มีอัลกอริธึมเวลาพหุนามเพื่อพิจารณาว่าช่วงของชุดเมทริกซ์มีเมทริกซ์การเปลี่ยนแปลงหรือไม่?

ฉันต้องการค้นหาอัลกอริทึมเวลาพหุนามที่กำหนดว่าช่วงของชุดเมทริกซ์ที่กำหนดมีเมทริกซ์การเปลี่ยนแปลง

หากมีใครรู้ว่าปัญหานี้มีระดับความซับซ้อนที่แตกต่างกันนั่นจะเป็นประโยชน์

แก้ไข: ฉันติดแท็กคำถามนี้ด้วยการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นเพราะฉันมีความสงสัยอย่างมากว่าหากวิธีการแก้ปัญหาดังกล่าวมีอยู่ก็จะเป็นขั้นตอนวิธีการเขียนโปรแกรมเชิงเส้น เหตุผลที่ฉันเชื่อว่าเป็นเพราะจุดที่สูงที่สุดของBirkhoff polytopeเป็นเมทริกซ์การเปลี่ยนรูปที่แม่นยำ หากคุณสามารถหาฟังก์ชั่นวัตถุประสงค์ที่มีการขยายหรือย่อให้เล็กสุดที่จุดยอดของ Birkhoff polytope คุณสามารถ จำกัด การทำงานของคุณกับการแยกของ polytope และพื้นที่ย่อยเวกเตอร์ของคุณจากนั้นขยายให้ใหญ่ที่สุดในเวลาพหุนาม ถ้าค่านี้เป็นเมทริกซ์การเปลี่ยนแปลงคุณจะรู้ว่าเซตนั้นมีการเปลี่ยนแปลง นี่คือความคิดของฉันในเรื่องนี้

แก้ไข 2: หลังจากคิดเพิ่มอีกดูเหมือนว่าการเปลี่ยนรูปเป็นองค์ประกอบของ Birkhoff Polytope กับ Euclidean norm , เราพิจารณา Birkhoff polytope เป็นตัวนูนของเมทริกซ์การเปลี่ยนแปลง บางทีนั่นอาจจะสำคัญ $\sqrt{n}$ $n \times n$

แก้ไข 3: ฉันเพิ่มแท็กการเขียนโปรแกรม semidefinite เพราะหลังจากความคิดเห็นก่อนหน้านี้ฉันเริ่มคิดว่าโซลูชันการเขียนโปรแกรม semidefinite อาจเป็นไปได้

— กรงขัง
แหล่งที่มา

เมทริกซ์อินพุตมีชนิดของรายการใด?

$\;$

รายการอาจอยู่ในสาขาใดมีอิสระในการตั้งค่าเมทริกซ์; อย่างไรก็ตามคุณต้องการฟิลด์ที่มีขนาดใหญ่พอ (ดังนั้นฟิลด์ของคุณลักษณะ 2 จะไม่ดีสำหรับตัวอย่าง)

— Nick

สามารถอธิบายว่าชุดของเมทริกซ์คืออะไร?

— Mohammad Al-Turkistany

โมฮัมหมัด: ฉันคิดว่ามันเป็นการผสมผสานเชิงเส้นของเซตเมทริกซ์

— Vivek Bagaria

@ DavidRicherby ฉันคิดว่าความสับสนของโมฮัมหมัดมาจากความจริงที่ว่าเรามักคิดว่าเมทริกซ์เป็นตัวแทนของแผนที่เชิงเส้นและบางครั้งช่วงของแผนที่เชิงเส้นบางครั้งก็ใช้เป็นอีกคำหนึ่งสำหรับช่วงของมัน แต่นั่นไม่เข้าท่าเลยดังนั้นฉันคิดว่าเราจะคิดว่าเมทริกซ์เป็นองค์ประกอบของปริภูมิเวกเตอร์

— Sasho Nikolov

คำตอบ:

ทฤษฎีบท. ปัญหาในการโพสต์คือ NP-hard โดยการลดลงจากเซตย่อยรวม

แน่นอนว่าปัญหาดังกล่าวไม่น่าจะมีอัลกอริทึมโพลีเวลาตามที่ร้องขอโดย op

นี่คือสัญชาตญาณ ปัญหาในการโพสต์คือ

มีเมทริกซ์การเปลี่ยนแปลงในช่วงของชุดเมทริกซ์ที่กำหนดหรือไม่?

