สมการไดโอแฟนไทน์เชิงเส้นในจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ

มีข้อมูลเพียงเล็กน้อยเท่านั้นที่ฉันสามารถหาได้ในปัญหา NP-complete ของการแก้สมการไดโอแฟนไทน์เชิงเส้นในจำนวนเต็มไม่เป็นลบ กล่าวคือจะมีวิธีการแก้ปัญหาในที่ไม่ใช่เชิงลบสมการ $x_1,x_2, ... , x_n$ , ค่าคงที่ทั้งหมดเป็นค่าบวกหรือไม่ มีเพียงการกล่าวถึงปัญหานี้ที่ฉันรู้ว่าเป็นของ Schrijver $a_1 x_1 + a_2 x_2 + ... + a_n x_n = b$ ทฤษฎีเชิงเส้นและการเขียนโปรแกรมจำนวนเต็ม และถึงแม้ว่าจะเป็นการสนทนาที่ค่อนข้างกระชับ

ดังนั้นฉันจะขอขอบคุณข้อมูลหรือการอ้างอิงที่คุณสามารถให้กับปัญหานี้

มีคำถามสองข้อที่ฉันสนใจเป็นส่วนใหญ่:

มันเป็น NP-Complete อย่างยิ่งหรือไม่
ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับการนับจำนวนการแก้ปัญหา # P-hard หรือแม้แต่ # P-complete หรือไม่

— 4evergr8ful
แหล่งที่มา

นี่ไม่ใช่คำถามระดับการวิจัยจริง ๆ และฉันคิดว่ามันยากที่จะเชื่อว่าคุณไม่พบข้อมูลเพิ่มเติม เริ่มที่นี่: en.wikipedia.org/wiki/Knapsack_problem

— domotorp

สำหรับ 2), afaik ไม่มีตัวอย่างที่ทราบของปัญหา NP-complete ซึ่งรุ่นการนับตามธรรมชาติไม่ได้เป็น # P-complete การหาคำตอบที่ลดลงสำหรับปัญหาเฉพาะของคุณอาจจะง่ายกว่าการหาข้อมูลอ้างอิง บทความนี้ทำเพื่อ #SubsetSum ที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิด: crt.umontreal.ca/~gerardo/tsppd-p-complete.pdf

— Sasho Nikolov

ฉันขอได้ทั้ง @domotorp และ 4evergr8ful เพื่อความสุภาพมากกว่านี้ได้ไหม? คนแรกสามารถอธิบายได้ว่าปัญหาของเครื่องหลังลดลงไปถึงสมการไดโอแฟนไทน์ซึ่งเขาคิดว่าเป็นกรณีในขณะที่ 4evergr8ful อาจจะเย็นลงโดยเฉพาะอย่างยิ่งเนื่องจากเขาทั้งขอความช่วยเหลือและไม่ได้ค่าใช้จ่ายอย่างชัดเจน . แต่ฉันคิดเกี่ยวกับปัญหาเครื่องหลังด้วยเช่นกันและมันก็ไม่ชัดเจนสำหรับฉันเลยว่ามันจะลดการแก้ปัญหาในเชิงบวกของสมการไดโอแฟนไทน์

— Andrej Bauer

OP ดังที่ @Austin กล่าวถึงแนวคิดของโปรแกรมแบบไดนามิกเช่นเดียวกับเป้ทำงานเพื่อแก้ไขปัญหาของคุณในเวลาพหุนามเมื่อ

ถูก จำกัด ขอบเขตพหุนาม ดังนั้นไม่ใช่ปัญหาไม่สมบูรณ์อย่างยิ่ง และ domotorp มีเหตุผลที่ดีที่จะชี้ให้คุณไปที่หน้าเป้วิกิพีเดีย

a_{i}

$a_i$

— Sasho Nikolov

@ 4evergr8ful แน่นอนฉันคิดว่าคุณถอดความพูด ไม่เป็นไร อย่างไรก็ตามคุณได้ระบุผิดโดยเปลี่ยน "หก" เป็น "ทุก" เนื่องจาก G&J กำหนดคำจำกัดความที่ชัดเจน (นั่นคือจำนวนการแก้ปัญหาเท่ากันทุกประการ) ดังนั้นจึงไม่เป็นความจริงเลยที่การลดปัญหาระหว่างปัญหาทุกเรื่องใน NP สามารถทำให้หมดความหมายได้ UNLESS P = Parity-P เหตุผลนี้คือการลดมาตรฐานจาก SAT เป็น NAE-SAT นำเสนอปัจจัยที่มีกำลัง 2 ซึ่งคาดว่าเนื่องจาก SAT เสร็จสมบูรณ์สำหรับ Parity-P แต่ NAE-SAT นั้นง่าย (มีการจับคู่ที่ชัดเจนของ ที่ได้รับมอบหมายเพื่อให้คำตอบอยู่เสมอแม้กระทั่ง = 0)

— Tyson Williams

คำตอบ:

เกี่ยวกับ (1) ปัญหาไม่ได้เป็นปัญหาที่หนักหน่วงอย่างยิ่งและเป็นข้อพิสูจน์ที่ 1 ในที่นี้ :

