปสองบิตที่มีอัลกอริทึมของ Eric Cole เพื่อค้นหา $\lceil\log_2 v \rceil$ ของ $N$ -bit จำนวนเต็ม $v$ ในการดำเนินการ $O(\lg(N))$ ด้วยการคูณและค้นหา

อัลกอริทึมนั้นอาศัยหมายเลข "เวทมนต์" จากลำดับ De Bruijn ใครสามารถอธิบายคุณสมบัติทางคณิตศาสตร์พื้นฐานของลำดับที่ใช้ที่นี่ได้ไหม

uint32_t v; // find the log base 2 of 32-bit v
int r;      // result goes here

static const int MultiplyDeBruijnBitPosition[32] = 
{
  0, 9, 1, 10, 13, 21, 2, 29, 11, 14, 16, 18, 22, 25, 3, 30,
  8, 12, 20, 28, 15, 17, 24, 7, 19, 27, 23, 6, 26, 5, 4, 31
};

v |= v >> 1; // first round down to one less than a power of 2 
v |= v >> 2;
v |= v >> 4;
v |= v >> 8;
v |= v >> 16;

r = MultiplyDeBruijnBitPosition[(uint32_t)(v * 0x07C4ACDDU) >> 27];

nt.number-theory comp-number-theory

— Yury Bayda
แหล่งที่มา

2

ความคิดที่มาจากกระดาษนี้supertech.csail.mit.edu/papers/debruijn.pdf ลำดับเดอ Brujn ขนาด

2^{k}

$2^k$ เป็นวิธีที่จะเป็นตัวแทนของสตริงบิตทั้งหมดของขนาด

k

$k$ รัดกุมมาก: แต่ละสตริงที่เป็นไปได้ปรากฏขึ้นเพียงครั้งเดียวเป็นลำดับที่ต่อเนื่องกัน ดังนั้นหากคุณเลื่อนลำดับ de Bruijn โดย

n \leq 2^{k}

$n \leq 2^k$ บิตและอ่าน

k

$k$ บิตสุดท้ายคุณจะมีตัวระบุเฉพาะสำหรับ

n

n

$n$

— Sasho Nikolov

1

วิธีนี้คำนวณได้เพียง

⌈ \log_{2} v ⌉

$\lceil \log_2 v \rceil$ ; และตามที่เขียนไว้มันใช้ได้กับจำนวนเต็ม 32 บิตเท่านั้น

— Sasho Nikolov

1

@Sasho เปลี่ยนเป็นคำตอบหรือไม่?

— Yuval Filmus

@SashoNikolov ขอบคุณเพิ่มฟังก์ชันเพดานกับคำถาม

— Yury Bayda

9

โปรดทราบว่าอัลกอริธึมนี้คำนวณเฉพาะและเมื่อเขียนโค้ดมันจะใช้ได้กับที่พอดีกับคำบิตเท่านั้น $\lceil \log_2 v \rceil$ $v$ $32$

ลำดับของการเลื่อนและหรือ -s ที่ปรากฏขึ้นครั้งแรกมีฟังก์ชั่นของการแพร่กระจายชั้นนำ 1 บิตของตลอดทางจนถึงบิตที่มีนัยสำคัญน้อยที่สุด ตัวเลขนี้จะช่วยให้คุณ 1 $v$ $2^{\lceil \log_2 v \rceil} - 1$

ส่วนที่น่าสนใจคือเคล็ดลับ de Bruijn ซึ่งมาจากเอกสารของLeiserson, Prokop และ Randall (เห็นได้ชัดว่าอาจารย์ของ MIT ใช้เวลาในการแฮ็กบิต :)) สิ่งที่คุณต้องรู้เกี่ยวกับลำดับเดอ Bruijnคือมันเป็นตัวแทนลำดับที่เป็นไปได้ทั้งหมดของความยาวที่กำหนดในแบบที่ถูกบีบอัดมากที่สุด แม่นยำลำดับเดอบรูจเหนือตัวอักษรคือสตริงไบนารีความยาวซึ่งแต่ละความยาวสตริงสตริงปรากฏขึ้นเพียงครั้งเดียวเป็นสตริงย่อยที่ต่อเนื่องกัน (อนุญาตให้ล้อมรอบได้) เหตุผลนี้มีประโยชน์คือถ้าคุณมีหมายเลข $\{0, 1\}$ $s$ $2^k$ $k$ $X$ ซึ่งการแทนค่าบิตเป็นลำดับ de Bruijn (เต็มด้วยศูนย์) จากนั้นบิตสูงสุดของระบุโดยเฉพาะ(ตราบเท่าที่ ) $k$ $k$ $2^iX$ $i$ $i <k$