นี่คือหลักเช่นเดียวกับ

มีเมทริกซ์การเปลี่ยนแปลงที่ (คิดว่าเมทริกซ์เป็นเวกเตอร์) เป็นไปตามข้อ จำกัด เชิงเส้นที่กำหนดหรือไม่?

นี่คือสิ่งเดียวกัน

มีการจับคู่ที่สมบูรณ์แบบ (ในกราฟ bipartite ที่สมบูรณ์) ซึ่งการเกิดเวกเตอร์เป็นไปตามข้อ จำกัด เชิงเส้นที่กำหนดหรือไม่?

การลดชุดย่อย - ผลรวมของปัญหาหลังคือแบบฝึกหัดมาตรฐาน

นี่คือหลักฐานรายละเอียด

กำหนดปัญหากลางต่อไปนี้:

จับคู่ผลรวม:

การป้อนข้อมูล: สมบูรณ์ฝ่ายกราฟกับที่ไม่ใช่เชิงลบน้ำหนักขอบจำนวนเต็มและที่ไม่ใช่เชิงลบจำนวนเต็มเป้าหมายT $G=(U,V,E)$ $T$

เอาท์พุท: ไม่มีการจับคู่ที่สมบูรณ์แบบของน้ำหนักว่า ? $G$ $T$

แทรก 1 เซตย่อยรวมผลรวมของโพลีไทม์จะลดลงเป็น Matching-Sum

พิสูจน์สิ่งนี้ว่าเป็นแบบฝึกหัดการบ้านมาตรฐาน หลักฐานสิ้นสุดแล้ว

บทที่ 2 การ จับคู่แบบรวมโพลีไทม์ช่วยลดปัญหาในการโพสต์

บทพิสูจน์ของเลมม่า 2แก้ไขอินพุตจับคู่ผลรวม: กราฟสองฝ่ายที่สมบูรณ์มีค่าน้ำหนักจำนวนเต็มแบบไม่ลบค่าลบและเป้าหมายโดยที่และ }สำหรับแต่ละ $G=(U,V,E)$ $w:U\times V\rightarrow \mathbb{N}_+$ $T\in \mathbb{N}_+$ $U=\{u_1,\ldots,u_n\}$ $V=\{v_1, \ldots, v_n\}$ , กำหนดให้เป็นเมทริกซ์ในโดยที่ , และ $i,j\in\{1,2,\ldots,n\}$ $M^{(ij)}$ $\mathbb{R}^{(n+1)\times (n+1)}$ $M^{(ij)}_{ij} = T$ , และรายการอื่น ๆ ทั้งหมดเป็นศูนย์ การลด outputs ชุดต่อไปของการฝึกอบรม: สิ่งนี้กำหนดการลด $M^{(ij)}_{n+1,n+1}=w(u_i, v_j)$

{M^{(ผม J)} : ผม, J \in {1, ..., n}} .

$\big\{M^{(ij)} : i,j\in\{1,\ldots,n\}\big\}.$

ข้อเรียกร้อง ช่วงของชุดเมทริกซ์นี้ประกอบด้วยเมทริกซ์เหล่านั้นเป็นไปตามข้อ จำกัด เชิงเส้นสำหรับและ ข้อ จำกัด เชิงเส้น $M \in\mathbb{R}^{(n+1)\times(n+1)}$ $M_{h,n+1} = M_{n+1,h} = 0$ $h\le n$

Σ_{ผม = 1}^{n} Σ_{J = 1}^{n} M_{ผม J} W ({ยู}_{ผม}, {โวลต์}_{J}) = T M_{n + 1, n + 1} .