Papadimitriou, CH (1981) ความซับซ้อนของการเขียนโปรแกรมจำนวนเต็ม วารสารของ ACM , 28 (4), 765-768

เกี่ยวกับ (2) ปัญหาอยู่ที่ #P ถ้าค่าคงที่ทั้งหมดเป็นค่าบวก นอกจากนี้ยังมีเซตซัมสมบูรณ์ # P- ฉบับสมบูรณ์ซึ่งเกือบจะเหมาะกับปัญหาของคุณ แต่ไม่ต้องการต้องเป็น 0 หรือ 1 ดูที่นี่ $x_i$ :

Faliszewski, P. และ Hemaspaandra, L. (2009) ความซับซ้อนของการเปรียบเทียบดัชนีพลังงาน วิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์เชิงทฤษฎี 410 (1), 101-107

ผมค่อนข้างมั่นใจว่าการก่อสร้างใช้โดย Faliszewski และ Hemaspaandra สามารถปรับเปลี่ยนดังกล่าวที่ต้องการไม่จำเป็นและจะอ้างว่าเหตุที่เป็นปัญหา # P-สมบูรณ์โดยมีเงื่อนไขว่าคงมีการเข้ารหัส ไบนารี่. $x_i\in \{0,1\}$

— Christoph Haase
แหล่งที่มา

ฉันไม่ได้เป็นผู้เชี่ยวชาญในเรื่องนี้ แต่ฉันอยากจะเริ่มการสนทนาที่สร้างสรรค์ นี่คือความพยายามตามคำถาม math.stackexchange.com นับจำนวนคำตอบเชิงบวกสำหรับสมการไดโอแฟนไทน์เชิงเส้นนับจำนวนของการแก้ปัญหาในเชิงบวกสำหรับสมการเชิงเส้นเนื้อหาเกี่ยวข้องกับพหุนาม Erhart ซึ่งฉันไม่รู้อะไรเลยและฉันก็คิดว่าความคิดเห็นของ @ SashoNikolov ด้านบนด้วย

$N(a_1, a_2, \ldots, a_n; b)$

a_{n} x_{n} + a_{n - 1} x_{n - 1} + \dots + a_{1} x_{1} = b,

$a_n x_n + a_{n-1} x_{n-1} + \cdots + a_1 x_1 = b,$

a_{i}

$a_i$

b

$b$

N (a_{1}; b) = {\begin{cases} 1 & if a_{1} ∣ b \\ 0 & otherwise \end{cases}

$N(a_1; b) = \begin{cases} 1 & \text{if $a_1 \mid b$} \\\\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$

N (a_{1}, \dots, a_{n + 1}; b) = \sum_{0 \leq k \leq b / a_{n + 1}} N (a_{1}, \dots, a_{n}; b - a_{n + 1} k)

$N(a_1, \ldots, a_{n+1}; b) = \sum_{0 \leq \ k \ \leq b/a_{n+1}} N(a_1, \ldots, a_n; b - a_{n+1} k)$

k

$k$

b

$b$

— Andrej Bauer
แหล่งที่มา

เรียน Andrej ในกรณีที่มีความแข็ง NP สูงเราวัดในแง่ของมูลค่าของอินพุตและไม่ได้อยู่ในความยาวของมัน ดูเพิ่มเติมที่: en.wikipedia.org/wiki/Knapsack_problem#Dynamic_programming

— domotorp

@domotorp ฉันคิดว่า Andrej กำลังตอบคำถามที่สองเกี่ยวกับ # P-completeness ไม่ใช่คนแรกเกี่ยวกับ NP-completeeness ที่แข็งแกร่งซึ่งเท่าที่ฉันเห็นมันเป็นเรื่องง่ายที่จะตอบ (ไม่ใช่ปัญหาไม่ได้เป็นปัญหาอย่างยิ่ง NP สมบูรณ์) Andrej ฉันสับสนในสิ่งที่คุณคาดหวังที่จะแสดงที่นี่? เนื่องจากปัญหาการตัดสินใจสมบูรณ์แบบ NP คุณไม่สามารถหวังที่จะนับจำนวนโซลูชั่นได้ คุณหวังที่จะประมาณจำนวนโซลูชั่นหรือไม่? หรือมีอัลกอริทึมเวลาเร็วกว่าเลขชี้กำลังหรือไม่

— Sasho Nikolov

BTW ฉันคิดว่าเป็นไปได้ว่าอัลกอริทึมในบทความนี้ (ประมาณจำนวนการแก้ปัญหาสำหรับเป้หลังผ่านการเขียนโปรแกรมแบบไดนามิก) สามารถปรับให้เข้ากับปัญหาสมการไดโอแฟนไทน์: cs.utexas.edu/~klivans/focs11.pdf

— Sasho Nikolov

ฉันได้เรียนรู้ข้อเท็จจริงเกี่ยวกับปัญหานี้อีกครั้งหนึ่ง มีคนสามประเภท: ผู้ที่เรียกว่าปัญหา # diophantine #linear ผู้ที่เรียกมันว่าปัญหาเครื่องหลัง #unbound และในที่สุดผู้ที่เรียกมันว่าเป็นปัญหาที่เกี่ยวเนื่องกัน และพวกเขาดูเหมือนจะไม่พูดคุยกัน

— 4evergr8ful