— Sasho Nikolov
แหล่งที่มา

3

โปรดทราบว่าคุณสามารถใช้ใด ๆ เดอ Bruijn ลำดับในลักษณะนี้เพื่อคำนวณ

ได้รับ

ฉัน

แต่คุณไม่สามารถใช้พลเดอ Bruijn ลำดับการคำนวณ

ได้รับ

1

ที่นี่ 0x07C4ACDD = 00000111110001001010110011011101 ดูเหมือนว่าจะเป็นลำดับ de Bruijn ที่มีคุณสมบัติเพิ่มเติมบางส่วนขอบคุณที่เพิ่มเติม

ไม่ทำลายวิธีนี้

i

$i$

2^{i}

$2^i$

i

$i$

2^{i} - 1

$2^i - 1$

- 1

$-1$

— Jukka Suomela

ขอบคุณ @JukkaSuomela ฉันสับสนเล็กน้อยเกี่ยวกับเรื่องนี้ ฉันเดาว่าคุณสามารถเพิ่ม 1 ลงใน

ได้ตลอดเวลา

v

$v$

— Sasho Nikolov

5

ความคิดเห็นบางอย่าง (ไม่ใช่คำตอบจริงๆ) Let 's ประเภท 32 บิตจำนวนเต็มดังต่อไปนี้: $c$

ประเภท X: (เป็นสตริงไบนารี) คือลำดับ De Bruijn (สำหรับการหมุนทั้งหมดบิต [27,31] แตกต่างกัน) ตัวอย่าง: $c$
```
11111011100110101100010100100000
```
ประเภท Y: บิต [27,31] ของมีความแตกต่างกันสำหรับ . นี่คือสิ่งที่Leiserson และคณะ การใช้งาน ตัวอย่าง: $2^i \cdot c$ $i = 0, 1, ..., 31$
```
00000100011001010011101011011111
00001111101110011010110001010010
```
ประเภท Z: บิต [27,31] ของมีความแตกต่างกันสำหรับ . นี่คือสิ่งที่เราต้องการในคำถามเดิม ตัวอย่าง: $(2^{i+1} - 1) \cdot c$ $i = 0, 1, ..., 31$
```
00000111110001001010110011011101  (07C4ACDD)
10000111110001001010110011011101
01111000001110110101001100100011
11111000001110110101001100100011
```

ข้อสังเกตบางอย่างจากการทดสอบอย่างรวดเร็ว (ฉันหวังว่าฉันจะได้รับสิ่งเหล่านี้):

มีจำนวนเต็ม 65536 ประเภท X
มีจำนวนเต็ม 4096 ของประเภท X + Y นี่คือจำนวนเต็มของประเภท X ที่ขึ้นต้นด้วยลำดับ '0000 ... '
- ปรีชา: ด้วยเลขศูนย์นำหน้า, การหมุน = การเลื่อน?
มีจำนวนเต็ม 256 ชนิดของ X + Y + Z นี่คือจำนวนเต็มของประเภท X ที่ขึ้นต้นด้วยลำดับ '0000011111 ... '
- ปรีชา: ??
จำนวนเต็มทั้งหมดของประเภท Y ก็เป็นประเภท X
อย่างไรก็ตามยังมีจำนวนเต็ม 768 ของชนิด Z ที่ไม่ใช่แบบ X และชนิด Y ซึ่งเริ่มต้นด้วย '1000011111 ... ', '0111100000 ... ' หรือ '1111100000 ... '