$\textstyle\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n M_{ij}\,w(u_i, v_j) = T\, M_{n+1,n+1}.$

(การพิสูจน์การอ้างสิทธิ์)โดยการตรวจสอบแต่ละเมทริกซ์ในชุดตอบสนองข้อ จำกัด เหล่านี้ดังนั้นการรวมกันเชิงเส้นของเมทริกซ์เหล่านั้นจะตรงกันข้ามถ้าเป็นไปตามข้อ จำกัด จากนั้นเท่ากับการรวมกันเชิงเส้น $M^{(ij)}$ $M\in\mathbb{R}^{(n+1) \times (n+1)}$ $M$ ของการฝึกอบรมที่ Tหมายเหตุโดยเฉพาะอย่างยิ่งว่าโดยคำจำกัดความต่างๆและข้อ จำกัด เชิงเส้น $M'=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_{ij} M^{(ij)}$ $\alpha_{ij} = M_{ij}/M^{(ij)}_{ij} = M_{ij}/T$ สิ่งนี้พิสูจน์ข้อเรียกร้อง)

M_{n + 1, n + 1}^{'} = \underset{ผม J}{Σ} α_{ผม J} W ({ยู}_{ผม}, {โวลต์}_{J}) = \underset{ผม J}{Σ} M_{ผม J} W ({ยู}_{ผม}, {โวลต์}_{J}) / T = (T M_{n + 1, n + 1}) / T = M_{n + 1, n + 1} .

$\textstyle M'_{n+1,n+1} = \sum_{ij} \alpha_{ij} w(u_i, v_j) = \sum_{ij} M_{ij} w(u_i, v_j)/T = (T\, M_{n+1,n+1})/T = M_{n+1,n+1}.$

ตอนนี้เราแสดงให้เห็นว่าการลดลงนั้นถูกต้อง นั่นคือรูปแบบของกราฟให้มีน้ำหนักการจับคู่และถ้าหากชุดของการฝึกอบรมครอบคลุมการเปลี่ยนแปลงเมทริกซ์ $G$ $T$

( เฉพาะในกรณีที่. ) ครั้งแรกคิดว่ากราฟที่กำหนดมีน้ำหนักที่สมบูรณ์แบบการจับคู่ 'ให้เป็นเมทริกซ์การเปลี่ยนรูปแบบสอดคล้องกันโดยเพิ่มแถวและคอลัมน์เพิ่มเติมเช่นและ $G$ $T$ $M'$ $M\in\{0,1\}^{(n+1)\times (n+1)}$ $n\times n$ $M_{n+1,n+1} = 1$ สำหรับทุกnจากนั้นเป็นน้ำหนักของ , ที่อยู่,และ $M_{h,n+1}=M_{n+1,h}=0$ $h\le n$ $\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n M_{ij} w(u_i, v_j)$ $M'$ $T$ $M_{n+1,n+1}=1$ ดังนั้นข้อ จำกัด เชิงเส้นในการระงับการเรียกร้องและช่วงของการตั้งค่าที่กำหนดของการฝึกอบรมที่มีการเปลี่ยนแปลงเมทริกซ์M $M$

( ถ้า. ) ตรงกันข้ามสมมติว่าช่วงที่มีการเปลี่ยนแปลงใด ๆ เมทริกซ์Mโดยเรียกร้องเพียงคนเดียวไม่ใช่ศูนย์รายการในแถวหรือคอลัมน์คือดังนั้น (เป็นเป็นเมทริกซ์การเปลี่ยนแปลง) มันจะต้องเป็นที่ 1ดังนั้นการลบแถวสุดท้ายและคอลัมน์ให้เปลี่ยนแปลงเมทริกซ์ ให้เป็นคู่ที่สมบูรณ์แบบที่สุด $M$ $n+1$ $n+1$ $M_{n+1,n+1}$ $M$ $M_{n+1,n+1} = 1$ $n\times n$ $M'$ สอดคล้องกับที่เปลี่ยนแปลงเมทริกซ์ น้ำหนักของคือซึ่ง (โดยเรียกร้อง) เป็น Tดังนั้นกราฟที่ให้มีการจับคู่น้ำหนัก , พิสูจน์เล็มม่า 2 $G$ $n\times n$ $M'$ $\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n M_{ij} w(u_i, v_j)$ $T M_{n+1,n+1} = T$ $T$ $~~\Box$

นี่คือหลักฐานการล่าช้าของเลมม่า 1:

หลักฐานของเล็มม่า 1.กำหนดอินสแตนซ์ย่อย - ผลรวม , การลดเอาท์พุตอินสแตนซ์จับคู่ผลรวมโดยที่ , $(w,T)\in\mathbb{N}^n_+ \times \mathbb{N}_+$ $(G=(U,V,E), T)$ $U=\{u_1, u_2, \ldots, u_{2n}\}$ สำหรับแต่ละขอบมีน้ำหนักและขอบที่เหลืออยู่ทั้งหมดมีศูนย์น้ำหนัก $V=\{v_1, v_2, \ldots, v_{2n}\}$ $i\in\{1,\ldots,n\}$ $(u_i, v_i)$ $w_i$