— Jukka Suomela
แหล่งที่มา

1

นี่เป็นคำตอบเดียวที่เกี่ยวข้องกับสาเหตุที่การคูณของ De Bruijn ด้วย 2 ^ n-1 ทำงานเมื่อเทียบกับ 2 ^ n ซึ่งเป็นเพียงการเปลี่ยนแปลง ฉันจะรักมันถ้ามีคนสามารถขยาย "ปรีชา" ของ # 3 ข้างต้น Eric Cole เกิดขึ้นกับสิ่งนี้ได้อย่างไร ลองผิดลองถูก? หรือความเข้าใจว่าเกิดอะไรขึ้นกับบิตเมื่อคุณคูณด้วย 2 ^ n-1

— FarmerBob

1

ค่าคงที่นี้มาจากไหน

การอ้างถึง: "ในวันที่ 10 ธันวาคม 2009 มาร์คดิกคินสันโกนการดำเนินงานสองสามครั้งโดยกำหนดให้ v ถูกปัดขึ้นให้เหลือน้อยกว่าหนึ่งในพลังถัดไปของ 2 แทนที่จะเป็นพลังของ 2" [graphics.stanford.edu/~seander/bithacks.html]

ค่าคงตัวอนุภาคนี้เป็นลำดับ De Bruijn ด้วยตัวอักษรไบนารี แต่มีคุณสมบัติพิเศษ ฉันจะเรียกมันว่า 'มาร์คดิกคินสันพร็อพเพอร์ตี้' เนื่องจากอัลกอรึทึมดั้งเดิมสามารถนำไปใช้ได้โดยไม่ต้องมีลำดับฐานข้อมูลพิเศษเหล่านี้ ด้วยการผนวก 2 การดำเนินการเพิ่มเติมเราสามารถใช้ลำดับฐานข้อมูลใด ๆ การทำงาน: v ^ = (v >> 1); // clr บิตทั้งหมดยกเว้นชุด MSB หลังจาก cascading or-shift

ผลลัพธ์ (bruteforce)

Seq.Type | เลขจำนวนเต็ม เลขที่ DBSeq ด้วย | ไม่มีการหมุน กับ Dickinson Property
B (2, 3) | 256 | 16 | 2 | 1
B (2, 4) | 64Ki | 256 | 16 | 4
B (2, 5) | 04Gi | 64Ki | 02Ki | 256
B (2, 6) | 16Ei | 04Gi | 64Mi | ??

คุณสมบัติพิเศษ

${0x7C4ACDD}$ $*$ $2^k$ ${1}$ $\pmod {2^{32}}$ $32\ge k\ge1$ $2^k$ ${1}$

ลำดับไบนารีไบนารีเดอบรูนที่เล็กที่สุดในการพิมพ์ด้วยดิกคินสันพร็อพเพอร์ตี้

[B (2,3): 0x1D] [B (2,4): 0x0F2D] [B (2,5): 0x7C4ACDD] [B (2,6): ยังคงค้นหาอยู่]

หากคุณหวังว่าสูตรทางคณิตศาสตร์ที่สง่างามที่จะอธิบายพวกเขาหรือทฤษฎีบทเพื่อผลิตพวกเขาหรือสิ่งที่คล้ายกันฉันคิดว่านี่จะต้องมีความเข้าใจอย่างลึกซึ้งในทฤษฎีจำนวนและสาขาอื่น ๆ ที่อยู่นอกเหนือทักษะของฉัน ถ้าฉันจะเดาได้ที่ไหนฉันจะพนันได้เลยว่าพวกเขาสามารถผลิตโดยออโตเซลล่า นี่ไม่ใช่คำตอบว่าทำไม? บนฐานที่เข้มงวด แต่พยายามที่จะเข้าใจว่าทำไมมันถึงใช้งานได้และทำไมมันถึงทำงานได้อย่างถูกต้องคุณจึงสามารถใช้มันได้อย่างมั่นใจ

ป.ล. ฉันไม่ได้ครอบคลุมการก่อสร้าง LUT ซึ่งสามารถอนุมานได้ง่ายถ้าคุณเข้าใจหลักการทำงานของอัลกอริทึม

— FranG
แหล่งที่มา

สุดท้ายพบ: B (2,6) 0x3f08a4c6acb9dbd - ลำดับ 64 บิตเดอ bruijn กับ 'คุณสมบัติ Dickinson' ฉันพบลำดับดังกล่าวอย่างน้อย 122K

— FranG