สำหรับการจับคู่ที่สมบูรณ์แบบกับน้ำหนักขอบรวมกับชุดเป็นวิธีแก้ปัญหาสำหรับอินสแตนซ์ย่อย - Sum ที่กำหนด (เนื่องจากสิ่งเหล่านี้ไม่ใช่ ขอบน้ำหนักเป็นศูนย์ใน ) $T$ $S=\{i : (u_i, v_i)\in M, i\le n\}$ $M$

ในทางกลับกันหากมีวิธีแก้ปัญหาสำหรับอินสแตนซ์ย่อย - ผลรวมพูดว่าด้วย , ชุดของขอบคือ จับคู่บางส่วนที่มีน้ำหนักและจะขยายได้อย่างง่ายดายเพื่อน้ำหนักการจับคู่ที่สมบูรณ์แบบโดยการเพิ่มตัวอย่างเช่นไปตั้ง (ศูนย์น้ำหนัก) ขอบ: $S\subseteq\{1,\ldots,n\}$ $\sum_{i\in S} w_i = T$ $\{(u_i, v_i) : i \in S\}$ $T$ $T$

{({ยู}_{ผม + n}, {โวลต์}_{ผม + n}) : ผม \in S} \cup ⋃_{ผม \in {1, ..., n} ∖ S} {({ยู}_{ผม}, {โวลต์}_{ผม + n}), ({ยู}_{ผม + n}, {โวลต์}_{ผม})} .

$\{(u_{i+n}, v_{i+n}) : i\in S\} \cup \bigcup_{i\in\{1,\ldots,n\}\setminus S}\{(u_i, v_{i+n}), (u_{i+n}, v_{i})\}.$

สิ่งนี้พิสูจน์เล็มม่า 1. ทฤษฎีบทต่อจากเล็มมาส 1 และ 2 $~~~\Box$

ป.ล. ตามคำตอบนี้ข้อ จำกัด ของการจับคู่ผลรวมกับอินสแตนซ์ที่มีขอบน้ำหนักแบบพหุนามมีอยู่ใน P แต่ฉันแน่ใจว่าการ จำกัด ปัญหาในโพสต์ถึงเมทริกซ์ด้วยโพลีโนเมียล ) รายการยังคง NP ยาก

— โอนีลยัง
แหล่งที่มา

ดูเหมือนว่าคุณจะใช้เปลือกนูนของเมทริกซ์แทนการขยาย ช่วงของเมทริกซ์ที่คุณอธิบายคือพื้นที่เต็มของเมทริกซ์ หรือว่าฉันขาดอะไรไป?

— วาเนสซ่า

@ Squark คุณถูกต้อง - ฉันตีความ "span" ผิด ขอบคุณ ฉันแก้ไขหลักฐานเพื่อใช้คำจำกัดความที่ถูกต้องของ span (เหมือนกับการรวมกันเชิงเส้นของเมทริกซ์)

— Neal Young

ดี! ฉันคิดว่ามันจะเป็นการดีกว่าที่จะคูณนิยามของ

ด้วย

ดังนั้นเราจึงไม่ต้องหารด้วยบางสิ่งที่อาจเป็น 0 นอกจากนี้ดูเหมือนว่าข้อพิสูจน์สามารถลดความซับซ้อนลงได้โดยการรวมสองการลดลงโดยไม่มีปัญหาระดับกลาง

M^{(i j)}

$M^{(ij)}$

w (u_{i}, v_{j})

$w(u_i,v_j)$

— วาเนสซ่า

จุดดีเกี่ยวกับการหารด้วยศูนย์ ฉันจะแก้ไขมัน ฉันจะแยกการลดสองอย่างออกจากกัน แต่สำหรับฉันแล้วมันเป็นวิธีที่ง่ายกว่ามาก

— Neal Young

เกี่ยวกับปัญหาการคำนวณเส้นผ่านศูนย์กลางของ polytope ที่แสดงเป็นจุดตัดของ halfspaces ปัญหาคือ NP-hard โดยทั่วไปและ NP-hard เพื่อประมาณภายในปัจจัยคงที่ใด ๆ ดูที่กระดาษของ Briedenและการอ้างอิงในนั้น ฉันคิดว่าสำหรับโพลีโอพรีแบบสมมาตรส่วนกลาง, SDP จะให้ประมาณโดยที่คือจำนวนของความไม่เท่าเทียมกันที่กำหนด polytope ฉันร่างภาพนี้ใต้เส้น $O(\sqrt{\log m})$ $m$

ในกรณีของคุณ Birkhoff polytope ไม่ได้เป็นสมมาตรจากส่วนกลาง แต่ทำงานร่วมกับตัวเรือนูนของพอเพียงและเพื่อจุดประสงค์ของคุณ ฉันคิดว่า polytope "สมมาตร Birkhoff" นี้สามารถแสดงเป็นชุดของเมทริกซ์สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ตอบสนอง: $P$ $P$ $-P$ $M$

\forall {ผม}^{* * * *}, J^{* * * *} : \underset{ผม}{Σ} M_{ผม J^{* * * *}} = \underset{J}{Σ} M_{{ผม}^{* * * *} J} = ค

$\forall i^*, j^*: \sum_{i}{M_{ij^*}} = \sum_j{M_{i^*j}} = c$

\forall ผม, J : - 1 \leq M_{ผม J} \leq 1

$\forall i,j: -1 \leq M_{ij} \leq 1$

- 1 \leq ค \leq 1

$-1 \leq c \leq 1$

หากนี่เป็นการแสดงที่ถูกต้อง (ไม่แน่ใจ) คุณสามารถเพิ่มข้อ จำกัด ที่ จำกัด polytope นี้ไปยังพื้นที่ย่อยที่คุณกำหนด ไม่ยากที่จะปรับ SDP ด้านล่างบรรทัดให้ตรงกับการเป็นตัวแทนนี้ แต่ฉันเลือกที่จะไม่ผ่านมันเพื่อให้การจัดการสัญกรณ์

ฉันไม่แน่ใจว่าเส้นผ่านศูนย์กลางโดยประมาณสำหรับปัญหาของคุณ: อาจช่วยให้คุณตัดสินใจได้ว่าพื้นที่ย่อยที่ให้นั้นอยู่ใกล้กับเมทริกซ์การเปลี่ยนแปลงหรือห่างไกลจากทั้งหมด แต่ไม่ได้ทำการคำนวณ

$P = \{x: -b \leq Ax \leq b\}$ $A$ $m \times n$

$\alpha^2 = \max \sum_{i = 1}^n{\|v_i\|_2^2}$

ภายใต้:

$\forall 1 \leq i \leq m: \|\sum_{j = 1}^n{A_{ij} v_j}\|_2^2 \leq b_i^2$

$v_i$ $n$ $P$ $\alpha$ $P$

$\alpha \leq O(\sqrt{\log m})\cdot \text{diam}(P)$ $(v_i)_{i=1}^n$ $\alpha$ $x \in P$ $\frac{\alpha}{O(\sqrt{\log m})}$ $n$ $g$ $g_i$ $\tilde{x}_i = g^T v_i$

E ‖ \tilde{x} ‖_{2}^{2} = α^{2}

$\mathbb{E}\ \|\tilde{x}\|_2^2 = \alpha^2$

\forall i \leq m : E | (A \tilde{x})_{i} |^{2} \leq b_{i}^{2} \Rightarrow E {max}_{i = 1}^{m} \frac{| (A \tilde{x})_{i} |}{b_{i}} \leq C \sqrt{\log m} .

$\forall i \leq m: \mathbb{E}\ |(A\tilde{x})_i|^2 \leq b_i^2 \ \ \Rightarrow \ \ \mathbb{E}\ \max_{i=1}^m{\frac{|(A\tilde{x})_i|}{b_i}} \leq C\sqrt{\log m}.$

C

$C$

m

$m$

$x$ $x \in P$ $\|x\|_2^2 \geq \frac{1}{C\sqrt{\log m}}\alpha$ $\frac{1}{2C\sqrt{\log m}}\tilde{x} \in P$ $\|\tilde{x}\|_2\geq \frac{1}{2}\alpha$

— Sasho Nikolov
แหล่งที่มา